Диссертация (1145311), страница 16

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 16)

0 0 0 0 0 0 0 0 1 −1 −1 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 −1 0 −1 0 0 0 1 0 0 0 0 −1 0 0 0 4 0 0 0 −6 0 0 0 4 −1 1 −1 0 0 0 0 0 −1 0 0 0 4 0 0 0 −6 0 0 1 2 1 −1 0 0 0 0 0 0 −1 0 0 0 4 0 0 0 −6 0 1 −1 3 0 0 0 0 0 0 0 0 −1 0 0 0 4 0 0 0 −6 1 −1 0 3 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 2 −1 1 −1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 1 −1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 −1 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 −1 0 1 Находим собственные векторы матрицы CAB , соответствующие собственному числу 0:C1 = (4, 3, 3, 3, 3, 2, 2, 2, 2, 1, 1, 1, 1, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0)T ,C2 = (−3, −2, −3, −3, −2, −1, −2, −2, −1, 0, −1, −1, 0, 1, 0, 0, 0, 0, 0, 0)T ,C3 = (3, 3, 1, 0, 2, 2, 1, 0, 1, 1, 1, 0, 0, 0, 1, 0, 0, 0, 0, 0)T ,C4 = (−3, −3, 0, 1, −2, −2, 0, 1, −1, −1, 0, 1, 0, 0, 0, 1, 0, 0, 0, 0)T .118Составляем матрицу X(λ) и находим ее определитель: 44 − 72λ −28 + 56λ 24 − 40λ −12 + 28 −36 + 56λ 28 − 48λ −20 + 28λ8 − 16λ|X(λ)| = 24 − 40λ −12 + 28λ 20 − 32λ −16 + 28λ −20 + 28λ8 − 16λ −16 + 28λ 20 − 32λ== 10496(1 − λ)4 .Отсюда следует, что матрицы A и B имеют общее собственное число λ = 1.Проверка.

Собственные числа матрицы A равны 1 (кратности 4) и 2,матрица B имеет единственное собственное число 1 кратности 4.2.3. Число обусловленности ГёльдераЗдесь мы рассмотрим задачу нахождения максимального порядка клетки Жордана для данной квадратной матрицы An×n и всех собственных чиселэтой матрицы, которым соответствуют клетки Жордана максимального порядка. Предлагается алгоритм, с помощью которого сначала находится максимальный порядок клетки Жордана nmax , а потом строится полином, корнями которого являются все собственные числа матрицы A, которым соответствуютклетки Жордана порядка nmax [13].

Алгоритм использует только стандартныеалгебраические операции над элементами матрицы A.2.3.1. Предварительные результатыНапомним, что матрица CA = A ⊗ E − E ⊗ A всегда имеет собственноечисло 0.Оценим Xn2 ×1 — собственный вектор матрицы CA , соответствующий соб-119ственному числу 0. Разобьем его на n подвекторовX 1  X2 nX= ..  , Xj ∈ C . . XnСоставим из векторов Xj (j = 1, . . . , n) матрицу X = (X1 , X2 , .

. . , Xn ) размерности n × n. Эта матрица удовлетворяет уравнению AX = XAT .Верно и обратное: если составить вектор из столбцов матрицыX = (X1 , X2 , . . . , Xn )— решения уравнения AX = XAT , то получим собственный вектор матрицы CA ,отвечающий ее собственному числу 0.Известна также следующая теорема [128]:Теорема 45. Число линейно независимых решений уравнения AX = XAT равноn + 2(m1 + m2 + . . . + mk−1 ),где mj = deg Dj (λ) при j = 1, .

. . , n − 1.Далее будем параллельно рассматривать собственные векторы матрицыCA , соответствующие собственному числу 0, и решения уравнения AX = XAT .Обозначим через AJ нормальную форму Жордана матрицы A. Пусть A =RAJ R−1 и X 0 = R−1 X(RT )−1 . Тогда уравнение AX = XAT будет эквивалентноуравнениюAJ X 0 − X 0 ATJ = On×n ,где On×n — нулевая матрица порядка n. Тем самым достаточно исследоватьслучай, когда матрица A = AJ , т.

е. исходная матрица приведена к формеЖордана.120Матрица CAJ (2.4) имеет блочно-диагональную структуру:J O ... O 1 O J2 . . . O .CAJ =  ...O ...JpЧисло блоков p совпадает с числом клеток Жордана матрицы AJ , и каждыйбок имеет вид:AJ − λ i EO ...OO−E AJ − λi E . . .

