Главная » Просмотр файлов » Диссертация

Диссертация (1145311), страница 18

Файл №1145311 Диссертация (Применение алгебраических методов для анализа сложных систем) 18 страницаДиссертация (1145311) страница 182019-06-29СтудИзба
Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 18)

. + αk0 ,l−1 Vl−1 + αk0 l Vl .Рассмотрим следующие подсистемы системы уравнений (2.18).134Для 1 ≤ i ≤ k 0 − 1 i-я подсистема состоит из k 0 − i уравнений и содержит переменные α1,l−i , α2,l−i+1 , . . . , αi+1,l . Таким образом, ф.с.р. i-й подсистемысодержит 2i + 2 + n − k − l векторов.Кроме того, k 0 (l − k 0 + 1)/2 переменныеα11 , α12 , . .

. , α1,l−k0 , α21 , . . . , α2,l−k0 +1 , . . . , αk0 1 , αk0 2 , . . . , αk0 ,l−1могут принимать произвольные значения.Складывая все числа линейно независимых решений, получаем следующую формулу:k+l−n−2X(2p + 2 + n − k − l) +p=b k+l−nc2k+l−n=2 k+l−n−1(l + n − k) + l(n − l + 1) =2k+l−n− 1 + n(k + l) − C2k − C2l − C2n+1 .2Эта формула эквивалентна формуле (2.13).Случай 11. l < k ≤ n, n ≥ k + l.

Доказательство теоремы в этом случаеаналогично доказательству в случае 5.Тем самым, теорма 47 доказана.Следствие 12. Если k = l, клетки Жордана имеют порядки2k − 1, 2k − 3, . . . , 3, 1.Таким образом, каждой клетке Жордана матрицы A порядка k соответствует последовательность клеток Жордана матрицы CA порядков 2k − 1, 2k −3, . . . , 1 (эта последовательность соответствует собственному числу 0).Следствие 13.

Если k 6= l, имеем клетки Жордана порядковl + k − 1, l + k − 3, . . . , l − k + 3, l − k + 1,причем имеется две клетки Жордана каждого порядка.135Замечание 17. Полученный результат является следствием теоремы Рота [154] для двух квадратных матриц An×n и Bm×m :Теорема 48. Пусть элементарные делители матриц A−λEn×n и B −λEm×mравны соответственно(λi − λ)mi (i = 1, 2, . . . , r) и (µj − λ)nj (j = 1, 2, .

. . , s)и µij = min(mi , nj ), тогда элементарные делители матрицыρA ⊗ En×n − σEm×m ⊗ B − λEmn×mn (ρ 6= 0, σ 6= 0)равны(ρλi + σµj − λ)mi +nj −2k+1 ,где(k = 1, 2, . . . , µij ; i = 1, 2, . . . , r; j = 1, 2, . . . , s).Далее будем рассматривать произвольную матрицу A. Следующая теоремаотвечает на вопрос о максимальном порядке клетки Жордана матрицы A.Теорема 49. Порядок максимальной клетки Жордана матрицы A равен nmax =(s + 1)/2, где s — порядок максимальной клетки Жордана CA , соответствующей собственному числу 0 матрицы.Доказательство. Пусть максимальный порядок клетки Жордана матрицы A равен p. Из рассмотрения структуры матрицы CAn J сразу следует, что уматрицы CA нет клеток Жордана, отвечающих собственному числу 0, порядкабольше, чем 2p − 1.

Отсюда получаем утверждение теоремы.Следствие 3. Матрица A диагонализируема тогда и только тогда, когдаnmax = 1.1362.3.3. Собственные числа, которым соответствуют максимальныеклетки ЖорданаСледующая теорема дает алгоритм построения полинома с корнями — собственными числами матрицы A, которым принадлежат клетки Жордана максимального порядка.По теореме 43, для каждого собственного числа λ матрицы A существуетматрица D ранга 1 такая, что AD = DAT , столбцы и транспонированные строки которой являются собственными векторами матрицы A, соответствующимиданному собственному числу. Для каждого собственного числа λ имеется ровно u2 матриц ранга 1 такого вида (u — геометрическая кратность собственногочисла λ).Пусть матрица C имеет t собственных векторов, соответствующих собственному числу 0 и принадлежащих максимальной по длине цепочке Жордана.

