Диссертация (1145311), страница 12
Текст из файла (страница 12)
. . , νk max ) условия∂f∂ mf∂ m+1 f= 0, . . . , m = 0, m+1 6= 0∂z∂z∂zвыполнены для некоторого m, где m больше 1 и меньше, чем степень полинома f (z, ν1 , . . . , νk ) по переменной z, используется та же процедура. Получаетсяпротиворечие между условием (ii) и тем, что точка (zmax , ν1 max , . . . , νk max ) даетрешение системы уравнений (1.71) такое, что выполнены условияzmax ∈ R и (ν1 max , . .
. , νk max ) ∈ B.Тем самым теорема доказана.2Рассмотрим теперь случай, когда a0 (ν1 , . . . , νk ) обращается в нуль принекоторых значениях параметров (ν1 , . . . , νk ), лежащих внутри параллелепипеда B. Предположим, что существуеют такие значения параметров ν1 , . . . , νk87((ν1 , . . . , νk ) ∈ B), что одновременно a0 (ν1 , . . . , νk ) = 0 и некоторые другиекоэффициенты полинома f (z, ν1 , . . . , νk ), рассматриваемого как полинома относительно z, также обращаются в нуль. При данных значениях параметровстепень полинома f (z, ν1 , . .
. , νk ) уменьшается. Если она становится нечетной,то очевидно, что существуют полиномы семейства (1.1), имеющие вещественные корни. В противном случае найдем условия, при которых система уравнений (1.71), дополненная условиями на коэффициенты, не имеет вещественныхрешений.Замечание 11. Мы не будем здесь детально рассматривать случай, когдастарший коэффициент полинома f (z, ν1 , . .
. , νk ) обращается в нуль в некоторых точках множества изменения параметров.Для решения задачи D-устойчивости нам понадобится результат, аналогичный полученному в теореме 34. Рассмотрим семейство полиномовP = {F (ν1 , ν2 , . . . , νk )|(ν1 , . . . , νk ) ∈ B}.ОбозначимчерезA0 (ν2 , . . . , νk )старшийкоэффициент(1.73)полиномаF (ν1 , .
. . , νk ), рассматриваемого как полином относительно ν1 с коэффициентами, зависящими от ν2 , . . . , νk .Теорема 35. Пусть A0 (ν2 , . . . , νk ) 6= 0 приν 2 ≤ ν2 ≤ ν 2 , . . . , ν k ≤ νk ≤ ν k .Ни один полином вещественного семейства (1.73) не обращается в нуль при(ν1 , . . . , νk ) ∈ B тогда и только тогда, когда выполняются следующие условия:(i) Граничные семейства полиномов семейства (1.73), соответствующиеграням параллелепипеда B, т. е.F (ν1 , .
. . , νk )| (ν1 , . . . , νk ) ∈ B, νj = ν jand88{F (ν1 , . . . , νk )| (ν1 , . . . , νk ) ∈ B, νj = ν j }не имеют корней при (ν1 , . . . , νk ) ∈ B.(ii) Система уравненийF (ν1 , ν2 , . . . , νk ) = 0,∂F (ν1 , . . . , νk )∂F (ν1 , . . . , νk )= 0, . . . ,=0∂ν2∂νkне имеет вещественных решений при (ν1 , . . . , νk ) ∈ B.Доказательство. Рассмотрим полиномP (ν1 ) = F (ν1 , ν2 , . . . , νk )как полином относительно переменной ν1 с коэффициентами, зависящими отν2 , . .
. , νk . Задача отличается от решенной в теореме 34 только тем, что теперьν1 принадлежит замкнутому промежутку [ν 1 , ν 1 ], а не принимает произвольныевещественные значения, как это было в рассмотренном ранее случае.Доказательство данной теоремы аналогично доказательству теоремы 34 заодним лишь исключением. При рассмотрении внутренней точки замкнутой связной области, ограниченной поверхностью D(ν2 , . . .
, νk ) = 0, может оказаться,что ν1 max , максимальный вещественный корень полинома P (ν1 ), не удовлетворяет условию ν 1 ≤ ν1 max ≤ ν 1 . Однако поскольку корни полинома являютсянепрерывными функциями его коэффициентов (а следовательно, в нашем случае, и непрерывными функциями параметров ν2 , . . . , νk ) при этом существуетполином семейства (1.73), для которогоF (ν 1 , ν2 , . . . , νk ) = 0,где (ν 1 , . . . , νk ) ∈ B.Замечание 12. Рассмотрим семейство полиномов (1.1) и ограничения z ≥ z,z ≤ z, z ∈ (z, z), z > z и z < z. Аналогично теореме 34 и теореме 35 можно получить необходимые и достаточные для того, чтобы полином f (z, ν1 , .
