Диссертация (1145311), страница 9

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 9)

. , N =n(n − 1)2(1.55)(для простоты далее будем использовать один индекс для решений (1.51)).60Для множества (1.53) имеем r(x) > 0, тогда как для множества (1.54)r(x) < 0.Теперь мы можем решить поставленную задачу для комплексных корнейполинома f (z):Теорема 26. Число комплексных корней f (z), удовлетворяющих условиюg(x, y) > 0, равно2nrr {X (x) = 0|r(x) > 0, G(x, r(x)) > 0}.(1.56)Число (1.56) может быть найдено с помощью теорем 7 и 11. Таким образом,теоремы 7 и 26 решают нашу задачу.Применяя формулу (1.6) (k = 2) к (1.56) и учитывая равенство(1.53)2nrr {X (x) = 0|r(x) > 0} = n − nrr {f (z) = 0},получаем следующее следствие:Следствие 8.

Число (1.56) равно1(n − nrr {f (z) = 0}) + nrr {X (x) = 0|G(x, r(x)) > 0}2−nrr {X (x) = 0|r(x)G(x, r(x)) < 0}.Пример 2. Для полиномаf (z) = z 4 − z 3 − 2z 2 + 6z − 4найти число корней, удовлетворяющих условиюg(x, y) = 2y 2 − x > 0.Решение. Используя теорему 11, найдем сначалаnrr {f (x) = 0|g(x, 0) > 0}.(1.57)61Для этого нужно вычислить главные миноры матриц S и H, элементы которыхs0 = 4, s1 = 1, s2 = 5, s3 = −11, s4 = 9, s5 = −39, s6 = 65, (s7 = −111);t0 = 1, t1 = 5, t2 = −11, t3 = 9, t4 = −39, t5 = 65, t6 = −111.Главные миноры этих матриц равны:S1 = 4, S2 = 19, S3 = −548, S4 = −3600;H1 = 1, H2 = −36, H3 = 1664, H4 = 14440.По теореме 7, nrr {f (z) = 0} = σ(S) = 2, и по теореме 11 nrr {f (z) = 0|g(x, 0) >0} = 1.

Таким образом, один из двух вещественных корней полинома f (z)удовлетворяет неравенству g(x, 0) > 0.Для отделения комплексных корней рассмотрим систему (1.51):Φ(x, Y ) = Y 2 −1 00f (x)Y + f (x) = 0,2!1Ψ(x, Y ) = − f (3) (x)Y + f 0 (x) = 0.3!(1.58)ЗдесьX (x) ≡ RY (Φ, Ψ) = −4(16x6 − 24x5 − 4x4 + 14x3 + 10x2 − 7x − 5).Для упрощения вычислений далее будем рассматривать X (x) без множителя−4. Так как D(X ) ≈ 2,01852 · 1013 6= 0, то X не имеет кратных корней, и мыможем применить (1.6).

Решения (1.58) связаны формулой (1.55), где6f 0 (x)r(x) = (3) .f (x)(1.59)Чтобы найти число (1.56), будем использовать сначала представление (1.57), азатем теорему 7:nrr {X (x) = 0|G(x, r(x)) > 0} = nrr {X = 0|2r(x) − x > 0}= nrr {X = 0|(12f 0 (x) − xf (3) (x))f (3) (x) > 0}= nrr {X = 0|G1 (x) ≡ 32x4 − 48x3 − 18x2 + 55x − 12 > 0}.62Главные миноры формы H, построенной для X (x) и G1 (x), равныH1 = −139, H2 = −12504,5, H3 ≈ −862032,H4 ≈ 3,0092 · 107 , H5 ≈ −2,85266 · 108 , H6 ≈ −2,08108 · 109 .По теореме 26, у X (x) два вещественных корня.

Следовательно, по теореме 7,nrr {X = 0|G1 (x) > 0} = 1,то есть на одном из этих корней полином G1 (x) положителен. Далее,nrr {X (x) = 0|r(x)G(x, r(x)) < 0} = nrr {X = 0|f 0 [f (3) ]2 (12f 0 − xf (3) ) < 0}= nrr {X = 0|f 0 (12f 0 − xf (3) ) < 0}= nrr {X = 0|2X (x) − (16x5 + 22x4 − 129x3 + 88x2 + 76x − 82) < 0}= nrr {X = 0|g2 (x) ≡ 16x5 + 22x4 − 129x3 + 88x2 + 76x − 82 > 0}.Аналогично тому, как мы находили nrr {X = 0|G1 (x) > 0}, находимnrr {X = 0|G2 (x) > 0} = 0.Таким образом, число комплексных корней f (z), удовлетворяющих данномунеравенству, равно 2.Итак, три корня f (z) удовлетворяют условию 2y 2 − x > 0.Проверка.