Обозначим эти векторы через C1 , C2 , . . . , Ct . Составим из них матрицуC = (C1 , C2 , . . . , Ct ).Теорема 50. Собственные числа матрицы A, которым отвечают клеткиЖордана максимального порядка nmax , являются корнями уравненияdet(CT (A ⊗ E)C − λCT C) = 0.(2.19)Доказательство. Пусть λ — какое-либо собственное число матрицы Aкратности nmax .Поскольку матрица D, столбцы и транспонированные строки которой естьсобственные векторы матрицы A, соответствующие собственному числу λ, удовлетворяет уравнению AX = XAT , то она является линейной комбинацией tматриц, составленных из координат собственных векторов C1 , C2 , .

. . , Ct . Иначеговоря, для собственного числа λ существует матрица D, отвечающая векторуα1 C1 + α2 C2 + . . . + αt Ct137такая, что AD = DAT .Обозначим через A вектор (α1 , α2 , . . . , αt )T .Перепишем это уравнение иначе, записав матрицу D как вектор:(A ⊗ E)CA = λCA.Домножим обе части полученного уравнения слева на CT :(CT (A ⊗ E)C − λCT C)A = O,и данное уравнение имеет ненулевое решение A. Это возможно тогда и толькотогда, когдаdet(CT (A ⊗ E)C − λCT C) = 0,т. е. λ — корень уравнения (2.19).Так как rankC = t, то других корней у данного уравнения нет.Замечание 18. По формуле 2.9, имеемdet(CT (A ⊗ E)C − λCT C) = det(CT (E ⊗ A)C − λCT C).2.3.4.

ПримерПример 7. Найдем порядок максимальной клетки Жордана и собственныечисла, которым соответствуют клетки Жордана максимального порядка,для матрицы0 −1 3 −1 1 0 −3 5 −1 0 10 −3 3 1 0 01.A= 0 0 0 3 2 −3  0 0 0 4 10 −12 0 0 0 3 6 −7138Построим матрицу CA =2066 3666 3666 0666 0666 0666 −3666 0666 066 0666 06666 066 −3666 0666 0666 0666 0666 0=666 0666 0666 066 0666 0666 0666 0666 0666 0666 0666 0666 0666 0666 0666 066 0666 040−31 −1−610−3 −2000 30 0000 −1−10 03 00000 −1 00000 10 000000 00000000000 −10000 01 000000 000000000707770777077707770777077707770770777077707770777077707770777077717770777077707770770777−3 77707770777077707770777−12 77707770777−1 77377712 750 300000 −1000 00 100000 00000000000 −43 00 0300000 −100 00 010000 00000000000 −4 −11 12 00 00300000 −10 00 001000 00000000000 −30 000300000 −1 00 000100 00000000000000 6 −3 1 −100 −100000 00 000010 000000000−30000 30 −10000 00 000001 0000000000 −3−2−66 00 10 −100 −130000 3 −3 4000 −1000 00 000000 10000000000 −300 00 02 −23000 −100 00 000000 010000000000−30 00 0 −4 −5 120000 −10 00 000000 0010000000000 −3 00 0 −3 −6 1200000 −1 00 000000 00010000000000 30 00002 −31 −100 00 000000 000010000−30000 03 00003 −410 −10 00 000000 0000010000 −3000 00 30003 −3000 −1 00 000000 00000010000 −300 00 0300000 −2 −23 00 000000 000000010000−30 00 0030000 −4 −9 12 00 000000 0000000010000 −3 00 0003000 −3 −68 00 000000 00000000000000 00 0000000000 4 −3 1 −10020 0000−3000000000 00 0000000000 3 −2 10 −1002 00000−300000000 00 0000000000 3 −3 200 −100 200000−3000 −200000 00 0000000000 00 0300 0200000−3000000 00 0000000000 00 0 −4 −7 1200 00200000−300000 00 0000000000 00 0 −3 −6 1000 00020000000000 00 0000000000 40 0000 11 −3 1 −100 −12000000000 00 0000000000 04 000030 −1200000000 00 0000000000 00 40003 −3 9000 −12007 −23000 −1200 120005 10 −100 −100000 00 0000000000 00 040000 000000 00 0000000000 00 004000 0 −400000 00 0000000000 00 000400 0 −3 −6 1700000 00 0000000000 30 000060 00000 −1200000−6−31−10−100000 00 0000000000 03 000006 00003 −121000000 00 0000000000 00 300000 60003−3−80000000 00 0000000000 00 030000 0600000 −10−200000 00 0000000000 00 003000 0060000−4 −1700000 00 0000000000 00 000300 0006000−3−60Единственный собственный вектор матрицы CA , соответствующий собственному числу 0 и принадлежащий самой длинной цепочке Жордана (длины 5),имеет видCT1 = (49, 70, 63, 0, 0, 0, 70, 100, 90, 0, 0, 0, 63, 90, 81, 0, .