. . , νk )не имел вещественных корней и в данных случаях.89Теперь рассмотрим приложение полученных результатов к задачам услойчивости и D-устойчивости семейства полиномов.1.4. Устойчивость семейства полиномовЗдесь мы будем считать, что переменная z принимает комплексные значения.Задача 2. Определить, являются ли устойчивыми полиномы семейства (1.1).Уравнение Hn (ν1 , . . . , νk ) = 0 определяет поверхность, которая делит пространство параметров на связные области. Эти области соответствуют полиномам, имеющим одно и то же число корней, лежащих в левой полуплоскостикомплексной плоскости.
Обозначим через Hn определитель Гурвица максимального порядка для полинома f (z, ν1 , . . . , νk ), рассматриваемого как полином относительно переменной z с коэффициентами, полиномиально зависящими отν1 , . . . , νk .Согласно теореме 33, чтобы убедиться, что все полиномы семейства (1.1)устойчивы, нужно найти хотя бы один устойчивый полином семейства (1.1)и проверить, что у полинома Hn (ν1 , .
. . , νk ) нет вещественных корней внутрипараллелепипеда B.Теорема 35 дает необходимые и достаточные условия для того, чтобы всеполиномы семейства Hn (ν1 , . . . , νk ) при (ν1 , . . . , νk ) ∈ B не имели вещественныхкорней.Обозначим через A0 (ν2 , . . . , νk ) старший коэффициент определителя Гурвица Hn (ν1 , .
. . , νk ) рассматриваемого как полином от ν1 с коэффициентами, полиномиально зависящими от (ν2 , . . . , νk ). Предположим, что A0 (ν2 , . . . , νk ) 6= 0приν 2 ≤ ν2 ≤ ν 2 , . . . , ν k ≤ νk ≤ ν k .Справедлива следующая теорема, которая дает решение задачи 2.90Теорема 36. Все полиномы семейства (1.1) устойчивы тогда и только тогда, когда выполняются следующие условия:(i) Граничные подсемейства семейства полиномов (1.1), соответствующие граням параллелепипеда B, т. е.F (ν1 , . .
. , νk )| (ν1 , . . . , νk ) ∈ B, νj = ν jи{F (ν1 , . . . , νk )| (ν1 , . . . , νk ) ∈ B, νj = ν j }устойчивы.(ii) Система уравненийHn (ν1 , . . . , νk ) = 0,∂Hn (ν1 , . . . , νk )∂Hn (ν1 , . . . , νk )= 0, . . . ,=0∂ν2∂νkне имеет вещественных решений при (ν1 , .
. . , νk ) ∈ B.Рассмотрим несколько численных примеров.Пример 1. Определить, будут ли устойчивы все полиномы семейства3223{f (z, ν) = z + (ν + 2ν + 3)z + (ν + 3)z + (ν + 2ν + 3)ν ∈ [−1/2, 1/2]} .(1.74)Решение. Сначала рассмотрим граничные подсемейства данного семейства полиномов. Для ν = −1/2 получаем полином7515f (z, −1/2) = z 3 + z 2 + z + ,428который по теореме 32 устойчив, посколькуH1 = 7/4 > 0, H2 = 5/2 > 0, H3 = 75/16 > 0.Для ν = 1/2 имеем полиномf (z, 1/2) = z 3 +17 2 733z + z+ ,42891который по теореме 32 устойчив, посколькуH1 = 17/4 > 0, H2 = 43/4 > 0, H3 = 1419/16 > 0.Проверим выполнение условия (ii) теоремы 36.
