Диссертация (1145311), страница 10
Текст из файла (страница 10)
Однако метод, представленный в главе I, может быть применен также к системам с бо́льшим количеством параметров, а также для болееширокого класса областей Ω.73Замечание 7. Здесь хотелось бы отметить следующее. Все приведенные методы таковы, что можно было бы вычислить число корней исходного полинома в заданной алгебраической области комплексной плоскости как функцию параметров крана и построить графики, определяющие области устойчивости в пространстве параметров. Однако имеющихся вычислительныхсредств для этих целей, к сожалению, недостаточно. Поэтому вычисленияпроведены только для конкретных значений параметров. Решение данной задачи в общем виде приведено далее.В работе [109] приводится также другое решение той же задачи, котороеиспользует параметры Маркова и результаты Кронекера.
Это решение такжеалгебраическое, результат можно получить, проделав конечное число алгебраических операций над коэффициентами полиномов.Сначала, как и ранее, найдем число вещественных корней полинома f (x),удовлетворяющих неравенству g(x, 0) > 0. Сделать это можно изложеннымвыше способом.Рассмотрим теперь задачу отделения комплексных корней. Так же, как иранее, сводим нашу задачу к исследованию системы уравнений (1.51)Φ(x, Y ) = 0, Ψ(x, Y ) = 0.(Здесь использованы те же обозначения, что и выше.)Исключим Y из этой системы уравнений.
РассмотримX (x) = RY (Φ, Ψ).Разложим дробь iΨ(x, Y )/Φ(x, Y ) в ряд по отрицательным степеням Y :iΨ(x, Y )µ0 (x)µ1 (x)µ2 (x)= iµ−1 (x) + i− i 2 + i 3 − ...Φ(x, Y )YYYОчевидно, что функции iµ−1 (x), iµ0 (x), iµ1 (x), . . . являются параметрами Маркова полинома f (x + iy), если рассматривать его как полином от y с коэффициентами, зависящими от x.74По следствию 6 к теореме 14 результант X (x) может быть выражен черезпараметры Маркова:Теорема 28.X (x) = b2n−εM[n/2] ,0где1b0 = f (n) (x), ε = 0n!1b0 =f (n−1) (x),(n − 1)!если n четно,ε = 1 если n нечетно.Несложно также показать, что deg X = n(n − 1)/2.Далее будем считать, что предположение 1 раздела 1.2 справедливо.Тогда мы можем представить вторую компоненту решения (1.51) в видевещественной рациональной функции первой:Bj = r(αj ), j = 1, N .Используя следствие 5 к теореме 14, мы можем выразить функцию r черезпараметры Маркова:Теорема 29.Bj = r(αj ) = −µ0. .
. µ[n/2]−2µ1. . . µ[n/2]−1...... ...µ[n/2]−3 . . . µ2[n/2]−4µ[n/2]−1 . . . µ2[n/2]−2M[n/2]−1−a1.a0Пример 4. Выразим вторую компоненту решения (1.51) через первую дляполиномаf (z) = a0 z 6 + a1 z 5 + a2 z 4 + a3 z 3 + a4 z 2 + a5 z + a6 .75Мы можем записатьf (x + iy) = b0 (x)y 6 + b2 (x)y 4 + b4 (x)y 2 + b6 (x)+iy[b1 (x)y 4 + b3 (x)y 2 + b5 (x)]= −a0 y 6 + (15a0 x2 + 5a1 x + a2 )y 4 + (−15a0 x4 − 10a1 x3−6a2 x2 − 3a3 x − a4 )y 2 + a0 x6 + a1 x5 + a2 x4 + a3 x3 + a4 x2 + a5 x + a6+iy[(6a0 x + a1 )y 4 + (−20a0 x3 − 10a1 x2 − 4a2 x − a3 )y 2+6a0 x5 + 5a1 x4 + 4a2 x3 + 3a3 x2 + 2a4 x + a5 ].Вычислим параметры Маркова f (x + iy) (считая его полиномом от y скоэффициентами, зависящими от x): iµ−1 (x), iµ0 (x), iµ1 (x), .
. .Рассмотрим систему уравненийΦ(x, Y ) = 0, Ψ2 (x, Y ) = 0.Результант этой системы по исключении Y b0 (x) b2 (x) b4 (x) 0b0 (x) b2 (x)RY = 00b1 (x) 0b1 (x) b3 (x) b1 (x) b3 (x) b5 (x)b6 (x)0 b4 (x) b6 (x) b3 (x) b5 (x) b5 (x)0 00 µ0 µ 1 µ 2 5 3= b0 i µ1 µ2 µ3 = b50 M3 . µ2 µ 3 µ 4 Первый субрезультант b0 b2 b4 b0 b2 b4 µµ01 = b30 M2 ;R1 = 0 b1 b3 = − b1 b3 b5 = −b30 µµ12 b1 b3 b5 0 b1 b3 76 1 b0 b2 b6 00 b0 b2 b6 2R̃1 = 0 b1 b5 = −i µ0 −µ1 µ2 0 b0 b4 0 µ0 −µ1 0 0 b2 b1 b3 0 b0 b2 0 −b0 i b1 b3 −µ3 = −b20 b2 M2 + b30 µ0 µ3 − b30 µ2 µ1 0 b 1 µ2 µµ01= −b20 b2 M2 + b30 µ2 µ 3 Таким образом,r(x) = −b2+b0 µ 0 µ1 µ 2 µ3 M2=−b2−b0 iµ0 iµ1 iµ2 iµ3 M2.Таким образом, используя изложенные выше результаты и теорему 26, мыможем определить, сколько комплексных корней полинома f (z) удовлетворяютусловию g(x, y) > 0.