Корни f (z) равны −2(g > 0), 1(g < 0), 1 ± i(g > 0).Пусть теперь g(x, y) — произвольный полином (не обязательно четный поy). Для решения задачи в этом случае найдем результант системы (1.50) поисключении переменной x:Y(y) = Rx (Φ, Ψ).deg Y = n(n − 1) = 2N . Вместо предположения 1 рассмотримПредположение 2.

Пусть D(Y) 6= 0.При выполнении этого условия все вещественные решения системы (1.50)соответствуют комплексным корням f (z). Как и в предыдущем случае, можем63использовать (1.6). Первая компонента решения (1.50) является вещественнойрациональной функцией второй компоненты:αj = r1 (βj ),j = 1, 2N .Теорема 27. Число комплексных корней вещественного полинома f (z), удовлетворяющих алгебраическому условию g(x, y) > 0, равноnrr {Y(y) = 0|g(r1 (y), y) > 0}.(1.60)Хотя формула (1.60) кажется более простой, чем (1.56), но степень Y(y) вдва раза больше степени X (x).Обобщения теорем 26 и 27 на случай системы полиномиальных неравенствмогут быть легко получены с помощью формулы (1.6).

Таким образом, этазадача может быть решена за конечное число алгебраических операций надкоэффициентами полиномов.Ранее мы предполагали, что полином f не имеет кратных корней (D(f ) 6=0). Покажем теперь, как использовать предложенный метод для решения поставленной задачи в случае, когда f (z) имеет кратные корни.Сначала решим задачу отделения корней для полиномаf (z)/Н.О.Д.(f (z), f 0 (z)) = f (z)/f1 (z)(1.61)(сделать это можно, используя методы настоящего параграфа, так как полином(1.61) не имеет кратных корней).Затем определим, сколько корней полиномаf1 (z)/Н.О.Д.(f1 (z), f10 (z)) = f1 (z)/f2 (z)удовлетворяют условиюg(x, y) > 0.Если полином f1 (z) не имеет кратных корней (D(f1 ) 6= 0), то число корнейf, на которых g(z) > 0, равноnr {f (z)=0|g(x, y)>0}=nr {f (z)/f1 (z)|g(x, y)>0}+nr {f1 (z)|g(x, y)>0}.64Если же f1 (z) имеет кратные корни, то повторяем для него предложенную процедуру и т.д.Сложив все промежуточные результаты, получим ответ для полинома f (z).Замечание 6.

Используя приведенные выше результаты и теорему 13, мыможем решить поставленную задачу и в более общем виде, а именно:Определить число корней полинома f (z), удовлетворяющих условиям:g1 (x, y) > 0, g2 (x, y) > 0, . . . , gk (x, y) > 0.Пример 3. В качестве примера рассмотрим задачу расчета устойчивостииз книги [43].Положим l = 10 м, m = 800 кг. Характеристический полином имеетвид:P (x) = x4 + 2.769x3 + 4.456x2 + 2.769x + 0.5.(1.62)Все его корни должны лежать внутри левой ветви гиперболыy 2 = 4x2 − 0.25,то есть, удовлетворять условиюg(x, y 2 ) = 4x2 − y 2 − 0.25 > 0.(1.63)Сначала определим, сколько вещественных корней имеет полином P (x).Для этого находим его суммы Ньютона:9111684034953260946609; s2 = −; s3 =;329135301257122257800347576593517469910622107605497259s4 = −; s5 = −;36612856503125048182519158112504489616995211569041181591480353708490131169125292333s6 =; s7 = −.15852048803019012500000010430648112386510225000000Для определения числа вещественных корней полинома P составим матрицуs0 =4; s1 = −Якоби S и вычислим ее главные миноры:S1 =4; S2 ≈ −12.645967498; S3 ≈ −50.162016892; S4 ≈ −10.750511513.65(Так как нас интересуют только знаки главных миноров, приводятся их приближенные значения, это на конечный результат не влияет.) Полином P имеет 2вещественных корня и одну пару комплексно-сопряженных корней (по теореме1.3.3).Найдем, сколько вещественных корней полинома P (x) удовлетворяют условию g(x, 0) = 4x2 − 0.25 > 0.

