Диссертация (1145311), страница 18
Текст из файла (страница 18)
. + αk0 ,l−1 Vl−1 + αk0 l Vl .Рассмотрим следующие подсистемы системы уравнений (2.18).134Для 1 ≤ i ≤ k 0 − 1 i-я подсистема состоит из k 0 − i уравнений и содержит переменные α1,l−i , α2,l−i+1 , . . . , αi+1,l . Таким образом, ф.с.р. i-й подсистемысодержит 2i + 2 + n − k − l векторов.Кроме того, k 0 (l − k 0 + 1)/2 переменныеα11 , α12 , . .
. , α1,l−k0 , α21 , . . . , α2,l−k0 +1 , . . . , αk0 1 , αk0 2 , . . . , αk0 ,l−1могут принимать произвольные значения.Складывая все числа линейно независимых решений, получаем следующую формулу:k+l−n−2X(2p + 2 + n − k − l) +p=b k+l−nc2k+l−n=2 k+l−n−1(l + n − k) + l(n − l + 1) =2k+l−n− 1 + n(k + l) − C2k − C2l − C2n+1 .2Эта формула эквивалентна формуле (2.13).Случай 11. l < k ≤ n, n ≥ k + l.
Доказательство теоремы в этом случаеаналогично доказательству в случае 5.Тем самым, теорма 47 доказана.Следствие 12. Если k = l, клетки Жордана имеют порядки2k − 1, 2k − 3, . . . , 3, 1.Таким образом, каждой клетке Жордана матрицы A порядка k соответствует последовательность клеток Жордана матрицы CA порядков 2k − 1, 2k −3, . . . , 1 (эта последовательность соответствует собственному числу 0).Следствие 13.
Если k 6= l, имеем клетки Жордана порядковl + k − 1, l + k − 3, . . . , l − k + 3, l − k + 1,причем имеется две клетки Жордана каждого порядка.135Замечание 17. Полученный результат является следствием теоремы Рота [154] для двух квадратных матриц An×n и Bm×m :Теорема 48. Пусть элементарные делители матриц A−λEn×n и B −λEm×mравны соответственно(λi − λ)mi (i = 1, 2, . . . , r) и (µj − λ)nj (j = 1, 2, .
. . , s)и µij = min(mi , nj ), тогда элементарные делители матрицыρA ⊗ En×n − σEm×m ⊗ B − λEmn×mn (ρ 6= 0, σ 6= 0)равны(ρλi + σµj − λ)mi +nj −2k+1 ,где(k = 1, 2, . . . , µij ; i = 1, 2, . . . , r; j = 1, 2, . . . , s).Далее будем рассматривать произвольную матрицу A. Следующая теоремаотвечает на вопрос о максимальном порядке клетки Жордана матрицы A.Теорема 49. Порядок максимальной клетки Жордана матрицы A равен nmax =(s + 1)/2, где s — порядок максимальной клетки Жордана CA , соответствующей собственному числу 0 матрицы.Доказательство. Пусть максимальный порядок клетки Жордана матрицы A равен p. Из рассмотрения структуры матрицы CAn J сразу следует, что уматрицы CA нет клеток Жордана, отвечающих собственному числу 0, порядкабольше, чем 2p − 1.
Отсюда получаем утверждение теоремы.Следствие 3. Матрица A диагонализируема тогда и только тогда, когдаnmax = 1.1362.3.3. Собственные числа, которым соответствуют максимальныеклетки ЖорданаСледующая теорема дает алгоритм построения полинома с корнями — собственными числами матрицы A, которым принадлежат клетки Жордана максимального порядка.По теореме 43, для каждого собственного числа λ матрицы A существуетматрица D ранга 1 такая, что AD = DAT , столбцы и транспонированные строки которой являются собственными векторами матрицы A, соответствующимиданному собственному числу. Для каждого собственного числа λ имеется ровно u2 матриц ранга 1 такого вида (u — геометрическая кратность собственногочисла λ).Пусть матрица C имеет t собственных векторов, соответствующих собственному числу 0 и принадлежащих максимальной по длине цепочке Жордана.
Обозначим эти векторы через C1 , C2 , . . . , Ct . Составим из них матрицуC = (C1 , C2 , . . . , Ct ).Теорема 50. Собственные числа матрицы A, которым отвечают клеткиЖордана максимального порядка nmax , являются корнями уравненияdet(CT (A ⊗ E)C − λCT C) = 0.(2.19)Доказательство. Пусть λ — какое-либо собственное число матрицы Aкратности nmax .Поскольку матрица D, столбцы и транспонированные строки которой естьсобственные векторы матрицы A, соответствующие собственному числу λ, удовлетворяет уравнению AX = XAT , то она является линейной комбинацией tматриц, составленных из координат собственных векторов C1 , C2 , .