. . , 0 ).| {z }21 нульИз уравнения (2.19)находим собственное число максимальной геометрической кратности матрицы A (в нашем случае она равна трем):105 800λ − 211 600 = 0,откуда λ = 2.Проверка. Форма Жордана матрицы A содержит для собственного числа139λ = 2 три клетки: одну третьего порядка и две первого порядка и для собственного числа λ = 1 одну клетку первого порядка.2.4.

Кратные собственные числа матрицыПусть даны две квадратные (k × k) матрицы A и B с комплексными элементами. Требуется найти все значения λ, при которых матрица D(λ) = A+λBимеет кратные собственные числа.Замечание 19. В дальнейшем будем предполагать, что матрицы A и B неимеют общих собственных чисел. Найти общие собственные числа двух матриц можно с помощью алгоритма, предложенного в разделе 2.2.Обозначим через sp и Sp (p = 0, 1, 2, .

. .) суммы Ньютона характеристических полиномов матриц D и CD соответственно. Справедлива следующая теорема, показывающая связь между суммами Ньютона sp и Sp (напомним, чтоpsp = Sp Dp , Sp = Sp CD):pТеорема 51. След матрицы CDнаходится по формулам:S2p = 2ks2p − 2C12p s2p−1 s1 + 2C2p s2p−2 s2 − . .

. + (−1)P Cp2p s2p ,S2p−1 = 0.Здесь Cpn =(2.20)n!, p = 0, 1, 2, . . ..p!(n − p)!Доказательство. Воспользуемся формулой (2.3), получим:pCD= Dp ⊗ E − C1p Dp−1 ⊗ D + C2p Dp−2 ⊗ D2 − . . . + (−1)p E ⊗ Dp .Учитывая свойства следа кронекеровского произведения матриц [104], сразу получаем требуемое.140Теорема 52. Матрица D имеет кратные собственные числа тогда и толькотогда, когдаS220S4S24...Sk2 −k Sk2 −k−2 Sk2 −k−4... 0 ... 0 . . . S2 = 0.(2.21)(k 2 −k)/2×(k 2 −k)/2Доказательство.

