Главная » Просмотр файлов » Диссертация

Диссертация (1145311), страница 16

Файл №1145311 Диссертация (Применение алгебраических методов для анализа сложных систем) 16 страницаДиссертация (1145311) страница 162019-06-29СтудИзба
Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 16)

0 0 0 0 0 0 0 0 1 −1 −1 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 −1 0 −1 0 0 0 1 0 0 0 0 −1 0 0 0 4 0 0 0 −6 0 0 0 4 −1 1 −1 0 0 0 0 0 −1 0 0 0 4 0 0 0 −6 0 0 1 2 1 −1 0 0 0 0 0 0 −1 0 0 0 4 0 0 0 −6 0 1 −1 3 0 0 0 0 0 0 0 0 −1 0 0 0 4 0 0 0 −6 1 −1 0 3 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 2 −1 1 −1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 1 −1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 −1 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 −1 0 1 Находим собственные векторы матрицы CAB , соответствующие собственному числу 0:C1 = (4, 3, 3, 3, 3, 2, 2, 2, 2, 1, 1, 1, 1, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0)T ,C2 = (−3, −2, −3, −3, −2, −1, −2, −2, −1, 0, −1, −1, 0, 1, 0, 0, 0, 0, 0, 0)T ,C3 = (3, 3, 1, 0, 2, 2, 1, 0, 1, 1, 1, 0, 0, 0, 1, 0, 0, 0, 0, 0)T ,C4 = (−3, −3, 0, 1, −2, −2, 0, 1, −1, −1, 0, 1, 0, 0, 0, 1, 0, 0, 0, 0)T .118Составляем матрицу X(λ) и находим ее определитель: 44 − 72λ −28 + 56λ 24 − 40λ −12 + 28 −36 + 56λ 28 − 48λ −20 + 28λ8 − 16λ|X(λ)| = 24 − 40λ −12 + 28λ 20 − 32λ −16 + 28λ −20 + 28λ8 − 16λ −16 + 28λ 20 − 32λ== 10496(1 − λ)4 .Отсюда следует, что матрицы A и B имеют общее собственное число λ = 1.Проверка.

Собственные числа матрицы A равны 1 (кратности 4) и 2,матрица B имеет единственное собственное число 1 кратности 4.2.3. Число обусловленности ГёльдераЗдесь мы рассмотрим задачу нахождения максимального порядка клетки Жордана для данной квадратной матрицы An×n и всех собственных чиселэтой матрицы, которым соответствуют клетки Жордана максимального порядка. Предлагается алгоритм, с помощью которого сначала находится максимальный порядок клетки Жордана nmax , а потом строится полином, корнями которого являются все собственные числа матрицы A, которым соответствуютклетки Жордана порядка nmax [13].

Алгоритм использует только стандартныеалгебраические операции над элементами матрицы A.2.3.1. Предварительные результатыНапомним, что матрица CA = A ⊗ E − E ⊗ A всегда имеет собственноечисло 0.Оценим Xn2 ×1 — собственный вектор матрицы CA , соответствующий соб-119ственному числу 0. Разобьем его на n подвекторовX 1  X2 nX= ..  , Xj ∈ C . . XnСоставим из векторов Xj (j = 1, . . . , n) матрицу X = (X1 , X2 , .

. . , Xn ) размерности n × n. Эта матрица удовлетворяет уравнению AX = XAT .Верно и обратное: если составить вектор из столбцов матрицыX = (X1 , X2 , . . . , Xn )— решения уравнения AX = XAT , то получим собственный вектор матрицы CA ,отвечающий ее собственному числу 0.Известна также следующая теорема [128]:Теорема 45. Число линейно независимых решений уравнения AX = XAT равноn + 2(m1 + m2 + . . . + mk−1 ),где mj = deg Dj (λ) при j = 1, .

. . , n − 1.Далее будем параллельно рассматривать собственные векторы матрицыCA , соответствующие собственному числу 0, и решения уравнения AX = XAT .Обозначим через AJ нормальную форму Жордана матрицы A. Пусть A =RAJ R−1 и X 0 = R−1 X(RT )−1 . Тогда уравнение AX = XAT будет эквивалентноуравнениюAJ X 0 − X 0 ATJ = On×n ,где On×n — нулевая матрица порядка n. Тем самым достаточно исследоватьслучай, когда матрица A = AJ , т.

