Диссертация (1145311), страница 15

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 15)

Общие собственные числа двух матрицПусть имеются две квадратные матрицы с вещественными элементамиA = [aij ]ni,j=1 и B = [bij ]mi,j=1 . В диссертации предлагается алгоритм построения полинома [14], корнями которого являются все общие собственные числаэтих матриц.2.2.1. Предварительные результатыПриведем здесь результаты, на которых основан рассматриваемый алгоритм нахождения общих собственных чисел двух матриц [14].Лемма 2.

Если ненулевая матрица Xn×m одновременно удовлетворяет уравнениямAX = XB и AX = λX,(2.6)то ее ненулевые столбцы являются собственными векторами матрицы A, соответствующими собственному числу λ, а ненулевые строки (транспонированные) — собственными векторами матрицы B T , соответствующими этому же собственному числу.110Замечание 14. Матрица X может иметь нулевые строки или столбцы.Доказательство. Действительно, поскольку AX = XB, то заменим вравенстве AX = λX матрицу AX на равную ей матрицу XB. ПолучимAX = XB = λX,откуда и следует требуемое.

Лемма доказана.Пусть Xi (i = 1, 2, . . . , p) — векторы, образующие базис собственного пространства матрицы A, соответствующего собственному числу λ, Yj (j = 1, 2, . . . , q)— векторы, образующие базис собственного пространства матрицы B T , соответствующего этому же собственному числу, s = pq.Следствие 9. Любая ненулевая матрица Xn×m , являющаяся решением системы уравнений (2.6) для данного λ, имеет видX = γ1 X1 + γ2 X2 + . . . + γs Xs ,(2.7)где Xk = Xi YjT , γ1 , .

. . , γs — некоторые вещественные числаДоказательство. Представление любого решения системы уравнений (2.6)в виде (2.7) получается разложением собственных векторов матриц A и B T , соответствующих данному собственному числу λ, по базисам, состоящим из собственных векторов этих матриц.Каждый столбец X (j) матрицы X представим в виде линейной комбинацииp линейно независимых собственных векторов матрицы A, соответствующихсобственному числу λ:X (j) = α1j X1 + α2j X2 + . . . + αpj Xp ,j = 1, 2, . . . , m.111Тогда матрицу X можно представить в видеα α . .

. α1m 11 12 α21 α22 . . . α2mX = (X1 , X2 , . . . , Xp )A, где A =  ...αp1 αp2 . . . αpm.Поскольку AX = λX = XB, то получаем, что(X1 , X2 , . . . , Xp )(λA − AB) = On×m ,где On×m — нулевая матрица размерности n × m.Так как векторы X1 , X2 , . . . , Xp линейно независимы, отсюда следует, чтоλA = AB,т. е. транспонированные строки матрицы A являются собственными векторамиматрицы B T . Раскладывая их по базису Y1T , . . .

, YqT , получаем новое выражениедля X:Y1T T  Y2 ,X = (X1 , . . . , Xp )B  ... TYqгде элементы матрицы B = [bkj ] (k = 1, 2, . . . , p, j = 1, 2, . . . , q) — коэффициенты разложения:(αk1 , αk2 , . . . , αkm ) = bk1 Y1T + bk2 Y2T + . . .

+ bkq YqT .Теперь представим матрицу B в виде суммы матриц bkj Ikj , где Ikj — матрица размерности p × q, у которой элемент, стоящий в k-й строке j-м столбцеравен 1, а все остальные элементы нулевые.Таким образом, требуемое разложение получено.В том, что любая матрица вида (2.7) является решением системы уравнений (2.6), легко убедиться подстановкой матрицы в систему уравнений. Тем112самым утверждение доказано.Теорема 43.

Для каждого общего собственного числа λ матриц A и B существует матрица D ранга 1 такая, что AD = DB, столбцы которой являются собственными векторами матрицы A, соответствующими собственномучислу λ, а строки (транспонированные) — собственными векторами матрицы B T , соответствующими тому же собственному числу.Доказательство. Пусть X — собственный вектор матрицы A, соответствующий собственному числу λ.

Пусть Y — собственный вектор матрицы B T ,соответствующий собственному числу λ. Рассмотрим матрицу D = XY T . Дляэтой матрицы имеемAD = AXY T = λXY T = λD, DB = XY T B = XλY T = λXY T = λD.Теорема доказана.Следствие 10. Для каждого общего собственного числа двух матриц λ имеется ровно s линейно независимых матриц ранга 1 рассмотренного вида (см. следствие 9).Доказательство. Рассмотрим s матриц Xk (k = 1, 2, . . . , s). Все они удовлетворяют условию теоремы 5. Докажем, что эти матрицы линейно независимы.Предположим, что какая-то линейная комбинация этих матриц равна нулю:β11 X1 Y1T + β12 X1 Y2T + . . . + βpq Xp YqT = On×m .113Перепишем левую часть равенства, сгруппировав слагаемые с X1 , X2 , .

. . , Xp :X1 (β11 Y1T + β12 Y2T + . . . + β1q YqT )++X2 (β21 Y1T + β22 Y2T + . . . + β2q YqT )++...++Xp (βp1 Y1T + βp2 Y2T + . . . + βpq YqT ) = On×m .Поскольку векторы X1 , . . . , Xp линейно независимы, то каждый из векторов,записанных в скобках, равен нулю. Отсюда, вследствие линейной независимости векторов Y1 , . . . , Yq , получаем равенство нулю всех коэффициентов βjk(j = 1, 2, . . . , p; k = 1, 2, .

