Диссертация (1145311), страница 5
Текст из файла (страница 5)
. . , Ar ) = n+ ;(1.6)V(1, A1 , A2 , . . . , Ar ) = n− ;(1.7)При выполнении условий теоремы сигнатура квадратичной формы равна:σ = P − V.28В случае, если среди главных миноров A1 , . . . , Ar встречаются равные нулю, числа n+ , n− , σ для ганкелевой формы A(X, X) следует считать по правилуФробениуса.Обозначим через A(r) следующий минор матрицы A :1 ... h n − r + h + 1 ... n.A(r) = A 1 ... h n − r + h + 1 ... nТеорема 6 принадлежит Фробениусу:Теорема 6. Величины P, V могут быть определены из формул (1.6), (1.7),если1) при Ah 6= 0, Ah+1 = .
. . = Ar = 0 (h < r) заменить в этих формулахAr на A(r) (при A(r) 6= 0);2) в любой группе из p промежуточных определителей(Ah 6= 0) Ah+1 = Ah+2 = . . . = Ah+p = 0 (Ah+p+1 6= 0)(1.8)нулевым определителям приписать знаки по формуламsign Ah+j = (−1)j(j−1)/2 sign Ah .(1.9)При этом величины P, V, P − V, соответствующие группе (1.8), получат значенияp — нечетно p — четноPh,p = P(Ah , Ah+1 , . . .
, Ah+p+1 )p+12p+1+ε2Vh,p = V(Ah , Ah+1 , . . . , Ah+p+1 )p+12p+1−ε2Ph,p − Vh,p0ε29ε = (−1)p/2 signAh+p+1.AhСледствие 2. При p = 1 из формулы (1.9) следует: Ah Ah+2 < 0. Имеет место правило Гульденфингера: при подсчете V(1, A1 , . . .
, Ar ) можно Ah+1 опустить.Следствие 3. (правило Фробениуса). В случае, когда в ряду чисел 1, A1 , . . . , Arимеются два подряд идущих нуля (но нет трех подряд идущих нулей): Ak =Ak+1 = 0 (Ak−1 6= 0, Ak+2 6= 0). ТогдаAk+2< 0, 1 при Ak−1V(Ak−1 , Ak , Ak+1 , Ak+2 ) =Ak+2 2 при> 0.Ak−1Пусть λ1 , λ2 , . . . , λn — по-прежнему корни полиномаf (z) = a0 z n + a1 z n−1 + · · · + an ,Определение 5. sl = λl1 + λl2 + · · · + λlnaj ∈ R, j = 0, n, a0 6= 0.(l = 0, 1, 2, .
. .) называется суммойНьютона полинома f (z).Суммы Ньютона как симметрические функции корней f (z) допускают рациональное выражение через коэффициенты полинома f :s0 = n;s1 = −a1;a0lal + a1 sl−1 + · · · + al−1 s1sl = −(l = 2, n);a0a1 sp + a2 sp−1 + · · · + an sp+n−1sp+1 = −(p ≥ n).a0Известна также формула Варинга [174]:sk =k X (j1 + j2 + .
. . + jn − 1)!(−1)j1 +j2 +...+jn aj11 aj22 . . . ajnn ,a0j1 !j2 ! . . . jn !(1.10)30где суммирование проводится по всем неотрицательным индексам jp , удовлетворяющим условию j1 + 2j2 + 3j3 + . . . + njn = k.Обратно, коэффициенты полинома (с точностью до a0 ) рекуррентно выражаются через его суммы Ньютона; при a0 = 1 имеем:a1 = −s1 ;1al = − (sl + a1 sl−1 + a2 sl−2 + · · · + al−1 s1 ) (l = 2, n)lМожно также воспользоваться другим выражением s1 100 0 ...
s2 s 120 0 ...k (−1) ak =ss2s13 0 ...k! 3 .... ..... sk sk−1 sk−2 sk−3[126]:0 0 0 .. . s1 (1.11)(1.12)Обращение формулы Варинга выглядит следующим образом: s jnX (−1)j1 +j2 +...+jn s1 j1 s2 j2nak =· ... ·,j1 !j2 ! · . . . · jn ! 12nгде суммирование проводится по всем неотрицательным наборам индексов j1 ,j2 , . . ., jn , удовлетворяющих условию j1 + 2j2 + 3j3 + . . . + njn = k.Известно также [39], что суммы Ньютона характеристического полиномаматрицы Ak×k выражаются через степени этой матрицы по формулеsp = Sp Ap ,где Sp A обозначает след матрицы A.p = 1, 2, . . .
,(1.13)31Построим ганкелеву квадратичную форму (ГКФ)S(Y, Y ) = Y T SY =Pn−1j,k=0 sj+k yj yk s0 s1 s2 . . . sn−1 s1 s2 . . . . . . s nT = Y s2...sn+1...sn−1 sn sn+1 . . . s2n−2T Y = Y T [sj+k ]n−1j,k=0 Y = Y SY.Теорема Якоби позволяет определить число различных корней полиномаf (z) и число его различных вещественных корней:Теорема 7.
Число различных корней f (z) равно рангу формы S(X, X). Числоразличных вещественных корней f (z) равно сигнатуре формы S(X, X).Если некоторые из главных миноров матрицы S равны нулю, мы можемнайти сигнатуру ГКФ S(X, X), используя теорему 6.Знание сумм Ньютона полинома f (x) позволяет отделить его вещественные корни. Для этого рассмотрим следующую ганкелеву матрицу, элементыкоторой зависят от параметра t:n−1H(t) = (sj+k t−sj+k+1 )j,k=0s t − s1s1 t − s2 .
