Диссертация (1145311), страница 11

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 11)

. . , νk0 ) в параллелепипеде B такая, что полином f (z, ν10 , . . . , νk0 ) устойчив.(ii) Определитель Hn , рассматриваемый как полином относительно ν1 ,. . ., νk не имеет нулей в параллелепипеде B.1.2.2. Теория дифференцируемых отображенийПриведем результаты, касающиеся теории дифференцируемых отображений, которые понадобятся нам в дальнейшем [1, 167].Рассмотрим гладкое отображение ϕ : M → N , где M и N — дифференцируемые многообразия, причем dim M = m и dim N = n.

Обозначим черезTx M касательное пространство к многообразию M в точке x, и через Tϕ(x) N —касательное пространство к многообразию N в точке ϕ(x). Тогда производнаяотображения ϕ в точке x — это линейное отображение Tx M в Tϕ(x) N :ϕ∗x : Tx M → Tϕ(x) N.(1.69)Определение 15. Точка x многообразия M называется критической точкойгладкого отображения ϕ : M → N , если ранг производной ϕ∗x , определеннойсоотношением (1.69) в этой точке меньше максимально возможного ранга.Очевидно, что ранг производной ϕ∗x в критической точке меньше, чемменьшая из размерностей m, n:rank ϕ∗x < min(m, n).81Замечание 9. Пусть x1 , x2 , . . .

, xm — локальные координаты в некоторой окрестности точки x ∈ M , и y1 , y2 , . . . , yn — локальные координаты в окрестности точки ϕ(x) ∈ N . В этих координатах отображение ϕ определяется nгладкими функциями относительно m переменныхy1 = ϕ1 (x1 , . . . , xm ), . . . , yn = ϕn (x1 , . .

. , xm ).Рассмотрим якобиан отображения J = [∂ϕi /∂xj ], (i = 1, . . . , n; j = 1, . . . , m).Точка x является критической точкой, если ранг матрицы Якоби в этой точке меньше максимально возможного.Определение 16. Множество критических точек K = Σ(ϕ) отображенияϕ : M → N называется криминантой отображения ϕ. Образ криминантыD = ϕ(K) называется геометрическим дискриминантом отображения ϕ.Замечание 10.

Мы используем два различных определения дискриминанта.Будем называть дискриминант, определяемый через дифференцируемые отображения, геометрическим дискриминантом, а дискриминант, определяемыйчерез результант, — алгебраическим дискриминантом.1.3. Вещественные корни семейства полиномовСначала рассмотрим более общую задачу об отделении вещественных корней семейства полиномов. Затем мы применим полученный результат к исследованию D-устойчивости. В этом параграфе мы рассматриваем только вещественные значения переменной z.Задача 1. Выяснить, имеет ли хотя бы один полином семейства (1.1)p = f (z, ν1 , ν2 , . . . , νk ),ν 1 ≤ ν1 ≤ ν 1 , ν 2 ≤ ν2 ≤ ν 2 , .

. . , ν k ≤ νk ≤ ν kвещественные корни.82Рассмотрим дифференцируемое отображение ϕ : Rk+1 → R2 . Точке (z, p) ∈R2 (p(z) = f (z, ν1 , ν2 , . . . , νk )) ставятся в соответствие точки (z, ν1 , . . . , νk ) ∈Rk+1 . Образом множества{(z, ν1 , . . . , νk )|(ν1 , . . . , νk ) ∈ B}при этом отображении является множество графиков всех полиномов семейства (1.1) в плоскости zp. Матрица Якоби этого отображения имеет вид100...0.J =∂f (z,ν1 ,...,νk ) ∂f (z,ν1 ,...,νk ) ∂f (z,ν1 ,...,νk )∂f (z,ν1 ,...,νk )...∂z∂ν1∂ν2∂νkРанг этой матрицы меньше 2 (его максимального значения) во всех точках,координаты которых удовлетворяют следующей системе уравнений∂f (z, ν1 , . .