. . , q). Тем самым утверждение доказано.Пусть матрица CAB имеет l линейно независимых собственных векторов, соответствующих собственному числу 0. Обозначим эти векторы через C1 , C2 , . . . , Cl .Составим из них матрицу Cmn×l = (C1 , C2 , . . . , Cl ).Теорема 44. Общие собственные числа матриц A и B являются корнямиполиномаdet X(λ) = det(CT (A ⊗ Em×m )C − λCT C) = 0.(2.8)Доказательство. Поскольку матрица D, столбцы которой являются собственными векторами матрицы A, соответствующими собственному числу λ, астроки (транспонированные) — собственными векторами матрицы B T , соответствующими λ, удовлетворяет уравнению AX = XB, то она является линейнойкомбинацией l матриц, составленных из координат векторов C1 , C2 , .

. . , Cl . Иначе говоря, для каждого общего собственного числа λ существует матрица D,соответствующая векторуα1 C1 + α2 C2 + . . . + αl Cl ,114такая, что AD = λD. Перепишем это уравнение иначе, записав матрицу D каквектор:(A ⊗ Em×m )C α1α2...αl = λC α1α2...αl.Каждое решение данной системы уравнений является решением системылинейных уравнений(CT (A ⊗ Em×m )C − λCT C) α1α2...αl = Ol×l ,где Ol×l — нулевая матрица порядка l.Других решений эта система не имеет, поскольку общих собственных чиселу матриц A и B больше, чем l, быть не может (ранг матрицы C равен l).

Длятого чтобы данная система имела ненулевое решение, необходимо и достаточно,чтобы определитель ее матрицы был равен нулю, откуда и получаем утверждение теоремы.Следствие 11. Кратность каждого корня полинома det(X(λ)) равнаPdij ,где dij — наименьший из показателей степеней, в которых линейный множитель, соответствующий данному корню, входит в разложение инвариантных множителей EiA (λ) матрицы A − λE и EjB (λ) матрицы B − λE.Доказательство. Утверждение следует из теоремы 42 и того факта, чтокорни каждого инвариантного множителя матрицы A − λE являются собственными числами матрицы A (аналогично для матрицы B).

Последнее следуетиз того, что все наибольшие общие делители миноров матрицы A − λE имеют115корнями собственные числа матрицы A (характеристический полином матрицы A, являющийся наибольшим общим делителем миноров порядка n матрицыA − λE, делится на наибольший общий делитель миноров произвольного порядка этой матрицы).Замечание 15. Мы находили уравнение для общих собственных чисел матриц A и B, используя матрицу A.

Можно составить аналогичное уравнениеи с помощью матрицы B. Оно будет иметь видdet X(λ) = det(CT (En×n ⊗ B)C − λCT C) = 0.Однако это уравнение в точности совпадает с уравнением (2.8). Действительно, C = A ⊗ Em×m − En×n ⊗ B, а матрица C удовлетворяет условиюCC = Omn×l (по столбцам матрицы C стоят собственные векторы матрицыC, соответствующие собственному числу 0). Отсюда сразу следует, чтоCT (En×n ⊗ B)C = CT (A ⊗ Em×m )C.(2.9)2.2.2.

АлгоритмПриведем теперь алгоритм построения многочлена, корнями которого являются общие собственные числа двух данных матриц An×n и Bm×m , не требующий вычисления коэффициентов их характеристических полиномов.1. Строим матрицуCAB = A ⊗ Em×m − En×n ⊗ Bи вычисляем ее определитель. Если det CAB 6= 0, то матрицы одинаковых собственных чисел не имеют.2. Находим собственные векторы матрицы CAB , соответствующие собственному числу 0: C1 , C2 , . . . , Cl , составляем матрицуC = (C1 , C2 , . .

. , Cl )116.3. Находим требуемый полином:det X(λ) = det(CT (A ⊗ Em×m )C − λCT C).Корни данного полинома относительно λ можно найти любым численнымметодом.Замечание 16. Этот алгоритм применим также и в случае матриц A иB с комплексными элементами. Единственное отличие состоит в том, чтоуравнение для нахождения общих собственных чисел матриц A и B будетиметь следующий вид:TTdet(C (A ⊗ Em×m )C − λC C) = 0,где черта сверху означает комплексное сопряжение.2.2.3. ПримерПример 6. Найдем общие собственные числа матриц010010 1 −1 0 0 1 0 0 −1 2 −1A= 0 0 0 1 0 иB= −1 1 1 −1 4 −6 4 0 −1 1 00 0 0 0 211.01117Построим матрицу CAB = A ⊗ E4×4 − E5×5 ⊗ B и найдем ее определитель: 0 −1 1 −1 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 1 −2 1 −1 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 1 −1 −1 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 1 −1 0 −1 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 −1 1 −1 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 −2 1 −1 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 −1 −1 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 −1 0 −1 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 −1 1 −1 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 −2 1 −1 0 1 0 0 0 0 0 0 |C| = = 0.

Характеристики

Список файлов диссертации