Диссертация (1145311), страница 8

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 8)

. . , fL иΓ=Здесь Ω — произведениеPLj=1 njΩAn0 1 +...+nL −L+1.(1.44)− L полиномов относительно коэффициентовстарших форм (1.31) полиномов f1 , . . . , fL . Таким образом, Γ — рациональнаяфункция этих коэффициентов. Очевидно, что (det V )2 является симметрическим полиномом относительно общих нулей полиномов f1 , . . . , fL , следовательно, по теореме 21, условие (det V )2 = 0 алгебраически выражается через коэффициенты f1 , . . .

, fL .Следующая теорема принадлежит Лорану [122]:Теорема 23. Справедливы следующие утверждения:(1) Определитель матрицы Безу равен произведению Пуассона (1.35):det B = RgX (f1 , . . . , fL ).(2) Если det V 6= 0, то rank B равен числу общих нулей полиномов f1 , . . . , fL ,на которых g 6= 0.(3) Существуют полиномы P1 , . . .

, PL , Q ∈ K[X], удовлетворяющие линейному представлению RgX :P1 (X)f1 (X) + . . . + PL (X)fL (X) + Q(X)g(X) = RgX .(1.45)Компоненты mj (Λ) общих нулей системы уравнений (1.32) находятся изсистемы линейных однородных уравненийbk1 m1 (Λ) + . . . + bkN mN (Λ) = 0,(k = 1, . . . , N )(1.46)относительно m1 (Λ), m2 (Λ), . . . , mN (Λ).Рассмотрим теперь алгоритм редукции в случае L переменных для степенных произведений определенной степени.

Редукция может быть выполнена с53помощью решения последовательности систем линейных уравнений с коэффициентами, которые являются рациональными функциями коэффициентов старших форм f1n1 , . . ., fLnL . На следующей диаграмме представлена формализацияпроцесса редукции для случая n1 = . . . = nL = δ.+*f1 = 0 0 ≤ deg m ≤ δ − 1....

. . =⇒δxL m(x1 , . . . , xL−1 ) fL = 0xδ1 m(x2 , . . . , xL )(δ)↓+* xδ2 m(x1 , x3 , . . . , xL ) δ − 1 ≤ deg m ≤ 2δ − 2...m∈MδxL m(x1 , . . . , xL−1 ) (δ−1)↓+* xδ3 m(x1 , x2 , x4 , . . . , xL ) 2δ − 2 ≤ deg m ≤ 3δ − 3...m∈MδxL m(x1 , . . . , xL−1 ) (δ−1)↓...↓*xδk m(x1 , . . . , xk−1 , xk+1 , . .

. , xL , . . . , xL )...xδL m(x1 , . . . , xL−1 )+ (k − 1)(δ − 1) ≤ deg m ≤ k(δ − 1)m∈M(δ−1)↓...↓54*xδL−1 m(x1 , . . . , xL−2 , xL )...xδL m(x1 , . . . , xL−1 )+ (L − 2)(δ − 1) ≤ deg m ≤ (L − 1)(δ − 1)m∈M.(δ−1)Здесь скобки hi обозначают конечную последовательность линейных систем, называемую каскадом; индекс при скобках обозначает число систем вкаскаде. Например, первый из указанных каскадов имеет видδδδx x x , 1 ≤ j, k ≤ L x x ,1 ≤ j ≤ L x  1 j 1  1 j k,→,→,→......... xδ  2 xδ xj xk , 1 ≤ j, k ≤ L  xδ xj , 1 ≤ j ≤ L LLLL(L−1)LLCLxδ1 xj22 . . .

xjLL , j2 + j3 + . . . + jL = δ − 1 ,→ . . . ,→(1.47)... δ−1 xj1 . . . xjL−1 xδ , j1 + j2 + . . . + jL−1 = δ − 1 1L−1 LLCL+δ−3Здесь скобки {} обозначают линейную систему относительно содержащихся вней мономов, индекс при скобках обозначает число мономов, которое для системы xδ m(x , . . .

, x , x , . . . , x ) deg m = µ 1k−1 k+1Lkm∈M xδL m(x1 , . . . , xL−1 )(1.48)оказывается равным(L − k + 1)CL−2L+µ−2−L−2C1L−1 CL+µ−2−δ+C2L−1 CL−2L+µ−2−2δ− ...Так, самая последняя система диаграммы составлена относительно всего лишьдвух мономов:δδ−1δ−1 δxδ−1. . . xδ−1и xδ−1. . . xδ−111L−2 xL−1 xLL−2 xL−1 xL .Если мономы степени δ + µ − 1 редуцируемы относительно M и линейная система (1.48) относительно указанных мономов степени δ + µ совместна, то всемономы степени δ + µ рещуцируемы. Переход от системы (1.48) к следующей в55последовательности (обозначенный через ,→) осуществляется умножением редукций, полученных на предыдущем шаге, на переменные xk , .