. , νk )∂f (z, ν1 , . . . , νk )= 0,= 0, . . . ,∂ν1∂ν2∂f (z, ν1 , . . . , νk )= 0.∂νk(1.70)Система алгбераических уравнений (1.70) определяет криминанту отображения ϕ. Дополним данную систему еще одним уравнениемp = f (z, ν1 , ν2 , . . . , νk )и рассмотрим получившуюся систему уравнений. Она состоит из k + 1 уравнения относительно k + 2 неизвестных. Для получения образа криминанты,т.

е. геометрического дискриминанта, который является множеством точек наплоскости zp, нужно исключить из данной системы уравнений k переменныхν1 , . . . , νk . Будем считать все полиномы данной системы полиномами относительно переменных z, ν1 , . . . , νk с коэффициентами, полиномиально зависяцимиот параметра p.

Построим элиминанту этой системы, исключив переменныеν1 , . . . , νk . Она также является полиномом от z с коэффициентами, полиномиально зависящими от p. Следовательно, она имеет вид P (z, p) = 0, где P —83полином относительно z, p. Данное уравнение определяет геометрический дискриминант.Насинтересуютзначенияz,удовлетворяющиеуравнениюP (z, 0) = 0. Очевидно, что они равны первым компонентам решений системыуравненийf (z, ν1 , ν2 , . . .

, νk ) = 0,∂f (z, ν1 , . . . , νk )∂f (z, ν1 , . . . , νk )= 0, . . . ,= 0.(1.71)∂ν1∂νkТаким образом, мы можем найти эти значения, вычислив корни элиминантыпо исключении переменных ν1 , . . . , νk из системы (1.71).Обозначимчерезa0 (ν1 , . . . , νk )старшийкоэффициентполиномаf (z, ν1 , . . . , νk ) как полинома относительно переменной z с коэффициентами,зависящими от ν1 , . . .

, νk . Сначала рассмотрим случай a0 (ν1 , . . . , νk ) 6= 0. Очевидно, что степень полинома f (z, ν1 , . . . , νk ) должна быть четной, в противномслучае этот полином всегда имеет вещественные корни.Следующая теорема дает решение задачи 1.Теорема 34. Пусть a0 (ν1 , . . . , νk ) 6= 0 для всех (ν1 , . . . , νk ) ∈ B. Ни один полином семейства (1.1) не имеет вещественных корней тогда и только тогда,когда выполняются следующие условия:(i) Граничные семейства полиномов для семейства (1.1), соответствующие граням параллелепипеда B, т. е.f (z, ν1 , . . . , νk )| (ν1 , . .

. , νk ) ∈ B, νj = ν j and{f (z, ν1 , . . . , νk )| (ν1 , . . . , νk ) ∈ B, νj = ν j }для всех j = 1, 2, . . . , k не имеют вещественных корней.(ii) Система уравнений (1.71) не имеет решений, удовлетворяющих условиям z ∈ R и (ν1 , . . . , νk ) ∈ B.Доказательство. Предположим, что ни один полином семейства (1.1)не имеет вещественных корней. Тогда ясно, что выполняется условие (i). Если84система (1.71) имеет решение (z ∗ , ν1∗ , . . . , νk∗ ) такое, что z ∗ ∈ R и (ν1∗ , . . . , νk∗ ) ∈ B,то полином семейства (1.1)p∗ (z) = f (z, ν1∗ , .

. . , νk∗ )имеет вещественный корень z ∗ , что противоречит исходному предположению.Обратно, предположим, что выполняются условия (i) и (ii). Предположим,что существует полином семейства (1.1), у которого есть вещественный корень.Обозначим этот полином через p0 (z) = f (z, ν10 , . . . , νk0 ).Если этот полином удовлетворяет условиям (ν1 , .