По формуле (1.12) выразим коэффициент ak2 −k при µkхарактеристического полинома матрицы CD2det(CD − µEk2 ×k2 ) = a0 µk + a1 µk2−1+ a2 µ kpчерез его суммы Ньютона Sp = Sp CD: 0100 S2020 0S2031ak2 −k = 2(k −k)! . . . 0Sk2 −k−20Sk2 −k−40Sk2 −k−20 Sk2 −k2−2+ . . . + ak 2... 0... 0... 0... 0. . . S2000.2k −k+1 0По теореме Лапласа [38], разложим данный определитель, выбрав все столбцыс четными номерами:ak2 −k100 S2301= 2 S4S25(k − k)! ... Sk2 −k−2 Sk2 −k−4 Sk2 −k−6 S220... S4S24...× ...

Sk2 −k Sk2 −k−2 Sk2 −k−4 . . ..........00×02k −k−1 ...0 0 =S2 1411= 2(k − k)!! S220S4S24...Sk2 −k Sk2 −k−2 Sk2 −k−4... 0 ... 0 ,. . . S2 где (k 2 − k)!! обозначает произведение всех четных натуральных чисел от 1 доk 2 − k включительно. Из последнего равенства сразу следует утверждение теоремы.Следующие формулы, аналогичные формулам Ньютона, позволяют найтиAk2 −k , не вычисляя определителей:Следствие 14.A2 = −S2 ; A4 = −(S4 + A2 S2 )/2 ;A2p = −(S2p + A2 S2p−2 + A4 S2p−4 + . . .

+ A2p−2 S2 )/2p ,если p ≤ (k 2 − k)/2 .(2.22)Теоремы 40, 51 и 52 дают возможность построить алгоритм нахождениязначений λ, для которых матрица D = A + λB имеет кратные собственные числа. Требуется найти следы степеней данной матрицы. Для этого воспользуемсясвойствами следа матрицы [7]:Лемма 3. Sp (AB) = Sp (BA), Sp (A + B) = Sp A + Sp B.Имеем следующее равенство:sp = Sp Dp = Sp Ap + C1p (Sp Ap−1 B) + C2p Sp (Ap−2 B 2 ) + . . . + Sp B p(p = 1, 2, 3, . .

.)(2.23)Таким образом, нам необходимо вычислить степени матриц A и B от первой до k 2 − k-й включительно.142Замечание 20. Последнюю операцию матричного умножения при вычислении следа можно не выполнять, достаточно вычислить лишь элементы, стоящие на главной диагонали произведения.Замечание 21. Вычисление степени матрицы — задача довольно трудоемкая. Для матриц большого порядка наиболее быстро можно это сделать спомощью метода Штрассена [164].Замечание 22. При больших k удобнее вычислить степени матриц A и Bот первой до k − 1-й включительно, найти следы полученных матриц и характеристические полиномы матриц A и B, а затем для вычисления следовматриц Ap , B p при p = k, k + 1, .

. . , k 2 − k − 1 воспользоваться теоремойГамильтона — Кэли и свойствами следа матрицы из леммы 3.2.4.1. АлгоритмПусть имеются две квадратные матрицы Ak×k и Bk×k . Требуется найти всезначения λ такие, что матрица A + λB имеет кратные собственные числа.1. Вычисляем степени матриц A и B: Ap , B p , (p = 1, 2, 3, . . . , k 2 − k − 1).2.

Находим следы матриц Ap B q p, q ∈ {0, 1, 2, . . ., k 2 − k}, p + q ≤ k 2 − k.3. По формуле (2.23) находим суммы Ньютона sp характеристическогополинома матрицы D = A + λB (p = 1, 2, . . . , k 2 − k).4. По формуле (2.20) находим суммы Ньютона S2p = Sp D2p характеристического полинома матрицы CD (p = 1, 2, . . . , (k 2 − k)/2).5. Находим корни полинома (2.21).Найденные корни и являются требуемыми значениями λ.Замечание 23.