. . , xL , если новаясистема содержится в том же каскаде, и на переменные xk+1 , . . . , xL , если онаоказывается первой в следующем каскаде. Следовательно, для полной редуцируемости достаточно выполнения (L − 1)(δ − 1) + 1 условий.Известные результатыПриведем здесь основные теоремы.Рассмотрим полиномf (z) = a0 z n + a1 z n−1 + · · · + an(aj ∈ R, j = 1, 2, . .

. , n; a0 6= 0).Предположим, что у него нет кратных корней (D(f ) 6= 0).Используя теорему 7, мы можем определить, сколько вещественных корнейполинома f (z) удовлетворяют условию g(x, 0) > 0. Рассмотрим теперь отделение комплексных корней.Запишем f (z) в виде1f (z) = f (x + iy) = f (x) + f 0 (x)(iy) + f 00 (x)(iy)2 + · · ·21 (n)11+ f (x)(iy)n = f (x) − f 00 (x)y 2 + f (4) (x)y 4 − . . . +n!24!1i[f 0 (x) − f (3) (x)y 2 + · · · ]y.3!Следовательно, вещественная и мнимая части корней полинома f (z) удовлетворяют системе уравнений11φ(x, y) = f (x) − f 00 (x)y 2 + f (4) (x)y 4 − . . .

= 02!4!11ψ(x, y) = f 0 (x) − f (3) (x)y 2 + f (5) (x)y 4 − . . . y = 03!5!(1.49)Следующий результат предположительно принадлежит Лагранжу [33].56Теорема 24. Множество решений системы (1.49) имеет вид{(αjk , βjk )|j, k = 1, n},где1αjk = (λj + λk ),2βjk =1(λj − λk ).2iи λ1 , .

. . , λn — корни f (z).Таким образом, задача свелась к нахождению числа вещественных решений системы (1.49), удовлетворяющих неравенству g(x, y) > 0. Так как длявещественных корней f (x) мы уже решили задачу, то можно разделить ψ(x, y)на y и исследовать следующую систему:Φ(x, y 2 ) = 0,Ψ(x, y 2 ) = 0,(1.50)где Φ и Ψ четные по y полиномы.Существует связь между этими двумя полиномами и полиномами F1 (z 2 )и F2 (z 2 ) из представления (1.28):F1 (u) = Φ(0, −u), F2 (u) = Ψ(0, −u).Пусть g(x, y) — четный по y полином (область комплексной плоскости,определенная неравенством g(x, y) > 0, симметрична относительно вещественной оси).