В данном методе, в отличие от раздела 1.2, используютсярезультаты Кронекера и параметры Маркова вместо теории исключения.Разумеется, с помощью приведенных выше результатов можно решить поставленную задачу и в более общем виде, а именно:Определить число корней полинома f (z), удовлетворяющих условиям:g1 (x, y) > 0, g2 (x, y) > 0, . . .
, gk (x, y) > 0.Замечание 8. Хотя мы решили задачу в более общем случае, чем случай Рауса-Гурвица, необходимо помнить, что если наша область находится в левойполуплоскости комплексной плоскости, условия Рауса-Гурвица должны выполняться. Имеется связь между этими двумя видами условий:Теорема 30. (Раус, [10]). Полином f (z) (a0 > 0) является устойчивым втом и только в том случае, когда выполнены следующие условия:77а) все коэффициенты f (z) положительны;б) если старший коэффициент X (x) положителен, то и все остальныекоэффициенты X (x) положительны.Пример 5.
(Решаем пример 2 с помощью метода, описанного в настоящемпараграфе.) Для полиномаf (z) = z 4 − z 3 − 2z 2 + 6z − 4найти число корней, удовлетворяющих условиюg(x, y) = 2y 2 − x > 0.Решение. Число вещественных корней f (z) равно 2 (пример из раздела 1.2.1).Найдем сначалаnrr {f (z) = 0|g(x, 0) > 0} = 1.Таким образом, один из двух вещественных корней f (z) удовлетворяет неравенству g(x, 0) > 0 (см.
раздел 1.2.1).Для того чтобы определить, удовлетворяют ли нашему неравенству комплексные корни, рассмотрим систему (1.51):Φ1 (x, Y ) = Y 2 + (−6x2 + 3x + 2)Y + x4 − x3 − 2x2 + 6x − 4 = 0(1.66)32Φ2 (x, Y ) = (−4x + 1)Y + 4x − 3x − 4x + 6 = 0.Вычислим параметры Маркова:µ0 = −4x + 1, µ1 = 20x3 − 15x2 − x − 4,µ2 = −116x5 + 145x4 − 6x3 + 17x2 − 36x − 4.Отсюда результантX (x) = −4(16x6 − 24x5 − 4x4 + 14x3 + 10x2 − 7x − 5)(D(X ) ≈ 2.01852 × 1013 6= 0).78Решения (1.66) связаны формулой6f 0 (x)Y = (3) .f (x)Теперь найдем число комплексных корней f (z) таких, что g(x, Y ) > 0:nrr {X = 0|G(x, r(x)) > 0} = 1.Итак, по теореме 26, число комплексных корней f (z), удовлетворяющих данному неравенству, равно 2.Таким образом, три корня полинома f (z) удовлетворяют условию2y 2 − x > 0.Устойчивость полиномовТеперь рассмотрим множествоf (z) = z n + a1 z n−1 + .
. . + an (a1 , a2 , . . . , an ) ⊂ Rn(1.67)всех полиномов от одной переменной как множество точек в n-мерном пространстве коэффициентов этих полиномов.Справедлива следующая теорема [90]:Теорема 31. Области множества (1.67), соответствующие полиномам содинаковым числом вещественных корней, разделяются дискриминантной поверхностьюD(a1 , . .
. , an ) = Dz (z n + a1 z n−1 + . . . + an ) = 0.Здесь дискриминант вычисляется относительно переменной z.Нас будет интересовать устойчивость семейства вещественных полиномов.Для одного полинома необходимые и достаточные условия устойчивости даеттеорема Гурвица [7]:79Теорема 32. Вещественный полином f (z) (a0 6= 0, n ∈ N) устойчив (т. е.все его корни лежат в левой полуплоскости комплексной плоскости) тогда итолько тогда, когда выполняются следующие неравенстваH1 > 0, H2 > 0, H3 > 0, .
. . , Hn > 0.ЗдесьHj = a1 a3 a5 . . .a0 a2 a4 . . .0a1 a3 . . .0a0 a2 . . ....aj ,(1.68)(ak = 0 при k > n).j×jОпределение 14. Определители Hk (k = 1, 2, . . . , n) называются определителями Гурвица.Рассмотрим последний определитель из условия (1.68). Оказывается, чтос точностью до знака этот определитель равен результанту четной и нечетнойчастей полинома f (z), умноженному на an :Hn = an R a1 Y b(n−1)/2c + a3 Y b(n−1)/2c−1 + . . . + a2b(n−1)/2c+1 ,bn/2cbn/2c−1a0 Y+ a2 Y+ .
. . + a2bn/2c .Обращение этого определителя в нуль при выполнении условий H1 > 0, H2 >0, . . . , Hn−2 > 0 эквивалентно тому, что полином f (z) имеет корень λ = 0, либо он имеет пару чисто мнимых корней λ1,2 = ±iβ, β ∈ R. Это свойство Hnимеет важное значение при решении проблемы устойчивости семейства полиномов (1.1)p = f (z, ν1 , ν2 , . . . , νk ).В самом деле, при изменении вектора параметров (ν1 , . .
. , νk ) внутри параллелепипедаB = {(ν1 , ν2 , . . . , νk )|ν 1 ≤ ν1 ≤ ν 1 , ν 2 ≤ ν2 ≤ ν 2 , . . . , ν k ≤ νk ≤ ν k }80условие устойчивости для соответствующего полинома f может быть нарушенотолько при обращении в нуль Hn .В дальнейшем мы будем также использовать следующее необходимое идостаточное условие устойчивости семейства полиномов [123]:Теорема 33. Все полиномы семейства (1.1) устойчивы тогда и только тогда, когда выполняются следующие условия:(i) Существует точка (ν10 , .
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