. . , Ct . Иначеговоря, для собственного числа λ существует матрица D, отвечающая векторуα1 C1 + α2 C2 + . . . + αt Ct137такая, что AD = DAT .Обозначим через A вектор (α1 , α2 , . . . , αt )T .Перепишем это уравнение иначе, записав матрицу D как вектор:(A ⊗ E)CA = λCA.Домножим обе части полученного уравнения слева на CT :(CT (A ⊗ E)C − λCT C)A = O,и данное уравнение имеет ненулевое решение A. Это возможно тогда и толькотогда, когдаdet(CT (A ⊗ E)C − λCT C) = 0,т. е. λ — корень уравнения (2.19).Так как rankC = t, то других корней у данного уравнения нет.Замечание 18. По формуле 2.9, имеемdet(CT (A ⊗ E)C − λCT C) = det(CT (E ⊗ A)C − λCT C).2.3.4.
ПримерПример 7. Найдем порядок максимальной клетки Жордана и собственныечисла, которым соответствуют клетки Жордана максимального порядка,для матрицы0 −1 3 −1 1 0 −3 5 −1 0 10 −3 3 1 0 01.A= 0 0 0 3 2 −3 0 0 0 4 10 −12 0 0 0 3 6 −7138Построим матрицу CA =2066 3666 3666 0666 0666 0666 −3666 0666 066 0666 06666 066 −3666 0666 0666 0666 0666 0=666 0666 0666 066 0666 0666 0666 0666 0666 0666 0666 0666 0666 0666 0666 066 0666 040−31 −1−610−3 −2000 30 0000 −1−10 03 00000 −1 00000 10 000000 00000000000 −10000 01 000000 000000000707770777077707770777077707770770777077707770777077707770777077717770777077707770770777−3 77707770777077707770777−12 77707770777−1 77377712 750 300000 −1000 00 100000 00000000000 −43 00 0300000 −100 00 010000 00000000000 −4 −11 12 00 00300000 −10 00 001000 00000000000 −30 000300000 −1 00 000100 00000000000000 6 −3 1 −100 −100000 00 000010 000000000−30000 30 −10000 00 000001 0000000000 −3−2−66 00 10 −100 −130000 3 −3 4000 −1000 00 000000 10000000000 −300 00 02 −23000 −100 00 000000 010000000000−30 00 0 −4 −5 120000 −10 00 000000 0010000000000 −3 00 0 −3 −6 1200000 −1 00 000000 00010000000000 30 00002 −31 −100 00 000000 000010000−30000 03 00003 −410 −10 00 000000 0000010000 −3000 00 30003 −3000 −1 00 000000 00000010000 −300 00 0300000 −2 −23 00 000000 000000010000−30 00 0030000 −4 −9 12 00 000000 0000000010000 −3 00 0003000 −3 −68 00 000000 00000000000000 00 0000000000 4 −3 1 −10020 0000−3000000000 00 0000000000 3 −2 10 −1002 00000−300000000 00 0000000000 3 −3 200 −100 200000−3000 −200000 00 0000000000 00 0300 0200000−3000000 00 0000000000 00 0 −4 −7 1200 00200000−300000 00 0000000000 00 0 −3 −6 1000 00020000000000 00 0000000000 40 0000 11 −3 1 −100 −12000000000 00 0000000000 04 000030 −1200000000 00 0000000000 00 40003 −3 9000 −12007 −23000 −1200 120005 10 −100 −100000 00 0000000000 00 040000 000000 00 0000000000 00 004000 0 −400000 00 0000000000 00 000400 0 −3 −6 1700000 00 0000000000 30 000060 00000 −1200000−6−31−10−100000 00 0000000000 03 000006 00003 −121000000 00 0000000000 00 300000 60003−3−80000000 00 0000000000 00 030000 0600000 −10−200000 00 0000000000 00 003000 0060000−4 −1700000 00 0000000000 00 000300 0006000−3−60Единственный собственный вектор матрицы CA , соответствующий собственному числу 0 и принадлежащий самой длинной цепочке Жордана (длины 5),имеет видCT1 = (49, 70, 63, 0, 0, 0, 70, 100, 90, 0, 0, 0, 63, 90, 81, 0, .
. . , 0 ).| {z }21 нульИз уравнения (2.19)находим собственное число максимальной геометрической кратности матрицы A (в нашем случае она равна трем):105 800λ − 211 600 = 0,откуда λ = 2.Проверка. Форма Жордана матрицы A содержит для собственного числа139λ = 2 три клетки: одну третьего порядка и две первого порядка и для собственного числа λ = 1 одну клетку первого порядка.2.4.
Кратные собственные числа матрицыПусть даны две квадратные (k × k) матрицы A и B с комплексными элементами. Требуется найти все значения λ, при которых матрица D(λ) = A+λBимеет кратные собственные числа.Замечание 19. В дальнейшем будем предполагать, что матрицы A и B неимеют общих собственных чисел. Найти общие собственные числа двух матриц можно с помощью алгоритма, предложенного в разделе 2.2.Обозначим через sp и Sp (p = 0, 1, 2, .