Обозначим2Y = y 2 , Bjk = βjk, G(x, Y ) = g(x, y).Рассмотрим систему уравненийΦ(x, Y ) = 0,Ψ(x, Y ) = 0.Исключим Y из (1.51). РассмотримX (x) = RY (Φ, Ψ).(1.51)57Несложно показать, чтоRy (φ, ψ) ≡ RY (Φ, Ψ) ≡ X 2 (x).Как доказано в [15], deg X = N = n(n − 1)/2.В качестве примера вычислим элиминанту X (x) для полиномаf (z) = z 6 + a1 z 5 + a2 z 4 + a3 z 3 + a4 z 2 + a5 z + a6 :X (x)=32768x15 +81920 a1 x14 +(32768 a2 +81920 a21 )x13 +(8192 a3+65536 a2 a1 +40960 a31 )x12 +(12288 a22 +10240 a41 +49152 a2 a21−4096a4 +18432a1 a3 )x11 +(−10240a5 +6144a2 a3 −4096a1 a4 +16384a2 a31+1024 a51 +18432 a22 a1 +15360 a3 a21 )x10 +(−13312 a6 +2048 a32 −1024 a2 a4−14848a5 a1 −512a4 a21 +2048a2 a41 +10752a2 a1 a3 +9216a22 a21 +5632a31 a3 )x9+(2048 a32 a1 −8192 a5 a21 +512 a31 a4 +512 a2 a1 a4 −3072 a5 a2 −19968 a6 a1+1536 a22 a3 +1536 a22 a31 +6144 a2 a3 a21 −1536 a4 a3 +768 a3 a41 +768 a23 a1 )x8+(−12032 a6 a21 +128 a4 a41 −896 a24 −2048 a5 a31 +1920 a22 a1 a3−1024 a3 a1 a4 −384 a5 a3 −3072 a2 a6 +1152 a2 a31 a3 +512 a32 a21 +256 a22 a4+1024 a2 a4 a21 +768 a21 a23 +128 a42 −3328 a5 a2 a1 )x7 +(−1280 a5 a2 a21+576 a22 a21 a3 −192 a41 a5 −128 a33 −640 a5 a4 +384 a2 a23 a1 −832 a24 a1−448 a5 a1 a3 +256 a2 a31 a4 +1920 a6 a3 −3328 a31 a6 +512 a22 a1 a4 +64 a42 a1−128 a5 a22 −4864 a2 a6 a1 +128 a3 a32 −256 a2 a4 a3 +192 a23 a31 )x6+(64 a3 a31 a4 −192 a2 a24 +64 a32 a4 −352 a41 a6 −672 a5 a1 a4−224 a21 a24 +192 a5 a2 a3 +1056 a6 a1 a3 −576 a22 a6 −224 a5 a3 a21−160 a31 a2 a5 +192 a2 a21 a23 −2304 a2 a6 a21 −192 a4 a23 −32 a33 a1−160a5 a22 a1 −384a25 +96a32 a1 a3 +128a2 a3 a1 a4 +160a22 a21 a4 +1728a4 a6 )x558+(32 a32 a1 a4 +32 a3 a22 a4 −16 a24 a31 −32 a33 a2 +16 a33 a21−32 a5 a2 a4 −256 a5 a4 a21 +48 a22 a1 a23 +288 a5 a6 +96 a2 a21 a3 a4+32 a5 a2 a1 a3 −64 a2 a24 a1 −32 a31 a3 a5 +96 a5 a23 +1344 a4 a6 a1 −64 a4 a23 a1−32 a22 a21 a5 −544 a22 a6 a1 −368 a25 a1 +96 a2 a6 a3 −352 a2 a31 a6+64 a21 a6 a3 −128 a24 a3 )x4 +(−32 a31 a4 a5 +144 a4 a6 a2 −16 a4 a23 a2+32 a22 a1 a4 a3 +8 a22 a24 −216 a26 +32 a5 a23 a1 −32 a3 a31 a6 −32 a34−40 a25 a2 −40 a2 a6 a1 a3 −56 a24 a3 a1 +56 a5 a4 a3+344 a4 a6 a21 −32 a32 a6 −56 a5 a2 a1 a4 +8 a2 a1 a33 +8 a22 a5 a3+264 a5 a6 a1 −128 a22 a21 a6 −8 a43 −128 a21 a25 +24 a23 a6 +8 a23 a21 a4 )x3+(−16 a34 a1 −36 a2 a1 a25 +4 a22 a1 a24 +8 a2 a1 a23 a4 +72 a4 a6 a1 a2 −8 a33 a4+12 a5 a3 a1 a4 +84 a5 a6 a21 +12 a23 a6 a1 −4 a3 a21 a24 +24 a25 a3−36 a2 a21 a6 a3 +28 a4 a31 a6 +4 a22 a1 a5 a3 −108 a26 a1 −16 a32 a1 a6 −12 a2 a21 a4 a5+4 a23 a21 a5 −16 a31 a25 )x2 +(2 a2 a1 a23 a5 +12 a5 a6 a1 a2 +8 a4 a21 a6 a2 +2 a2 a4 a3 a5 −2 a34 a21 +6 a6 a23 a2 −18 a26 a21 +6 a4 a6 a1 a3 −2 a23 a21 a6 +8 a31 a6 a5−4 a5 a24 a1 −18 a5 a6 a3 −2 a24 a23 +8 a3 a1 a25−2 a33 a5 +2 a2 a1 a24 a3 −8 a21 a25 a2 −2 a22 a25 −8 a22 a1 a6 a3 +6 a25 a4 )x−a22 a1 a25 −3 a5 a6 a1 a3 −a26 a31 −a24 a21 a5 −a4 a23 a5 +a6 a33 +a3 a25 a2 −a35+2 a4 a1 a25 +a4 a21 a6 a3 −a2 a1 a6 a23 +a2 a1 a4 a3 a5 +2 a2 a21 a6 a5Приведем здесь еще один метод вычисления коэффициентов полиномаX (x).

Для этого нам понадобится следующая лемма, которая принадлежитЛагранжу [33].Лемма 1.X λ j + λ k pj<k2! p+1 Xp1=Cqp sp−q sq − 2p sp .2q=0(1.52)Здесь λj — по-прежнему корень, а sj — сумма Ньютона полинома f (z).59Сначала найдем суммы Ньютона для полинома f (z) (например, воспользовавшись формулами (1.10)). Так как корнями X (x) являются (λj + λk )/2(теорема 24), то, воспользовавшись леммой 1, мы можем найти суммы Ньютона для результанта X (x). А по известным суммам Ньютона легко найти егокоэффициенты (например, применив формулу (1.11)).Для решения задачи нам понадобится структура множества решений системы уравнений (1.51).Теорема 25.

Система (1.51) имеет n(n − 1)/2 решения (αjk ,βjk ), 1 ≤ j <k ≤ n. Здесь αjk — корень X (x). Множество решений (1.51) состоит из двухподмножеств:{(Reλk , (Imλk )2 )| λk f (z), Imλk > 0,и если f (z) имеет по меньшей мере два вещественных корня, тогда(2 !λ j + λkλj − λk| пары (λj , λk ), j < k, вещественных,−22(1.53)(1.54)корней f (z)} .Таким образом, исследование вещественных решений системы уравнений(1.50) сводится к исследованию вещественных решений системы (1.51). Однакопоследняя обладает нежелательными решениями (1.54).Предположение 1. Будем считать, что элиминанта X (x) не имеет кратных корней (D(X ) 6= 0) (откуда следует, в частности, что комплексные корниполинома f (z) имеют различные мнимые части).Если данное условие выполнено, мы можем использовать формулу (1.5)и выразить вторую компоненту решения (1.51) через вещественную рациональную функцию первой:Bj = r(αj ),j = 1, . .

Характеристики

Список файлов диссертации