Диссертация (1145311), страница 2
Текст из файла (страница 2)
Темсамым задача о локализации собственных значений матрицы является обобщением задачи локализации корней полинома. В последнее время довольнобольшое внимание привлекают задачи, связанные с существованием кратныхсобственных чисел матрицы, например, при определении структуры жордановой нормальной формы матрицы в зависимости от параметров. Такие задачи встречаются в физике (в том числе в квантовой механике и ядерной физике) [47, 97, 121], оптике [54], электротехнике [82]. Рассматриваются как малыевозмущения матриц [60, 67, 114, 118, 138, 166], так и значения параметра, которые не являются малыми [103, 131, 140].Еще одним подходом к исследованию сложных систем, получившим развитие в последнее время, является приложение методов теории графов.
Этосвязано с тем, что процессы, встречающиеся в различных приложениях (в химической кинетике, химической технологии, биологии, марковских процессах)могут описываться дифференциальными уравнениями на графах. Тем самымпри построении качественной теории дифференциальных уравнений и анализаих решений могут использоваться свойства графов (см. работы [5, 26, 27, 28, 29,42, 129, 151, 162].
Графы применяются также в теории многоагентных систем(МАС), изучение которых связано с решением практических задач в сфере се-8тевых и мобильных технологий, в логистике, в графике, геоинформационныхсистемах (см. работы [137, 146, 176]) и при исследовании систем с переключениями ([63, 79, 150]). К исследованию графов применимы алгебраические методы. Так, известны теоремы, связывающие спектральные свойства матрицысмежности с другими свойствами графа (см., например, книгу [56]), известноенеравенство Чигера, позволяющее оценить наименьший разрез графа посредством второго собственного значения матрицы Кирхгофа (это один из наиболееприменимых в алгоритмических приложениях результатов) [100], теоремы, связывающие диаметр графа и собственные числа [45, 136], которые получены с помощью линейной алгебры.
Стоит отметить, что задача об изоморфизме графовможет быть также сформулирована как линейно-алгебраическая задача [87].Во многих случаях решение задач теории графов упрощается, если известно,что граф является реберным (например, задача поиска максимального независимого множества). Поэтому разработка эффективных алгоритмов распознавания реберного графа и построения его корневого графа остается актуальной,несмотря на существование нескольких таких алгоритмов [78, 124, 127, 155].При моделировании и симуляции биологических систем анализ может проводиться с помощью численного интегрирования систем обыкновенных дифференциальных уравнений.
Во многих случаях для решения систем ОДУ, описывающих работу ионных каналов клеточных мембран, используется явный методЭйлера [86, 117, 163, 169]. В режиме реального времени при одновременномпроведении экспериментов каждый шаг вычислений должен быть выполнен заограниченное время [64]. При очень большом количестве уравнений в каждыймомент времени необходимо сделать огромное количество вычислений [64, 117].Поэтому необходимы численные методы, позволяющие найти решение задачиКоши с минимальной возможной погрешностью (с учетом ошибок округления,возникающих при выполнении арифметических операций в реальной арифметике с плавающей точкой, которая используется при вычислении на компьютере),для чего уместным оказывается применение алгебраического подхода.9Цель диссертационной работы заключается в разработке конструктивных алгебраических методов и алгоритмов, применимых для анализа сложныхсистем и в применении этих алгоритмов к конкретным задачам, требующимисследования динамики и устойчивости таких систем.Научная новизна.
Выносимые на защиту результаты являются новыми,все они опубликованы в открытой печати. Предложенные алгоритмы разработаны и программно реализованы лично автором.Теоретическая и практическая ценность. Результаты, изложенныев диссертации, позволяют упростить анализ устойчивости и D-устойчивостисложных систем, а также получить максимально точные решения этих системв арифметике с плавающей точкой в режиме реального времени.Предложенные алгоритмы являются достоверными и эффективными, чтопозволяет использовать их в механике, теории управления, биофизике и химической кинетике.
Простота и вычислительная эффективность позволяют вряде случаев применять их для моделирования процессов в сложных системахв реальном времени.Практическая ценность результатов диссертации состоит в том, что примоделировании и анализе сложных систем они позволяют:1) повысить достоверность и точность выполняемых расчетов,2) сократить время вычислений,3) проанализировать свойства системы в зависимости от параметров.Методы исследования.