. .) суммы Ньютона характеристических полиномов матриц D и CD соответственно. Справедлива следующая теорема, показывающая связь между суммами Ньютона sp и Sp (напомним, чтоpsp = Sp Dp , Sp = Sp CD):pТеорема 51. След матрицы CDнаходится по формулам:S2p = 2ks2p − 2C12p s2p−1 s1 + 2C2p s2p−2 s2 − . .
. + (−1)P Cp2p s2p ,S2p−1 = 0.Здесь Cpn =(2.20)n!, p = 0, 1, 2, . . ..p!(n − p)!Доказательство. Воспользуемся формулой (2.3), получим:pCD= Dp ⊗ E − C1p Dp−1 ⊗ D + C2p Dp−2 ⊗ D2 − . . . + (−1)p E ⊗ Dp .Учитывая свойства следа кронекеровского произведения матриц [104], сразу получаем требуемое.140Теорема 52. Матрица D имеет кратные собственные числа тогда и толькотогда, когдаS220S4S24...Sk2 −k Sk2 −k−2 Sk2 −k−4... 0 ... 0 . . . S2 = 0.(2.21)(k 2 −k)/2×(k 2 −k)/2Доказательство.
По формуле (1.12) выразим коэффициент ak2 −k при µkхарактеристического полинома матрицы CD2det(CD − µEk2 ×k2 ) = a0 µk + a1 µk2−1+ a2 µ kpчерез его суммы Ньютона Sp = Sp CD: 0100 S2020 0S2031ak2 −k = 2(k −k)! . . . 0Sk2 −k−20Sk2 −k−40Sk2 −k−20 Sk2 −k2−2+ . . . + ak 2... 0... 0... 0... 0. . . S2000.2k −k+1 0По теореме Лапласа [38], разложим данный определитель, выбрав все столбцыс четными номерами:ak2 −k100 S2301= 2 S4S25(k − k)! ... Sk2 −k−2 Sk2 −k−4 Sk2 −k−6 S220... S4S24...× ...
Sk2 −k Sk2 −k−2 Sk2 −k−4 . . ..........00×02k −k−1 ...0 0 =S2 1411= 2(k − k)!! S220S4S24...Sk2 −k Sk2 −k−2 Sk2 −k−4... 0 ... 0 ,. . . S2 где (k 2 − k)!! обозначает произведение всех четных натуральных чисел от 1 доk 2 − k включительно. Из последнего равенства сразу следует утверждение теоремы.Следующие формулы, аналогичные формулам Ньютона, позволяют найтиAk2 −k , не вычисляя определителей:Следствие 14.A2 = −S2 ; A4 = −(S4 + A2 S2 )/2 ;A2p = −(S2p + A2 S2p−2 + A4 S2p−4 + . . .
+ A2p−2 S2 )/2p ,если p ≤ (k 2 − k)/2 .(2.22)Теоремы 40, 51 и 52 дают возможность построить алгоритм нахождениязначений λ, для которых матрица D = A + λB имеет кратные собственные числа. Требуется найти следы степеней данной матрицы. Для этого воспользуемсясвойствами следа матрицы [7]:Лемма 3. Sp (AB) = Sp (BA), Sp (A + B) = Sp A + Sp B.Имеем следующее равенство:sp = Sp Dp = Sp Ap + C1p (Sp Ap−1 B) + C2p Sp (Ap−2 B 2 ) + . . . + Sp B p(p = 1, 2, 3, . .
.)(2.23)Таким образом, нам необходимо вычислить степени матриц A и B от первой до k 2 − k-й включительно.142Замечание 20. Последнюю операцию матричного умножения при вычислении следа можно не выполнять, достаточно вычислить лишь элементы, стоящие на главной диагонали произведения.Замечание 21. Вычисление степени матрицы — задача довольно трудоемкая. Для матриц большого порядка наиболее быстро можно это сделать спомощью метода Штрассена [164].Замечание 22. При больших k удобнее вычислить степени матриц A и Bот первой до k − 1-й включительно, найти следы полученных матриц и характеристические полиномы матриц A и B, а затем для вычисления следовматриц Ap , B p при p = k, k + 1, .
. . , k 2 − k − 1 воспользоваться теоремойГамильтона — Кэли и свойствами следа матрицы из леммы 3.2.4.1. АлгоритмПусть имеются две квадратные матрицы Ak×k и Bk×k . Требуется найти всезначения λ такие, что матрица A + λB имеет кратные собственные числа.1. Вычисляем степени матриц A и B: Ap , B p , (p = 1, 2, 3, . . . , k 2 − k − 1).2.
Находим следы матриц Ap B q p, q ∈ {0, 1, 2, . . ., k 2 − k}, p + q ≤ k 2 − k.3. По формуле (2.23) находим суммы Ньютона sp характеристическогополинома матрицы D = A + λB (p = 1, 2, . . . , k 2 − k).4. По формуле (2.20) находим суммы Ньютона S2p = Sp D2p характеристического полинома матрицы CD (p = 1, 2, . . . , (k 2 − k)/2).5. Находим корни полинома (2.21).Найденные корни и являются требуемыми значениями λ.Замечание 23.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