OO....OO . . . −E AJ − λi EJi = Порядок каждого блока s (число строк и столбцов, состоящих из матриц) равенпорядку соответствующей клетки Жордана матрицы AJ .При этом n-я степень матрицы CAJ имеетJ1n O . . . O J2n . . .nCAJ =  ...O ...видOO .nJpЗдесьnJi = HnO−C1n H n−1HnC2n H n−1−C1n H n−1...n−s+2(−1)s−1 Cns−1 H n−s+1 (−1)s−2 Cs−2n H...

O ... O ... O n... H.s×s(O обозначает нулевую матрицу порядка m, H = AJ − λi E. Если n < s, внижнем левом углу матрицы стоят нули.)1212.3.2. Максимальный порядок клетки ЖорданаРассмотрим сначала случай, когда λ 0 0 1 λ 0A=J = 0 1 λ ...0 0 0... 0 0 ... 0 0 ...

0 0 ... 1 λ,k×kт. е. исходная матрица имеет вид одной клетки Жордана, соответствующейединственному собственному числу λ. Обозначим через I квадратную матрицупорядка k:I=00 ... 0 0 1 0 ... 0 0 0 1 ... 0 0 ...0 0 ... 1 0.k×kВ дальнейшем будет играть важную роль следующая теорема относительно системы линейных уравнений, задающей корневые векторы матрицы CJ , соответствующие собственному числу 0.Теорема 46. Фундаментальная система решений (ф.с.р.) системы линейных уравненийnI −C1 I n−1Inn C2 I n−2−C1n I n−1Inn... (−1)n E (−1)n−1 Cn−1 I (−1)n−2 Cn−2 I 2 . . .. . . Innn(−1)n E (−1)n−1 Cn−1.

. . . . . Inn I ....... . . (−1)n E . . .. . . InX1 X2 ..  = O,. Xk(2.10)122где Xj ∈ Ck (j = 1, . . . , k), содержит в точностиnk +nX(2j − n) − C2n+1(2.11)j=bn/2c+1векторов. Здесь bβc — целая часть числа β, т. е. наибольшее целое число, непревосходящее β.Доказательство. Рассмотрим сначала случай k ≥ n−1. Обозначим черезVj (j = 1, .

. . , k) корневые векторы j-го этажа матрицы J. Имеем Vk−i = I i Vk .Очевидно, что все векторы Xj , образующие решение системы (2.10), являются корневыми. Тогда их можно разложить по базису корневого пространстваследующим образом:X1 = α11 V1 + α12 V2 + . . . + α1n Vn ,X2 = α21 V1 + α22 V2 + . .

. + α2n Vn + α2,n+1 Vn+1 ,...,Xk−n+1 = αk−n+1,1 V1 + αk−n+1,2 V2 + . . . + αk−n+1,k Vk ,...,Xk = αk1 V1 + αk2 V2 + . . . + αkk Vk .Приравнивая коэффициенты при линейно независимых векторах к нулю,запишем систему уравнений (2.10) как систему линейных уравнений относительно αij (i, j = 1, . . . , k):n−1α−αC= 0,1n2,n+1nα− α2n Cn−1+ α3,n+1 Cn−2= 0,nn 1,n−1α1,n − α2,n+1 Cn−1+ α3,n+2 Cn−2= 0,nn..., αn+1,k−1 − αn+2,k Cn−1 = 0.nРазобьем ее на подсистемы, каждая из которых включает переменные, не входящие в другие подсистемы и получим, что1. Переменные α1n , α2,n+1 , α3,n+2 , .

. . , αk−n+1,k входят в k − 1 уравнение.123При n ≥ 2 значения всех этих переменных нулевые.При n = 1 ф.с.р. данной подсистемы состоит из одного вектора.2. Переменные α1,n−1 , α2n , α3,n+1 , . . . , αk−n+2,k входят в k − 2 уравнения,n ≥ 2.При n ≥ 4 значения всех этих переменных нулевые.При n = 2 ф.с.р. состоит из двух векторов.При n = 3 ф.с.р. состоит из трех векторов.3. Переменные α1,n−2 , α2,n−1 , α3n , . . . , αk−n+3,k входят в k − 3 уравнения,n ≥ 3.При n ≥ 6 подсистема имеет только нулевое решение.При n = 3 ф.с.р. содержит 3 вектора.При n = 4 ф.с.р. содержит 2 вектора.При n = 5 ф.с.р.