В диссертационной работе используются методы системного анализа, классической высшей алгебры (теория исключения, теория ганкелевых квадратичных форм), теории дифференцируемых отображенийи алгебраической теории графов, оценка погрешностей в арифметике с плавающей точкой.Основные положения, выносимые на защиту: 1.
Конструктивныйалгоритм проверки устойчивости и D-устойчивости семейства вещественныхполиномов с коэффициентами, полиномиально зависящими от параметров.102. Алгоритм нахождения общих собственных чисел двух матриц.3. Алгоритм нахождения максимального порядка клетки Жордана и собственных чисел, которым соответствуют клетки Жордана максимального порядка для матрицы с комплексными элементами.4. Алгоритм нахождения значений параметра, при которых матрица с элементами, линейно зависящими от этого параметра, имеет кратные собственныечисла.5.
Матричный алгоритм распознавания реберного графа.6. Эффективный алгоритм численного интегрирования систем ОДУ, позволяющий получить максимально точное решение задачи Коши в арифметикес плавающей точкой.Результаты исследований прошли апробацию на следующих конференциях:• I международная конференция “Stability and Control Processes”, посвященная 75-летию со дня рождения В.И. Зубова, SCP 2005 (г. Санкт-Петербург,2005),• 10-я международная конференция “Computer Science and Information Technologies”, CSIT 2013 (г. Ереван, Армения, 2013),• 13-я международная конференция “Internationsl Conference of NumericalAnalysis and Applied Mathematics”, ICNAAM 2015 (г.
Родос, Греция, 2015),• III международная конференция “Stability and Control Processes”, посвященная 85-летию со дня рождения В.И. Зубова, SCP 2015 (г. Санкт-Петербург, 2015),• 18-я международная конференция “The 18th International Workshop onComputer Algebra in Scientific Computing”, CASC 2016 (г. Бухарест, Румыния, 2016),11а также на семинарах факультета прикладной математики — процессов управления Санкт-Петербургского государственного университета.Публикации.
По теме диссертационной работы опубликовано 20 печатных работ, в том числе 12 статей в журналах, рекомендованных ВАК РФ.Личный вклад автора. Содержание диссертации и основные положения, выносимые на защиту, отражают персональный вклад автора в опубликованные работы. Подготовка к публикации полученных результатов проводилась совместно с соавторами, причем вклад диссертанта был определяющим.Все представленные в диссертации результаты получены лично автором.Структура и объем диссертации. Диссертация состоит из введения,четырех глав, заключения и библиографического списка, включающего 182 наименования. Общий объем работы составляет 257 страниц.Краткое содержание работыВо введении обоснована актуальность диссертационной работы, сформулирована цель и аргументирована научная новизна исследований, показанапрактическая значимость полученных результатов, представлены выносимыена защиту научные положения.
Также дан обзор классических и современныхрезультатов, посвященных исследованию поведения решений и численному интегрированию систем обыкновенных дифференциальных уравнений.Первая глава диссертационной работы посвящена локализации корнейвещественного семейства полиномов.Сложные динамические системы обычно моделируются нелинейными дифференциальными уравнениями (динамика роста населения, изменения цен, распространение эпидемий, поведение различных электромеханических систем, химические реакции в клетках и т. д.).
При этом во многих практических приложениях требуется исследовать некоторые качественные свойства решений вцелом. Наиболее важным вопросом при этом является вопрос об устойчивостиположения равновесия, который во многих случаях сводится к исследованиюспектра некоторой матрицы, т. е. нулей ее характеристического полинома.12С помощью теории исключения задача решения системы алгебраическихуравнений от нескольких переменных может быть сведена к одномерному случаю. Практически это можно сделать с использованием современных пакетовсимвольных вычислений, либо с помощью базисов Грёбнера, либо с помощьюаппарата многомерных результантов. Тем самым задача анализа свойств множества решений такой системы сводится к аналогичной задаче для одного алгебраического уравнения относительно одной переменной. В частности, такимобразом может быть решена задача определения количества вещественных решений, а также задача их локализации (в том числе в конкретной алгебраической области вещественной или комплексной плоскости).
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