Для этого составим матрицу H с элементами149317218766732595532278; t1 =; t2 = −;65810824100044514111251002727277791147433267948513771927771t3 =; t4 =;11716114081000000963650383162250000177370643481806405504629498814445933577683961563544091; t6 =.t5 = −158520488030190125000000417225924495460409000000000t0 =Вычисляем главные миноры матрицы H:H1 ≈ 2.268996959; H2 ≈ −19.14535057;H3 ≈ −37.88710505; H4 ≈ −2.347223074.Таким образом, по теореме полином g(x, 0) положителен на обоих вещественныхкорнях P .Для комплексных корней рассмотрим систему уравнений (1.5.4):Φ = Y 2 + (−6x2 − 8.307x − 4.456)Y + x4 + 2.769x3 + 4.456x2+2.769x + 0.5Ψ = (−4x − 2.769)Y + 4x3 + 8.307x2 + 8.912x + 2.769Из второго уравнения выражаем Y :1316x32733x2366506x911001Y=+++.1316x + 911 1316x + 911 164500x + 113875 1316000x + 911000Подставим это выражение в первое уравнение и домножим получившеесяуравнение на квадрат знаменателя.

ИмеемX (x)=x6 +2733x56582+ 1269865278947x216482000000 ++431800849x454120500956226816373x432964000000++314204877503x3356112890004906497426831385484800000 .66(Здесь мы для удобства дальнейших вычислений поделили полином на его старший коэффициент.)Теперь нам нужно определить, сколько корней полинома X (x) удовлетворяет условиям:g1 = −x > 0,14576x3 793542271x2 2940709x 2522559g2 = 16x ++++> 0,32913530125822503290004(1.64)14576x3 432702271x2 3396209x 1037402161g3 =48x +−−−> 0.32913530125822501082410004Воспользуемся формулой (1.6):nrr {X (x) = 0|g1 > 0, g2 > 0, g3 > 0}= (1/4)(−3nrr {X = 0} + nrr {X = 0|g1 > 0}+nrr {X = 0|g2 > 0} + nrr {X = 0|g3 > 0}+nrr {X = 0|g1 g2 > 0} + nrr {X = 0|g1 g3 > 0}+nrr {X = 0|g2 g3 > 0} + nrr {X = 0|g1 g2 g3 > 0}.Вычисляем суммы Ньютона полинома X (x):s0 =6; s1 = −s4 = −27337005942746024673817658 ; s2 = 54120500 ; s3 = 35611289000 ;3122833801718339953147208036081497735858057040500000 ; s5 = 1541840613059600000 ;s6 = −15797874142673251231384095072655616966084000000000 ;s7 = −111047997741014909169423208076675614791927366544000000000 ;405127266000212310107471294024529s8 = 137267329159006474561000000000000;s9 = −27341409924298199895463995367969782390321902586626260261138000000000000 ;(1.65)67s10 = 231345278698582199887304407290998031207157118863623804000158503657608000000000000000s11 = −38209174854990618311804106896228036873835297156424528926064208590813412128000000000000000 ;s12 = −6863587800489140292387062112925054065014356819179751463670016675124626377612590112000000000000000000s13 = 14515313059628174810790048761097920833745481925943287167726189741944464008312938168587392000000000000000000 ;s14 = −104863663644603528398234328826936387072418164323884649138475570479106274932164683739164366312992000000000000000000000 ;507781889125842148118237193044877716706832139900707727663363s15 = 733075050385781072872380074030606789747200000000000000000000;s16 = 136529691428472951962299874624624685991925156027928694528093857807150738557235576233109383152722543521141768000000000000000000000000 ;s17 = −440181195050669705679015675863851003957414888575571210025093193255759198371941322018322771948228982867273822566688000000000000000000000000 .Для определения числа вещественных корней полинома X (x) строим матрицу S и вычисляем ее главные миноры:S1 =6; S2 ≈ − 9.484475624; S3 ≈−2.255628224; S4 ≈−9.2701957438 · 10−2 ;S5 ≈ 1.3640887473 · 10−3 ; S6 ≈ 3.8384995782 · 10−6 .Таким образом, полином X (x) имеет 2 вещественных корня и 2 пары комплексно-сопряженных корней.Для полинома g1 строим матрицу H с элементамиt0 = 2733658 ; t1 = −7005942754120500 ; t2 =−4602467381735611289000 ;t3 = 147208036081497735858057040500000 ;t4 = −31228338017183399531541840613059600000 ;1579787414267325123138409t5 = 5072655616966084000000000;t6 = 111047997741014909169423208076675614791927366544000000000 ;t7 = −405127266000212310107471294024529137267329159006474561000000000000 ;t8 = −27341409924298199895463995367969782390321902586626260261138000000000000 ;68t9 = −231345278698582199887304407290998031207157118863623804000158503657608000000000000000 ;38209174854990618311804106896228036873835297.t10 = 156424528926064208590813412128000000000000000Вычисляем главные миноры матрицы H:H1 ≈ 4.153495438; H2 ≈ −7.043803897; H3 ≈ −1.394563165;H4 ≈−2.777812416·10−2 ; H5 ≈5.8491351079·10−4 ; H6 ≈1.3593500487·10−6 .