. . , νk ) ∈ B и νj = ν j илиνj = ν j для некоторого j = 1, . . . , k, то нарушено условие (i) теоремы.Пусть теперь полином p0 (z) = f (z, ν10 , . . . , νk0 ) таков, что для любого j =1, . . . , k выполняются условия ν j < νj < ν j .Рассмотрималгебраическийдискриминантполиномаf (z, ν1 , . . . , νk ) относительно z; это полином относительно параметров, которыйобозначим через D(ν1 , . . . , νk ). УравнениеD(ν1 , .

. . , νk ) = 0(1.72)определяет поверхность, которая разделяет пространство параметров Rk насвязные области. Согласно теореме 31, каждая такая область соответствует полиномам, которые имеют одно и то же число вещественных корней.Известно [144], что корни полинома непрерывно зависят от коэффициентов. Следовательно, существует или некоторая окрестность U0 точки (ν10 , . . . , νk0 )в пространстве параметров такая, что каждый полином семейства (1.1) не имеет кратных корней, а число его вещественных корней совпадает с числом вещественных корней полинома p0 (z), или точка (ν10 , . .

. , νk0 ) принадлежит дискриминантной поверхности (1.72), т. е. в любом случае выполнено условиеD(ν10 , . . . , νk0 ) = 0.Также ясно, что границей окрестности U0 является множество точек дискриминантной поверхности.85Рассмотрим первый случай. Заметим, что множество U0 компактное.

Следовательно, среди полиномов семейства (1.1), соответствующим точкам множества U0 , существуют полиномы, имеющие максимальный и минимальный вещественные корни. Пусть полином pmax (z) = f (z, ν1 max , . . . , νk max ) — это полином, который имеет максимальный вещественный корень. (Если таких полиномов несколько, возьмем любой из них.) Предположим сначала, что точка(ν1 max , . .

. , νk max ) — внутренняя точка множества U0 . Для максимального вещественного корня полиномов семейства zmax выполняются следующие равенства:f (zmax , ν1 max , . . . , νk max ) = 0,∂f(zmax , ν1 max , . . . , νk max ) = 0, . . . ,∂ν1∂f(zmax , ν1 max , . . . , νk max ) = 0.∂νkДействительно, по теореме о неявной функции [21] (в нашем случае ∂f /∂z 6=0 в некоторой окрестности рассматриваемой точки (zmax , ν1 max , .

. . , νk max )), имеемz = ψ(ν1 , . . . , νk ),для этой окрестности, где ψ — дифференцируемая функция по всем своим аргументам. Точка (ν1 max , . . . , νk max ) является точкой максимума этой функции,так что выполняются следующие условия:∂ψ= 0,∂νj(j = 1, . . . , k).Дифференцируя равенствоf (ψ(ν1 , . .

. , νk ), ν1 , . . . , νk ) = 0по переменной νj , получаем∂f ∂ψ∂f+= 0.∂z ∂νj ∂νjСледовательно,∂f(zmax , ν1 max , . . . , νk max ) = 0,∂νj(j = 1, . . . , k).86Однако это противоречит исходному предположению, что выполняется условие(ii). Таким образом, точка (ν1 max , . . . , νk max ) (если она существует) принадлежит дискриминантной поверхности (1.72).В этом случае максимальный вещественный корень zmax является кратнымкорнем полинома f (z, ν1 max , . . .

, νk max ).∂ 2f(zmax , ν1 max , . . . , νk max ) 6= 0, можно выразить z из уравненияЕсли∂z 2∂f(z, ν1 , . . . , νk ) = 0:∂zz = ψ1 (ν1 , . . . , νk ).Таким образом, дифференцируя равенствоf (ψ1 (ν1 , . . . , νk ), ν1 , . . . , νk ) = 0по переменной νj (j = 1, . . . , k), получаем∂f ∂ψ1∂f∂f+= 0, откуда(zmax , ν1 max , . . . , νk max ) = 0.∂z ∂νj∂νj∂νjПоследнее равенство противоречит предположению о том, что выполняетсяусловие (ii).Если в точке (zmax , ν1 max , .

Характеристики

Список файлов диссертации