Полином 2 ν + 2ν + 3 ν 3 + 2ν + 30H3 (ν) = =1ν+30230ν + 2ν + 3 ν + 2ν + 3 = (ν 3 + 2ν + 3)(5ν 2 + 7ν + 6)не должен иметь вещественных корней на промежутке [−1/2, 1/2].Полином 5ν 2 + 7ν + 6 не имеет вещественных корней. Следовательно, достаточно рассмотреть только полином h(ν) = ν 3 + 2ν + 3 для ν ∈ [−1/2, 1/2].Однако h(−1/2) = 15/8, и h(ν) строго возрастает, так как h0 (ν) = 3ν 2 + 2 > 0.Таким образом, h(ν) при ν ∈ [−1/2, 1/2] не имеет вещественных корней.Тем самым данное семейство полиномов устойчиво.Проверка. По теореме 32, убеждаемся, что семейство полиномов (1.74)устойчиво для всех ν > −1.Пример 2. Определить, являются ли устойчивыми все полиномы семейства{f (z, ν1 , ν2 ) = z 3 + (ν12 + ν22 − 1)z 2 + (ν2 + 3)z + ν2 + 3{ν1 , ν2 } ⊂ [−2; 2]} .(1.75)Решение.
Проверим выполнение второго условия теоремы 36. Системаалгебраических уравненийH3 (ν1 , ν2 ) = 0,∂H3 (ν1 , ν2 )=0∂ν2(1.76)не должна иметь вещественных решений, удовлетворяющих условиям −2 ≤ν1 , ν2 ≤ 2.92Поскольку 2 ν1 + ν22 − 1ν2 + 30H3 (ν1 , ν2 ) = 1ν2 + 300ν12 + ν22 − 1 ν2 + 3 = (ν2 + 3)2 (ν12 + ν22 − 2)и ν2 = −3 6∈ [−2, 2], то вместо системы уравнений, приведенной выше, мыможем рассмотреть следующую систему:ν12+ν22∂(ν12 + ν22 − 2)− 2 = 0,= 2ν2 = 0.∂ν2√Таким образом, система уравнений (1.76) имеет решение ν2 = 0, ν1 = ± 2, исемейство полиномов (1.75) не является устойчивым.Проверка.
Согласно теореме 32, множество значений параметров ν1 , ν2 ,для которых полиномы рассматриваемого семейства являются устойчивыми —открытая полуплоскость ν2 > −3, из которой вырезан круг ν12 + ν22 − 2 ≤ 0.1.5. D-устойчивость семейства полиномовТеперь рассмотрим решение задачи о D-устойчивости. Предположим, чтона комплексной плоскости область g(x, y) > 0 симметрична относительно вещественной оси. Это значит, что g(x, y) ≡ G(x, y 2 ) для некоторого полиномаG(x, Y ) ∈ R[x, Y ].Вещественные и мнимые части комплексных корней z = x + iy полиномовсемейства (1.1) являются решениями системы уравненийΦ1 (x, Y, ν1 , . . .
, νk ) = 0, Φ2 (x, Y, ν1 , . . . , νk ) = 0,(Y = y 2 ).(1.77)Здесь полиномы Φ1 и Φ2 определяются из представленияf (x + iy, ν1 , . . . , νk ) = Φ1 (x, y 2 , ν1 , . . . , νk ) + iyΦ2 (x, y 2 , ν1 , . . . , νk ).Найдем элиминанту данной системы уравнений по исключению переменной ν1 . Обозначим эту элиминанту через M(x, Y, ν2 , . . . , νk ). Также мы получим93уравнение, выражающее ν1 через остальные переменные Ψ(x, Y, ν1 , . . . , νk ) = 0(формула (1.30)).Справедлива следующая теорема:Теорема 37. Корни всех полиномов семейства (1.1) лежат в областиG(x, Y ) > 0 тогда и только тогда, когда выполняются следующие условия:(i) Все граничные семейства полиномов для семейства (1.1), соответствующие граням параллелепипеда B, D-устойчивы.(ii) Система уравненийG(z, 0) = 0, f (z, ν1 , .
. . , νk ) = 0,∂f∂f= 0, . . . ,=0∂ν2∂νk(1.78)не имеет решений таких, что z ∈ R, (ν1 , . . . , νk ) ∈ B.(iii) Система уравненийG(x, Y ) = 0, Ψ(x, Y, ν1 , . . . , νk ) = 0, M(x, Y, ν2 , . . . , νk ) = 0,∂M∂M(x, Y, ν2 , . . . , νk ) = 0, . . . ,(x, Y, ν2 , . . . , νk ) = 0∂ν2∂νk(1.79)не имеет решений таких, что {x, Y } ⊂ R, Y > 0, (ν1 , . . . , νk ) ∈ B.Доказательство.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