содержит 1 вектор.И т.д.n. Переменные α11 , α22 , . . . , αkk входят в k − n уравнений.При n < k данная подсистема имеет n линейно независимых решений.n + 1. Переменные α21 , α32 , . . . , αk,k−1 входят в k − n − 1 уравнений.Ф.с.р. содержит n векторов.И т.д.k. Переменные αk−n+1,1 , αk−n+2,2 , . . . , αk,n не входят ни в одно уравнение.Ф.с.р. содержит n векторов.Таким образом, при bn/2c + 1 ≤ ` ≤ n число векторов в ф.с.р.

подсистемыс номером ` равно 2` − n. При n + 1 ≤ ` ≤ k ф.с.р. подсистемы с номером `состоит из n векторов. Кроме того, имеются переменныеαk−n+2,1 , αk−n+3,1 , αk−n+3,2 , αk−n+4,1 , αk−n+4,2 , αk−n+4,3 , . . . ,αk1 , αk2 , . . . , αk,n−1 ,которые не входят ни в одно из уравнений системы. Их число равно C2n , и онимогут принимать произвольные значения (являются свободными).124Складывая все найденные количества решений, получаем утверждениетеоремы для случая k ≥ n.Когда n > k, векторы X1 , X2 , .

. . , Xk раскладываются по векторам корневого базиса следующим образом:X1 = α11 V1 + α12 V2 + . . . + α1k Vk ,...,Xk = αk1 V1 + αk2 V2 + . . . + αkk Vk .Действуя аналогично предыдущему случаю, выведем формулу для числа решений системы уравнений (2.10)2k−n−1X(2` + n − 2k) + k(n − k + 1) + n`=d 2k−n2 e2k − n − 1,2сравнивая которую с (2.11) и учитывая, что ljnk2k − nnm= k−=k−,222получаем утверждение теоремы.Здесь dβe — наименьшее целое число, не превосходящее β.Следствие 1.

Корневые векторы, соответствующие собственному числу 0 матрицы CJ , распределяются по этажам корневого пространства следующим образом:1-й этаж — k векторов,2-й этаж — k − 1 вектор,3-й этаж — k − 1 вектор,4-й этаж — k − 2 вектора,5-й этаж — k − 2 вектора,. . .,2k − 1-й этаж — 1 вектор.125Следствие 2. Клетке Жордана матрицы J порядка k соответствуетk клеток Жордана матрицы CJ размерностей1, 3, 5, 7, . . . , 2k − 1.Приведенная теорема допускает обобщение на общий случай.Предположим сначала, что матрица AJ имеет две клетки Жордана, соответствующих одному и тому же собственному числу λ.

Обозначим через l и kпорядки этих клеток. Имеются две цепочки корневых векторов, соответствующих λ:V1 , V2 , . . . , Vl и W1 , W2 , . . . , Wk ,так что H p Vj = Vj−p , H p Wi = Wi−p .Рассмотрим матрицуCAJ = AJ ⊗ E − E ⊗ AJ .Она имеет два блока размерностями k × k и l × l, k + l = m (мы считаем, чтостроки и столбцы образованы матрицами). Теперь рассмотрим блок Ji порядкаk и цепочку Жордана V1 , V2 , .

. . , Vl .Теорема 47. Число линейно независимых решений системы линейных уравненийnJi равноnk, если k ≤ l, n + k − 1 ≤ l;nl, если l < k, n + l − 1 ≤ k;kl, если n ≥ k + l;X1X2...Xk=O(2.12)126k+l+n2 k+l+n+ 1 − C2k+1 − C2l+1 − C2n+12(2.13)во всех остальных случаях.Доказательство. Рассмотрим 11 случаев.Случай 1. n < k ≤ l, n + k − 1 ≤ l.

Система уравнений имеет видnHOO n −C1n H n−1HO X1  2 n−2 Cn HO −C1n H n−1X2 ... X3  = O. (−1)n E (−1)n−1 Cn−1H ...O n.  .. O(−1)n E...O  Xk...nnOO. . . (−1) E . . .H(2.14)Очевидно, что все векторы X1 , X2 , . . . , Xk являются корневыми векторами.ИмеемX1 = α11 V1 + α12 V2 + . . . + α1n Vn ,X2 = α21 V1 + α22 V2 + . . . + α2n Vn + α2,n+1 Vn+1 ,. . .,Xk = αk1 V1 + αk2 V2 + . . . + αkn Vn + αk,n+1 Vn+1 + .

Характеристики

Список файлов диссертации