Диссертация (1145311), страница 17

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 17)

. . ++ αk,n+k−1 Vn+k−1 .Перепишем систему уравнений (2.14) следующим образом:α1n − α2,n+1 Cn−1= 0,nαn−1+ α3,n+1 Cn−2= 0,1,n−1 − α2n Cnn..., (−1)n αk−n,1 + (−1)n−1 Cn−1 αk−n+1,2 + . . . + αk,n+1 = 0.nЭта система линейных уравнений может быть разбита на подсистемы таким образом.127Для 1 ≤ i ≤ n i-я подсистема состоит из k − n уравнений и содержитпеременные α1,n−i+1 , α2,n−i+2 , . . . , αk,n+k−i . Следовательно, ф.с.р.

i-й подсистемысодержит i векторов.Для n+1 ≤ i ≤ k −1 i-я подсистема состоит из k −i уравнений и содержитпеременные αi−n+1,1 , αi−n+2,2 , . . . , αk,k+n−i . Следовательно, ф.с.р. i-й подсистемысодержит n векторов.Кроме того, C2n+1 переменныеαk−n+1,1 , αk−n+2,1 , αk−n+2,2 , . . . , αk1 , αk2 , . . . , αkn .могут принимать произвольные значения.Складывая все числа линейно независимых решений подсистем, получаемследующую формулу:n(n + 1) + (k − n − 1)n = kn.Случай 2. n < k ≤ l, n + k − 1 > l.

Система уравнений имеет вид (2.14).ИмеемX1 = α11 V1 + α12 V2 + . . . + α1n Vn ,X2 = α21 V1 + α22 V2 + . . . + α2n Vn + α2,n+1 Vn+1 ,...,Xl−n+1 = αl−n+1,1 V1 + αl−n+1,2 V2 + . . . + αl−n+1,l Vl ,...,Xk = αk1 V1 + αk2 V2 + . . . + αkn Vn + αk,n+1 Vn+1 + . . . + αkl Vl .Рассмотрим следующие подсистемы уравнений.Пусть 1 ≤ i ≤ n + k − l. Тогда i-я подсистема состоит из k − i уравнений и содержит переменные α1,n−i+1 , α2,n−i+2 , . .

. , αl−n+i,l . Если k + l − n ≥ 2i,i-я подсистема имеет только нулевое решение. В противном случае ф.с.р. этойподсистемы содержит 2i + l − k − n векторов.Пусть n+k −l +1 ≤ i ≤ n. Тогда i-я подсистема состоит из k −i уравненийи содержит переменные α1,n−i+1 , α2,n−i+2 , . . . , αk,n+k−i . В этом случае ф.с.р. i-йподсистемы содержит i векторов.128Пусть n + 1 ≤ i ≤ k.

Тогда i-я подсистема состоит из k − i уравнений исодержит переменные αi−n+1,1 , αi−n+2,2 , . . . , αk,k+n−i . Таким образом, ф.с.р. i-йподсистемы содержит n векторов.Кроме того, C2n переменныхαk1 , αk2 , . . . , αk,n−1 , αk−1,1 , αk−1,2 , . . . , αk−1,n−2 , . . . , αk−n+2,1могут принимать произвольные значения.Складывая все числа линейно независимых решений, получаем следующую формулу:nX(2p + l − k − n) + (n + k − l + 1) + (n + k − l + 2) + . . . + n+p=b k+n−lc+12+(k − n)n + C2n =k+n−lk+n−l=+1+ l(k + n) − C2n+1 − C2k+1 − C2l .22Эта формула эквивалентна формуле (2.13).Случай 3. k ≤ n < l, n + k − 1 ≤ l. Система уравнений имеет вид:n−k+1Cnn−k+1 H k−1(−1)O...O (−1)n−k+2 Cn−k+2 H k−2 (−1)n−k+1 Cn−k+1 H k−1 . .

.Onn...n−k+1H k−1(−1)k−1 Ck−1(−1)k Ckn H n−k. . . (−1)n−k+1 Cn−k+1nn HX1 X2 ..  = O.. Xk(2.15)ПолучаемX1 = α11 V1 + α12 V2 + . . . + α1n Vn ,X2 = α21 V1 + α22 V2 + . . . + α2nVn + α2,n+1 Vn+1 ,...,Xk = αk1 V1 + αk2 V2 + . . . + αk,n+k−1 Vn+k−1 .Доказательство утверждения теоремы в данном случае аналогично доказательству в случае 1.129Случай 4. k ≤ n < l, n + k − 1 > l и k ≤ l ≤ n < k + l. Система уравненийимеет вид (2.15).ПолучаемX1 = α11 V1 + α12 V2 + . . . + α1n Vn ,X2 = α21 V1 + α22 V2 + .