е. исходная матрица приведена к формеЖордана.120Матрица CAJ (2.4) имеет блочно-диагональную структуру:J O ... O 1 O J2 . . . O .CAJ =  ...O ...JpЧисло блоков p совпадает с числом клеток Жордана матрицы AJ , и каждыйбок имеет вид:AJ − λ i EO ...OO−E AJ − λi E . . .

OO....OO . . . −E AJ − λi EJi = Порядок каждого блока s (число строк и столбцов, состоящих из матриц) равенпорядку соответствующей клетки Жордана матрицы AJ .При этом n-я степень матрицы CAJ имеетJ1n O . . . O J2n . . .nCAJ =  ...O ...видOO .nJpЗдесьnJi = HnO−C1n H n−1HnC2n H n−1−C1n H n−1...n−s+2(−1)s−1 Cns−1 H n−s+1 (−1)s−2 Cs−2n H...

O ... O ... O n... H.s×s(O обозначает нулевую матрицу порядка m, H = AJ − λi E. Если n < s, внижнем левом углу матрицы стоят нули.)1212.3.2. Максимальный порядок клетки ЖорданаРассмотрим сначала случай, когда λ 0 0 1 λ 0A=J = 0 1 λ ...0 0 0... 0 0 ... 0 0 ...

0 0 ... 1 λ,k×kт. е. исходная матрица имеет вид одной клетки Жордана, соответствующейединственному собственному числу λ. Обозначим через I квадратную матрицупорядка k:I=00 ... 0 0 1 0 ... 0 0 0 1 ... 0 0 ...0 0 ... 1 0.k×kВ дальнейшем будет играть важную роль следующая теорема относительно системы линейных уравнений, задающей корневые векторы матрицы CJ , соответствующие собственному числу 0.Теорема 46. Фундаментальная система решений (ф.с.р.) системы линейных уравненийnI −C1 I n−1Inn C2 I n−2−C1n I n−1Inn... (−1)n E (−1)n−1 Cn−1 I (−1)n−2 Cn−2 I 2 . . .. . . Innn(−1)n E (−1)n−1 Cn−1.

. . . . . Inn I ....... . . (−1)n E . . .. . . InX1 X2 ..  = O,. Xk(2.10)122где Xj ∈ Ck (j = 1, . . . , k), содержит в точностиnk +nX(2j − n) − C2n+1(2.11)j=bn/2c+1векторов. Здесь bβc — целая часть числа β, т. е. наибольшее целое число, непревосходящее β.Доказательство. Рассмотрим сначала случай k ≥ n−1. Обозначим черезVj (j = 1, .

. . , k) корневые векторы j-го этажа матрицы J. Имеем Vk−i = I i Vk .Очевидно, что все векторы Xj , образующие решение системы (2.10), являются корневыми. Тогда их можно разложить по базису корневого пространстваследующим образом:X1 = α11 V1 + α12 V2 + . . . + α1n Vn ,X2 = α21 V1 + α22 V2 + . .

. + α2n Vn + α2,n+1 Vn+1 ,...,Xk−n+1 = αk−n+1,1 V1 + αk−n+1,2 V2 + . . . + αk−n+1,k Vk ,...,Xk = αk1 V1 + αk2 V2 + . . . + αkk Vk .Приравнивая коэффициенты при линейно независимых векторах к нулю,запишем систему уравнений (2.10) как систему линейных уравнений относительно αij (i, j = 1, . . . , k):n−1α−αC= 0,1n2,n+1nα− α2n Cn−1+ α3,n+1 Cn−2= 0,nn 1,n−1α1,n − α2,n+1 Cn−1+ α3,n+2 Cn−2= 0,nn..., αn+1,k−1 − αn+2,k Cn−1 = 0.nРазобьем ее на подсистемы, каждая из которых включает переменные, не входящие в другие подсистемы и получим, что1. Переменные α1n , α2,n+1 , α3,n+2 , .

. . , αk−n+1,k входят в k − 1 уравнение.123При n ≥ 2 значения всех этих переменных нулевые.При n = 1 ф.с.р. данной подсистемы состоит из одного вектора.2. Переменные α1,n−1 , α2n , α3,n+1 , . . . , αk−n+2,k входят в k − 2 уравнения,n ≥ 2.При n ≥ 4 значения всех этих переменных нулевые.При n = 2 ф.с.р. состоит из двух векторов.При n = 3 ф.с.р. состоит из трех векторов.3. Переменные α1,n−2 , α2,n−1 , α3n , . . . , αk−n+3,k входят в k − 3 уравнения,n ≥ 3.При n ≥ 6 подсистема имеет только нулевое решение.При n = 3 ф.с.р. содержит 3 вектора.При n = 4 ф.с.р. содержит 2 вектора.При n = 5 ф.с.р.