Характеристики

Тип файла
PDF-файл
Размер
1,69 Mb
Высшее учебное заведение

Список файлов диссертации

Применение алгебраических методов для анализа сложных систем
Свежие статьи
Популярно сейчас
Зачем заказывать выполнение своего задания, если оно уже было выполнено много много раз? Его можно просто купить или даже скачать бесплатно на СтудИзбе. Найдите нужный учебный материал у нас!
Ответы на популярные вопросы
Да! Наши авторы собирают и выкладывают те работы, которые сдаются в Вашем учебном заведении ежегодно и уже проверены преподавателями.
Да! У нас любой человек может выложить любую учебную работу и зарабатывать на её продажах! Но каждый учебный материал публикуется только после тщательной проверки администрацией.
Вернём деньги! А если быть более точными, то автору даётся немного времени на исправление, а если не исправит или выйдет время, то вернём деньги в полном объёме!
Да! На равне с готовыми студенческими работами у нас продаются услуги. Цены на услуги видны сразу, то есть Вам нужно только указать параметры и сразу можно оплачивать.
Отзывы студентов
Ставлю 10/10
Все нравится, очень удобный сайт, помогает в учебе. Кроме этого, можно заработать самому, выставляя готовые учебные материалы на продажу здесь. Рейтинги и отзывы на преподавателей очень помогают сориентироваться в начале нового семестра. Спасибо за такую функцию. Ставлю максимальную оценку.
Лучшая платформа для успешной сдачи сессии
Познакомился со СтудИзбой благодаря своему другу, очень нравится интерфейс, количество доступных файлов, цена, в общем, все прекрасно. Даже сам продаю какие-то свои работы.
Студизба ван лав ❤
Очень офигенный сайт для студентов. Много полезных учебных материалов. Пользуюсь студизбой с октября 2021 года. Серьёзных нареканий нет. Хотелось бы, что бы ввели подписочную модель и сделали материалы дешевле 300 рублей в рамках подписки бесплатными.
Отличный сайт
Лично меня всё устраивает - и покупка, и продажа; и цены, и возможность предпросмотра куска файла, и обилие бесплатных файлов (в подборках по авторам, читай, ВУЗам и факультетам). Есть определённые баги, но всё решаемо, да и администраторы реагируют в течение суток.
Маленький отзыв о большом помощнике!
Студизба спасает в те моменты, когда сроки горят, а работ накопилось достаточно. Довольно удобный сайт с простой навигацией и огромным количеством материалов.
Студ. Изба как крупнейший сборник работ для студентов
Тут дофига бывает всего полезного. Печально, что бывают предметы по которым даже одного бесплатного решения нет, но это скорее вопрос к студентам. В остальном всё здорово.
Спасательный островок
Если уже не успеваешь разобраться или застрял на каком-то задание поможет тебе быстро и недорого решить твою проблему.
Всё и так отлично
Всё очень удобно. Особенно круто, что есть система бонусов и можно выводить остатки денег. Очень много качественных бесплатных файлов.
Отзыв о системе "Студизба"
Отличная платформа для распространения работ, востребованных студентами. Хорошо налаженная и качественная работа сайта, огромная база заданий и аудитория.
Отличный помощник
Отличный сайт с кучей полезных файлов, позволяющий найти много методичек / учебников / отзывов о вузах и преподователях.
Отлично помогает студентам в любой момент для решения трудных и незамедлительных задач
Хотелось бы больше конкретной информации о преподавателях. А так в принципе хороший сайт, всегда им пользуюсь и ни разу не было желания прекратить. Хороший сайт для помощи студентам, удобный и приятный интерфейс. Из недостатков можно выделить только отсутствия небольшого количества файлов.
Спасибо за шикарный сайт
Великолепный сайт на котором студент за не большие деньги может найти помощь с дз, проектами курсовыми, лабораторными, а также узнать отзывы на преподавателей и бесплатно скачать пособия.
Популярные преподаватели
Добавляйте материалы
и зарабатывайте!
Продажи идут автоматически
6314
Авторов
на СтудИзбе
312
Средний доход
с одного платного файла
Обучение Подробнее