. . + α2n Vn + α2,n+1 Vn+1 ,...,Xl−n+1 = αl−n+1,1 V1 + . . . + αl−n+1,l Vl ,...,Xk = αk1 V1 + . . . + αkl Vl .Рассмотрим следующие подсистемы линейных уравнений.Для 1 ≤ i ≤ k + l − n i-я подсистема состоит из k − i уравнений и содержитпеременные α1,n−i+1 , α2,n−i+2 , . . . , αi+l−n,l . Следовательно, ф.с.р. i-й подсистемысодержит 2i + l − k − n векторов.Для k + l − n + 1 ≤ i ≤ k − 1 i-я подсистема состоит из k − i уравненийи содержит переменные α1,n−i+1 , α2,n−i+2 , . . . , αk,k+n−i .

Следовательно, ф.с.р. i-йподсистемы содержит i векторов.Кроме того, k(2n − k − 1)/2 переменныеα11 , α12 , . . . , α1,n−k+1 , α21 , . . . , α2,n−k+2 , . . . , αk1 , . . . , αknмогут принимать произвольные значения.Складывая все числа линейно независимых решений, получаем следующую формулу:k+n−lX(2p + l − n − k) +p=b k−l+nc+12l−n−1k(2k + n + l) + (2n − k − 1) =22 k+n−lk+n−ll−n−1k=+1 +(2k + n + l) + (2n − k − 1).2222Эта формула эквивалентна формуле (2.13).Случай 5. k ≤ l ≤ n, n ≥ k + l. ИмеемH l = H l+1 = . . .

= H n = O.130Следовательно, все векторы X1 , . . . , Xk могут быть выбраны произвольным образом. Число линейно независимых решений рассматриваемой системы равноkl.Случай 6. n < l ≤ k, l + n − 1 ≤ k. Система уравнений имеет вид (2.14).ПолучаемX1 = α11 V1 + α12 V2 + . . . + α1n Vn ,X2 = α21 V1 + α22 V2 + . . . + α2n Vn + α2,n+1 Vn+1 ,...,(2.16)Xl−n+1 = αl−n+1,1 V1 + αl−n+1,2 V2 + . . .

+ αl−n+1,l Vl ,...,Xk = αk1 V1 + αk2 V2 + . . . + αkl Vl .Рассмотрим следующие подсистемы линейных уравнений.Для 1 ≤ i ≤ n i-я подсистема состоит из l уравнений и содержит переменные α1,n−i+1 , α2,n−i+2 , . . . , αl−n+i,l . Следовательно, i-я подсистема имеет тольконулевое решение.Для n + 1 ≤ i ≤ k − l i-я подсистема состоит из l уравнений и содержитпеременные αi−n+1,1 , αi−n+2,2 , . . . , αi−n+l,l . Следовательно, i-я подсистема имееттолько нулевое решение.Для k − l + 1 ≤ i ≤ k − l + n i-я подсистема состоит из k − l уравненийи содержит переменные αi−n+1,1 , αi−n+2,2 , . .

. , αi+l−n,l . Следовательно, ф.с.р. i-йподсистемы содержит i − k − l векторов.Для k − l + n + 1 ≤ i ≤ k − 1 i-я подсистема состоит из k − i уравнений исодержит переменные αi−n+1,1 , αi−n+2,2 , . . . , αk,k+n−i . Таким образом, ф.с.р. i-йподсистемы содержит n векторов.Кроме того, C2n+1 переменныеαk1 , αk2 , . . . , αkn , αk−1,1 . . . , αk−1,n−1 , .

. . , αk−n,1могут принимать произвольные значения.131Складывая все числа линейно независимых решений, получаем следующую формулу:n(n + 1) + n(l − n + 1) = nl.Случай 7. l ≤ n < k, l + n − 1 > k. Система уравнений имеет вид (2.14).Векторы X1 , X2 , . . .

, Xk заданы формулами (2.16).Рассмотрим следующие подсистемы линейных уравнений.Для 1 ≤ i ≤ k − l i-я подсистема состоит из l уравнений и содержитпеременные α1,n−i+1 , α2,n−i+2 , . . ., αl−n+i,l . Следовательно, i-я подсистема имееттолько нулевое решение.Для k − l + 1 ≤ i ≤ n i-я подсистема состоит из k − i уравнений и содержитпеременные α1,n−i+1 , α2,n−i+2 , . . . , αl−n+i,l .

Следовательно, ф.с.р. i-й подсистемысодержит 2i + l − n − k векторов.Для n + 1 ≤ i ≤ k − l + n i-я подсистема состоит из k − i уравненийи содержит переменные αi−n+1,1 , αi−n+2,2 , . . . , αi+l−n,l . Следовательно, ф.с.р. i-йподсистемы содержит i + l − k векторов.Для k − l + n + 1 ≤ i ≤ k − 1 i-я подсистема состоит из k − i уравнений исодержит переменные αi−n+1,1 , αi−n+2,2 , . .