содержит 1 вектор.И т.д.n. Переменные α11 , α22 , . . . , αkk входят в k − n уравнений.При n < k данная подсистема имеет n линейно независимых решений.n + 1. Переменные α21 , α32 , . . . , αk,k−1 входят в k − n − 1 уравнений.Ф.с.р. содержит n векторов.И т.д.k. Переменные αk−n+1,1 , αk−n+2,2 , . . . , αk,n не входят ни в одно уравнение.Ф.с.р. содержит n векторов.Таким образом, при bn/2c + 1 ≤ ` ≤ n число векторов в ф.с.р.

подсистемыс номером ` равно 2` − n. При n + 1 ≤ ` ≤ k ф.с.р. подсистемы с номером `состоит из n векторов. Кроме того, имеются переменныеαk−n+2,1 , αk−n+3,1 , αk−n+3,2 , αk−n+4,1 , αk−n+4,2 , αk−n+4,3 , . . . ,αk1 , αk2 , . . . , αk,n−1 ,которые не входят ни в одно из уравнений системы. Их число равно C2n , и онимогут принимать произвольные значения (являются свободными).124Складывая все найденные количества решений, получаем утверждениетеоремы для случая k ≥ n.Когда n > k, векторы X1 , X2 , .

. . , Xk раскладываются по векторам корневого базиса следующим образом:X1 = α11 V1 + α12 V2 + . . . + α1k Vk ,...,Xk = αk1 V1 + αk2 V2 + . . . + αkk Vk .Действуя аналогично предыдущему случаю, выведем формулу для числа решений системы уравнений (2.10)2k−n−1X(2` + n − 2k) + k(n − k + 1) + n`=d 2k−n2 e2k − n − 1,2сравнивая которую с (2.11) и учитывая, что ljnk2k − nnm= k−=k−,222получаем утверждение теоремы.Здесь dβe — наименьшее целое число, не превосходящее β.Следствие 1.

Корневые векторы, соответствующие собственному числу 0 матрицы CJ , распределяются по этажам корневого пространства следующим образом:1-й этаж — k векторов,2-й этаж — k − 1 вектор,3-й этаж — k − 1 вектор,4-й этаж — k − 2 вектора,5-й этаж — k − 2 вектора,. . .,2k − 1-й этаж — 1 вектор.125Следствие 2. Клетке Жордана матрицы J порядка k соответствуетk клеток Жордана матрицы CJ размерностей1, 3, 5, 7, . . . , 2k − 1.Приведенная теорема допускает обобщение на общий случай.Предположим сначала, что матрица AJ имеет две клетки Жордана, соответствующих одному и тому же собственному числу λ.

Обозначим через l и kпорядки этих клеток. Имеются две цепочки корневых векторов, соответствующих λ:V1 , V2 , . . . , Vl и W1 , W2 , . . . , Wk ,так что H p Vj = Vj−p , H p Wi = Wi−p .Рассмотрим матрицуCAJ = AJ ⊗ E − E ⊗ AJ .Она имеет два блока размерностями k × k и l × l, k + l = m (мы считаем, чтостроки и столбцы образованы матрицами). Теперь рассмотрим блок Ji порядкаk и цепочку Жордана V1 , V2 , .

. . , Vl .Теорема 47. Число линейно независимых решений системы линейных уравненийnJi равноnk, если k ≤ l, n + k − 1 ≤ l;nl, если l < k, n + l − 1 ≤ k;kl, если n ≥ k + l;X1X2...Xk=O(2.12)126k+l+n2 k+l+n+ 1 − C2k+1 − C2l+1 − C2n+12(2.13)во всех остальных случаях.Доказательство. Рассмотрим 11 случаев.Случай 1. n < k ≤ l, n + k − 1 ≤ l.

Система уравнений имеет видnHOO n −C1n H n−1HO X1  2 n−2 Cn HO −C1n H n−1X2 ... X3  = O. (−1)n E (−1)n−1 Cn−1H ...O n.  .. O(−1)n E...O  Xk...nnOO. . . (−1) E . . .H(2.14)Очевидно, что все векторы X1 , X2 , . . . , Xk являются корневыми векторами.ИмеемX1 = α11 V1 + α12 V2 + . . . + α1n Vn ,X2 = α21 V1 + α22 V2 + . . . + α2n Vn + α2,n+1 Vn+1 ,. . .,Xk = αk1 V1 + αk2 V2 + . . . + αkn Vn + αk,n+1 Vn+1 + .