. . sn−1 t − sn 0 s1 t − s2s2 t − s3 . . . sn t − sn+1=...sn−1 t − sn sn t − sn+1 . . . s2n−2 t − s2n−1.n×nМатрица, составленная из коэффициентов при t, совпадает с матрицей S изтеоремы 7. Обозначим `-ый главный минор матрицы H(t) через H` (t):H` (t) = |sj+k t − sj+k+1 |`−1j,k=0 .32Определитель H` (t) допускает также иное s 0 s1 . . . s ` s1 s2 . . . s`+1H` (t) = . . . s`−1 s` . .
. s2`−1t . . . t` 1представление:.(`+1)×(`+1)Такое представление удобно, поскольку разложение данного определителя попоследней строке позволяет получить каноническую форму полинома H` (t).Разложение H` (t) по последней строке даетH` (t) = h`0 t` + h`1 t`−1 + h`2 t`−2 + . . . .Здесьh`0 = H` = s0s1s2.
. . s`−1s1s2s3...s`. . . s2`−3s`...s`−2 s`−1s`−1s`s`+1 . . . s2`−2`×`— тоже ганкелев определитель.Определение 6. Определитель H` (t) называется ганкелевым полиномом.Заметим, чтоHn (t) = det H(t) ≡ Sn f (t)/a0 .Следующая теорема принадлежит Ф. Йоахимшталю:Теорема 8. Пусть rank S = r. Тогдаnrr {f (x) = 0|a < x < b} == V(1, H1 (a), H2 (a), . . . , Hr (a)) − V(1, H1 (b), H2 (b), . . . , Hr (b))33при условии, что в ряду чисел1, H1 (t), H2 (t), . . .
, Hr (t)нет двух последовательных нулей при t = a и t = b.В случае, когда в данном ряду встречаются несколько подряд идущих нулей, можно воспользоваться правилом Кронекера — Хатендорфа:r1X{sign (Hk−1 (b)Hk (b)) − sign (Hk−1 (a)Hk (a))}.nrr {f (x) = 0|a < x < b} =2k=1Таким образом, система полиномов {H` (t)}r`=1 играет роль системы полиномов Штурма для полинома f (x).
В отличие от классической системы полиномовШтурма, построенной с помощью алгоритма Евклида, здесь степени полиномовH` (t) возрастают при возрастании `.Нахождение определителей Hj (t) является вычислительно затратным. Однако существует рекуррентное соотношение, связывающее три последовательных определителя Hk−2 (t), Hk−1 (t) и Hk (t) [171], которое позволяет упроститьвычисления.Следующая теорема принадлежит Якоби и Йоахимшталю.Теорема 9. Любые три последовательных ганкелевых полиномаH`−2 (t), H`−1 (t), H` (t)связаны следующим равенствомH2` H`−2 (t) + (H` h`−1,1 − H`−1 h`1 − H` H`−1 t)H`−1 (t) + H2`−1 H` (t) ≡ 0.(1.14)Соотношение (1.14) может быть переписано в более симметричной форме:Следствие 4.
Если H` 6= 0, H`−1 6= 0, то равенство (1.14) может быть записано следующим образом:H`h`−1,1 h`1H`−1H`−2 (t) − t −+H`−1 (t) +H` (t) ≡ 0.H`−1H`−1H`H`(1.15)34Равенство (1.14) позволяет получить рекурсивный способ нахождения ганкелевых полиномов H` (t). В самом деле, предположим, что выражения дляH`−2 (t) и H`−1 (t) найдены, причемH`−1 (t) = h`−1,0 t`−1 + h`−1,1 t`−2 + .
. . + h`−1,`−1 , где h`−1,0 = H`−1 .Тогда в формуле (1.14) известны все постоянные члены за исключением H` иh`1 , для которых имеются только их представления в виде определителей s0 s0s1 . . . s`−2s`ss...s12`−1 s1 s1s2 . . . s`−1 s`+1s2s3 . . . s` H` = . . . и h`1 = − . . . s`−2 s`−1 . . . s2`−4 s2`−2 s`−2 s`−1 s` . . . s2`−3 s`−1 s` . . . s2`−3 s2`−1 s`−1 s` s`+1 .
. . s2`−2 .Данные определители отличаются от транспонированного определителя,представляющего H` (t), только последними столбцами. Раскладывая их по элементам последнего столбца, получаем одни и те же множители, равные алгебраическим дополнениям этих элементов, и, соответственно, следующие формулы:h`0 = H` = s`−1 h`−1,`−1 + s` h`−1,`−2 + . . . + s2`−2 h`−1,0 ,h`1 = −(s` h`−1,`−1 + s`+1 h`−1,`−2 + .
. . + s2`−1 h`−1,0 ),(1.16)которые позволяют найти h`0 и h`1 по известным коэффициентам H`−1 (t).Однако приведенный рекурсивный алгоритм вычисления H` (t) не работает в случае, когда H`−1 = 0. В этом случае применим модифицированныйалгоритм [171].Теорема 10. Пусть H`−2 6= 0, H`−1 = 0. Если h`−1,1 = 0, тоH`−1 (t) ≡ 0иH` (t) =h`2H`−2 (t).H`−235Если h`−1,1 6= 0, тоH`−1 (t) =иh` (t) =h`−1,1H`−2 (t)H`−2 H`−200H` h`−2,1 H`−20 h`1 H` H`−2 h`−1,1 H`−3 (t) − h`−2,2 h`−2,1 H`−2 h`2 2 tt10 H3`−2Тем самым, для нахождения ганкелева полинома H` (t) нет необходимости вычислять определитель. Этот полином можно построить, если известныганкелевы полиномы H`−1 (t) и H`−2 (t).Наряду с полиномом f (z) рассмотрим полиномg(z) = b0 z m + b1 z m−1 + · · · + bm(bj ∈ R, j = 0, 1, . . .
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