. , αk,k+n−i . Таким образом, ф.с.р. i-йподсистемы содержит n векторов.Кроме того, C2n+1 переменныеαk1 , αk2 , . . . , αkn , αk−1,1 , . . . , αk−1,n−1 , . . . , αk−n+1,1могут принимать произвольные значения.Складывая все числа линейно независимых решений, получаем следующую формулу:nX(2p + l − k − n) + ((k − 1) − (k − l + n))n+p=b k+n−lc+12+(l + n + 1 − k) + (l + n + 2 − k) + .

. . + n + C2n+1 = k+n−lk+n−l= n−+l−k+1 +22132+n(l − n − 1) +k−l(2n + l − k + 1) + C2n+1 .2Эта формула эквивалентна формуле (2.13).Случай 8. l ≤ n < k, l + n − 1 ≤ k. Система уравнений имеет вид (2.14).ИмеемX1 = α11 V1 + α12 V2 + . . . + α1l Vl ,X2 = α21 V1 + α22 V2 + . . . + α2l Vl ,...,Xk = αk1 V1 + αk2 V2 + .

. . + αkl Vl .Очевидно, что H i XJ = O при i = l, l + 1, . . . , n; j = 1, 2, . . . , k.Следовательно, n − l + 1 векторов Xk−n+l , Xk−n+l+1 , . . . , Xk могут бытьвыбраны произвольным образом, так что (n − l + 1)l переменные αij могутпринимать произвольные значения.Кроме того, в случае 8 получаем систему линейных уравнений такую же,как и в случае 6, где n0 = l−1, l0 = l, k 0 = k−n+l−1 (n0 +l0 −k 0 −1 = n+l−k−1) инеизвестные векторы X1 , X2 , . . .

, Xk−n+l−1 . Эта система уравнений имеет ф.с.р.,содержащую (l − 1)l векторов.Следовательно, в этом случае число линейно независимых решений равно(l − 1)l + (n − l + 1)l = nl.Случай 9. l ≤ n < k, l+n−1 > k. Получаем следующую систему линейныхуравнений(−1)n−l+1 Cnn−l+1 H l−1O... (−1)n−l+2 Cn−l+2 H l−2n......(−1)n EO...O(−1)n E .

. .OOO(−1)n−l+1 Cn−l+1H l−1n X 1  X  2 = O. .   ..  Xk0(2.17)Это система уравнений из случая 7, где k 0 = k − n + l − 1, l0 = l, n0 = l − 1.(Очевидно, что n0 + l0 − k 0 − 1 = l + n − k − 1 > 0.)133Таким образом, в этом случае число линейно независимых решений равно 0 0k + l 0 + n0k + l 0 + n0(n − l + 1)l ++ 1 − C2k0 +1 − C2l0 +1 − C2n0 +1 =22 k − n + 3l − 2k − n + 3l − 2+ 1 − C2k−n+l−1 −= (n − l + 1)l +22−C2l+1 − C2l .Последняя формула эквивалентна формуле (2.13).Случай 10. l < k ≤ n, n < k + l.

Система уравнений имеет вид (2.15).ПолучаемX1 = α11 V1 + α12 V2 + . . . + α1l Vl ,X2 = α21 V1 + α22 V2 + . . . + α2l Vl ,...,Xk = αk1 V1 + αk2 V2 + . . . + αkl Vl .Очевидно, что H i Xj = O, если i = l, l + 1, l + 2, . . . , k, j = 1, 2, . . . , k.Следовательно, (n − l + 1)l переменные αij могут принимать произвольныезначения.Теперь осталось рассмотреть k 0 = k − n + l − 1 уравнений, содержащих k 0неизвестных векторов X1 , X2 , . .

. , Xk−n+l−1 :n−l+1Cn−l+1H l−1n(−1)O...O (−1)n−l+2 Cn−l+2 H l−2 (−1)n−l+1 Cn−l+1 H l−1 . . .Onn...n−k+1(−1)k−1 Ck−1(−1)k−2 Ck−21H n−k+2 . . . (−1)n−l+1 Cn−l+1H l−1n HnnX1  X  2 = O. .   .. Xk0(2.18)ПолучаемX1 = α11 V1 + α12 V2 + . . . + α1,l−1 Vl−1 ,X2 = α21 V1 + α22 V2 + . . . + α2,l−1 Vl−1 + α2l Vl ,...,Xk0 = αk0 1 V1 + αk0 2 V2 + . .

Характеристики

Список файлов диссертации