Таким образом, полином g1 положителен на обоих вещественных корнях X .Делаем то же для полинома g2 :t0 = −697221323438932910900028457434567471732257130062500 ; t1 = 963650383162250000 ;t2 = −2060419941484896968414841317040976060380250000000 ;t3 = −650739968618700788121560839417225924495460409000000000 ;t4 = 57683321033080090090659873628289368633664579503237280500000000000 ;t5 = −97954748626903048214234189414614429990321902586626260261138000000000000 ;t6 = 613878402622792733529145093853208123263437428976487750009906478600500000000000000 ;t7 = −2397415944008534029628716339860707497399597977653305787901303692583825800000000000000 ;t8 = −116100865685609324828483367792262461683830510817033216479376042195289148600786882000000000000000000 ;t9 = 307116184198404085235191591919023455493154544771273614232886858871529000519558635536712000000000000000000 ;t10 = −5010987677334409695440842446268466466923885290593365831181696309888284366520585467395545789124000000000000000000000 .H1 ≈ −9.521536832; H2 ≈ −66.06333644; H3 ≈−28.2765065H4 ≈2.451872993; H5 ≈5.9703999517 · 10−2 ; H6 ≈−1.2812589074 · 10−5 .Полином g2 положителен на одном и отрицателен на одном вещественном корнеX.69Для полинома g3 :t0 = 1352936971007779146451426012500 ; t1 = −66578241951759871349963650383162250000 ;t2 = 566720002554186421207324163408195212076050000000 ;t3 = −27972369381939842343360605181417225924495460409000000000 ;t4 = 25229532467805605374688172390300713726732915900647456100000000000 ;t5 = 289964729543210160837566955493885144390321902586626260261138000000000000 ;t6 = −942061576443060540938923188363710715475931485795297550001981295720100000000000000 ;t7 = 1598228101966385129621017478003147455949144372444133264469753259231459564500000000000000 ;t8 = −25973696514254945486508886321951403980666461511897643295875208439057829720157376400000000000000000 ;1044237924315797635487252400530767004491391457813587t9 = 4232886858871529000519558635536712000000000000000000;t10 = 5386431147621460175662750541783396379798953899873477929281139261977656873304117093479109157824800000000000000000000 .H1 ≈ 9.23812767; H2 ≈ −3947.704897; H3 ≈ −47.21286485;H4 ≈ 3922.180476; H5 ≈ 329.4971116; H6 ≈ 1.077587994.Полином g3 положителен на обоих вещественных корнях X .Для полинома g1 g2 :t0 = −10900028457434567471963650383162250000 ;t1 = 2060419941484896968414841317040976060380250000000 ;t2 = 650739968618700788121560839417225924495460409000000000 ;t3 = −57683321033080090090659873628289368633664579503237280500000000000 ;70t4 = 97954748626903048214234189414614429990321902586626260261138000000000000 ;t5 = −613878402622792733529145093853208123263437428976487750009906478600500000000000000 ;t6 = 2397415944008534029628716339860707497399597977653305787901303692583825800000000000000 ;t7 = 116100865685609324828483367792262461683830510817033216479376042195289148600786882000000000000000000 ;t8 = −307116184198404085235191591919023455493154544771273614232886858871529000519558635536712000000000000000000 ;t9 = 5010987677334409695440842446268466466923885290593365831181696309888284366520585467395545789124000000000000000000000 ;t10 = −3505624260436318200439981696160839508439992316075400553365679916343812982226341090475092538258487184000000000000000000000 .H1 ≈ −11.31118572; H2 ≈ −59.87765554; H3 ≈ −24.57495439;H4 ≈1.617471477; H5 ≈4.4584438614 · 10−2 ; H6 ≈−4.5373962472 · 10−6 .Полином g1 g2 положителен на одном и отрицателен на одном вещественномкорне X .