Характеристики

Тип файла
PDF-файл
Размер
1,69 Mb
Высшее учебное заведение

Список файлов диссертации

Применение алгебраических методов для анализа сложных систем
Свежие статьи
Популярно сейчас
Почему делать на заказ в разы дороже, чем купить готовую учебную работу на СтудИзбе? Наши учебные работы продаются каждый год, тогда как большинство заказов выполняются с нуля. Найдите подходящий учебный материал на СтудИзбе!
Ответы на популярные вопросы
Да! Наши авторы собирают и выкладывают те работы, которые сдаются в Вашем учебном заведении ежегодно и уже проверены преподавателями.
Да! У нас любой человек может выложить любую учебную работу и зарабатывать на её продажах! Но каждый учебный материал публикуется только после тщательной проверки администрацией.
Вернём деньги! А если быть более точными, то автору даётся немного времени на исправление, а если не исправит или выйдет время, то вернём деньги в полном объёме!
Да! На равне с готовыми студенческими работами у нас продаются услуги. Цены на услуги видны сразу, то есть Вам нужно только указать параметры и сразу можно оплачивать.
Отзывы студентов
Ставлю 10/10
Все нравится, очень удобный сайт, помогает в учебе. Кроме этого, можно заработать самому, выставляя готовые учебные материалы на продажу здесь. Рейтинги и отзывы на преподавателей очень помогают сориентироваться в начале нового семестра. Спасибо за такую функцию. Ставлю максимальную оценку.
Лучшая платформа для успешной сдачи сессии
Познакомился со СтудИзбой благодаря своему другу, очень нравится интерфейс, количество доступных файлов, цена, в общем, все прекрасно. Даже сам продаю какие-то свои работы.
Студизба ван лав ❤
Очень офигенный сайт для студентов. Много полезных учебных материалов. Пользуюсь студизбой с октября 2021 года. Серьёзных нареканий нет. Хотелось бы, что бы ввели подписочную модель и сделали материалы дешевле 300 рублей в рамках подписки бесплатными.
Отличный сайт
Лично меня всё устраивает - и покупка, и продажа; и цены, и возможность предпросмотра куска файла, и обилие бесплатных файлов (в подборках по авторам, читай, ВУЗам и факультетам). Есть определённые баги, но всё решаемо, да и администраторы реагируют в течение суток.
Маленький отзыв о большом помощнике!
Студизба спасает в те моменты, когда сроки горят, а работ накопилось достаточно. Довольно удобный сайт с простой навигацией и огромным количеством материалов.
Студ. Изба как крупнейший сборник работ для студентов
Тут дофига бывает всего полезного. Печально, что бывают предметы по которым даже одного бесплатного решения нет, но это скорее вопрос к студентам. В остальном всё здорово.
Спасательный островок
Если уже не успеваешь разобраться или застрял на каком-то задание поможет тебе быстро и недорого решить твою проблему.
Всё и так отлично
Всё очень удобно. Особенно круто, что есть система бонусов и можно выводить остатки денег. Очень много качественных бесплатных файлов.
Отзыв о системе "Студизба"
Отличная платформа для распространения работ, востребованных студентами. Хорошо налаженная и качественная работа сайта, огромная база заданий и аудитория.
Отличный помощник
Отличный сайт с кучей полезных файлов, позволяющий найти много методичек / учебников / отзывов о вузах и преподователях.
Отлично помогает студентам в любой момент для решения трудных и незамедлительных задач
Хотелось бы больше конкретной информации о преподавателях. А так в принципе хороший сайт, всегда им пользуюсь и ни разу не было желания прекратить. Хороший сайт для помощи студентам, удобный и приятный интерфейс. Из недостатков можно выделить только отсутствия небольшого количества файлов.
Спасибо за шикарный сайт
Великолепный сайт на котором студент за не большие деньги может найти помощь с дз, проектами курсовыми, лабораторными, а также узнать отзывы на преподавателей и бесплатно скачать пособия.
Популярные преподаватели
Добавляйте материалы
и зарабатывайте!
Продажи идут автоматически
6384
Авторов
на СтудИзбе
308
Средний доход
с одного платного файла
Обучение Подробнее