Для полинома g1 g3 :t0 = 66578241951759871349963650383162250000 ;t1 = −566720002554186421207324163408195212076050000000 ;t2 = 27972369381939842343360605181417225924495460409000000000 ;t3 = −t4 = −25229532467805605374688172390300713726732915900647456100000000000 ;289964729543210160837566955493885144390321902586626260261138000000000000 ;t5 = 942061576443060540938923188363710715475931485795297550001981295720100000000000000 ;t6 = −1598228101966385129621017478003147455949144372444133264469753259231459564500000000000000 ;t7 = 25973696514254945486508886321951403980666461511897643295875208439057829720157376400000000000000000 ;t8 = −10442379243157976354872524005307670044913914578135874232886858871529000519558635536712000000000000000000 ;71t9 = −5386431147621460175662750541783396379798953899873477929281139261977656873304117093479109157824800000000000000000000 ;t10 = 56158229437695728599374279114937874165140051941415353491618511916343812982226341090475092538258487184000000000000000000000 .H1 ≈ 69.08962329; H2 ≈ −3356.127687; H3 ≈ 3320.582407;H4 ≈ 3004.234027; H5 ≈ 205.8820396; H6 ≈ 0.3816124667.Полином g1 g3 положителен на обоих вещественных корнях X .Для полинома g2 g3 :t0 = −152379901563094000136419163408195212076050000000 ;t1 = −5145265341516744190852677539417225924495460409000000000 ;t2 = 53516880661626173330113069723594313726732915900647456100000000000 ;t3 = −399382395319672110331050104981892063390321902586626260261138000000000000 ;t4 = 422192463238059275510426347575741495622931485795297550001981295720100000000000000 ;t5 = −166716227760264369405810655299186715932088139776533057879013036925838258000000000000000 ;t6 = −14434169561724712765910211171970166940025732070053643295875208439057829720157376400000000000000000 ;t7 = 1427606702875314240789993259477979567533740170145946534232886858871529000519558635536712000000000000000000 ;t8 = −4017376828158567192791844780357921919025888625809044630931139261977656873304117093479109157824800000000000000000000 ;t9 = 10638108311276886647197596223183224035045210346102963567396241916343812982226341090475092538258487184000000000000000000000 ;t10 = 14603782343347222263909172507021605677137564855039622062194243836915073855723557623310938315272254352114176800000000000000000000000 .H1 ≈ −24.03157842; H2 ≈ −1089.007632; H3 ≈ −699.7989418;H4 ≈ 211.9003041; H5 ≈ 19.16795462; H6 ≈ −2.8282768891 · 10−3 .Полином g2 g3 положителен на одном и отрицателен на одном вещественномкорне X .72Для полинома g1 g2 g3 :t0 = 5145265341516744190852677539417225924495460409000000000 ;t1 = −53516880661626173330113069723594313726732915900647456100000000000 ;t2 = 399382395319672110331050104981892063390321902586626260261138000000000000 ;t3 = −422192463238059275510426347575741495622931485795297550001981295720100000000000000 ;t4 = 166716227760264369405810655299186715932088139776533057879013036925838258000000000000000 ;t5 = 14434169561724712765910211171970166940025732070053643295875208439057829720157376400000000000000000 ;t6 = −1427606702875314240789993259477979567533740170145946534232886858871529000519558635536712000000000000000000 ;t7 = 4017376828158567192791844780357921919025888625809044630931139261977656873304117093479109157824800000000000000000000 ;t8 = −t9 = −10638108311276886647197596223183224035045210346102963567396241916343812982226341090475092538258487184000000000000000000000 ;14603782343347222263909172507021605677137564855039622062194243836915073855723557623310938315272254352114176800000000000000000000000 ;t10 = 129014572587589311037315149984118515002911043611623045222634868704328749592985330504580692987057245716818455641672000000000000000000000000 .H1 ≈ 12.33208446; H2 ≈ −974.7166756; H3 ≈ −102.1227338;H4 ≈ 114.3214344; H5 ≈ 14.28309373; H6 ≈ −1.001594047 · 10−3 .Полином g1 g2 g3 положителен на одном и отрицателен на одном вещественномкорне X .Используя формулу (1.65), получаем, что один из двух вещественных корней X удовлетворяет условиям (1.64).Таким образом, по теореме 25, все корни полинома (1.62) удовлетворяютусловию (1.63).Мы видим, что полученные нами здесь результаты целиком соответствуютрезультатам [44].

Характеристики

Список файлов диссертации