Главная » Просмотр файлов » Диссертация

Диссертация (1145311), страница 15

Файл №1145311 Диссертация (Применение алгебраических методов для анализа сложных систем) 15 страницаДиссертация (1145311) страница 152019-06-29СтудИзба
Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 15)

Общие собственные числа двух матрицПусть имеются две квадратные матрицы с вещественными элементамиA = [aij ]ni,j=1 и B = [bij ]mi,j=1 . В диссертации предлагается алгоритм построения полинома [14], корнями которого являются все общие собственные числаэтих матриц.2.2.1. Предварительные результатыПриведем здесь результаты, на которых основан рассматриваемый алгоритм нахождения общих собственных чисел двух матриц [14].Лемма 2.

Если ненулевая матрица Xn×m одновременно удовлетворяет уравнениямAX = XB и AX = λX,(2.6)то ее ненулевые столбцы являются собственными векторами матрицы A, соответствующими собственному числу λ, а ненулевые строки (транспонированные) — собственными векторами матрицы B T , соответствующими этому же собственному числу.110Замечание 14. Матрица X может иметь нулевые строки или столбцы.Доказательство. Действительно, поскольку AX = XB, то заменим вравенстве AX = λX матрицу AX на равную ей матрицу XB. ПолучимAX = XB = λX,откуда и следует требуемое.

Лемма доказана.Пусть Xi (i = 1, 2, . . . , p) — векторы, образующие базис собственного пространства матрицы A, соответствующего собственному числу λ, Yj (j = 1, 2, . . . , q)— векторы, образующие базис собственного пространства матрицы B T , соответствующего этому же собственному числу, s = pq.Следствие 9. Любая ненулевая матрица Xn×m , являющаяся решением системы уравнений (2.6) для данного λ, имеет видX = γ1 X1 + γ2 X2 + . . . + γs Xs ,(2.7)где Xk = Xi YjT , γ1 , .

. . , γs — некоторые вещественные числаДоказательство. Представление любого решения системы уравнений (2.6)в виде (2.7) получается разложением собственных векторов матриц A и B T , соответствующих данному собственному числу λ, по базисам, состоящим из собственных векторов этих матриц.Каждый столбец X (j) матрицы X представим в виде линейной комбинацииp линейно независимых собственных векторов матрицы A, соответствующихсобственному числу λ:X (j) = α1j X1 + α2j X2 + . . . + αpj Xp ,j = 1, 2, . . . , m.111Тогда матрицу X можно представить в видеα α . .

. α1m 11 12 α21 α22 . . . α2mX = (X1 , X2 , . . . , Xp )A, где A =  ...αp1 αp2 . . . αpm.Поскольку AX = λX = XB, то получаем, что(X1 , X2 , . . . , Xp )(λA − AB) = On×m ,где On×m — нулевая матрица размерности n × m.Так как векторы X1 , X2 , . . . , Xp линейно независимы, отсюда следует, чтоλA = AB,т. е. транспонированные строки матрицы A являются собственными векторамиматрицы B T . Раскладывая их по базису Y1T , . . .

, YqT , получаем новое выражениедля X:Y1T T  Y2 ,X = (X1 , . . . , Xp )B  ... TYqгде элементы матрицы B = [bkj ] (k = 1, 2, . . . , p, j = 1, 2, . . . , q) — коэффициенты разложения:(αk1 , αk2 , . . . , αkm ) = bk1 Y1T + bk2 Y2T + . . .

+ bkq YqT .Теперь представим матрицу B в виде суммы матриц bkj Ikj , где Ikj — матрица размерности p × q, у которой элемент, стоящий в k-й строке j-м столбцеравен 1, а все остальные элементы нулевые.Таким образом, требуемое разложение получено.В том, что любая матрица вида (2.7) является решением системы уравнений (2.6), легко убедиться подстановкой матрицы в систему уравнений. Тем112самым утверждение доказано.Теорема 43.

Для каждого общего собственного числа λ матриц A и B существует матрица D ранга 1 такая, что AD = DB, столбцы которой являются собственными векторами матрицы A, соответствующими собственномучислу λ, а строки (транспонированные) — собственными векторами матрицы B T , соответствующими тому же собственному числу.Доказательство. Пусть X — собственный вектор матрицы A, соответствующий собственному числу λ.

Пусть Y — собственный вектор матрицы B T ,соответствующий собственному числу λ. Рассмотрим матрицу D = XY T . Дляэтой матрицы имеемAD = AXY T = λXY T = λD, DB = XY T B = XλY T = λXY T = λD.Теорема доказана.Следствие 10. Для каждого общего собственного числа двух матриц λ имеется ровно s линейно независимых матриц ранга 1 рассмотренного вида (см. следствие 9).Доказательство. Рассмотрим s матриц Xk (k = 1, 2, . . . , s). Все они удовлетворяют условию теоремы 5. Докажем, что эти матрицы линейно независимы.Предположим, что какая-то линейная комбинация этих матриц равна нулю:β11 X1 Y1T + β12 X1 Y2T + . . . + βpq Xp YqT = On×m .113Перепишем левую часть равенства, сгруппировав слагаемые с X1 , X2 , .

. . , Xp :X1 (β11 Y1T + β12 Y2T + . . . + β1q YqT )++X2 (β21 Y1T + β22 Y2T + . . . + β2q YqT )++...++Xp (βp1 Y1T + βp2 Y2T + . . . + βpq YqT ) = On×m .Поскольку векторы X1 , . . . , Xp линейно независимы, то каждый из векторов,записанных в скобках, равен нулю. Отсюда, вследствие линейной независимости векторов Y1 , . . . , Yq , получаем равенство нулю всех коэффициентов βjk(j = 1, 2, . . . , p; k = 1, 2, .

. . , q). Тем самым утверждение доказано.Пусть матрица CAB имеет l линейно независимых собственных векторов, соответствующих собственному числу 0. Обозначим эти векторы через C1 , C2 , . . . , Cl .Составим из них матрицу Cmn×l = (C1 , C2 , . . . , Cl ).Теорема 44. Общие собственные числа матриц A и B являются корнямиполиномаdet X(λ) = det(CT (A ⊗ Em×m )C − λCT C) = 0.(2.8)Доказательство. Поскольку матрица D, столбцы которой являются собственными векторами матрицы A, соответствующими собственному числу λ, астроки (транспонированные) — собственными векторами матрицы B T , соответствующими λ, удовлетворяет уравнению AX = XB, то она является линейнойкомбинацией l матриц, составленных из координат векторов C1 , C2 , .

. . , Cl . Иначе говоря, для каждого общего собственного числа λ существует матрица D,соответствующая векторуα1 C1 + α2 C2 + . . . + αl Cl ,114такая, что AD = λD. Перепишем это уравнение иначе, записав матрицу D каквектор:(A ⊗ Em×m )C α1α2...αl = λC α1α2...αl.Каждое решение данной системы уравнений является решением системылинейных уравнений(CT (A ⊗ Em×m )C − λCT C) α1α2...αl = Ol×l ,где Ol×l — нулевая матрица порядка l.Других решений эта система не имеет, поскольку общих собственных чиселу матриц A и B больше, чем l, быть не может (ранг матрицы C равен l).

Длятого чтобы данная система имела ненулевое решение, необходимо и достаточно,чтобы определитель ее матрицы был равен нулю, откуда и получаем утверждение теоремы.Следствие 11. Кратность каждого корня полинома det(X(λ)) равнаPdij ,где dij — наименьший из показателей степеней, в которых линейный множитель, соответствующий данному корню, входит в разложение инвариантных множителей EiA (λ) матрицы A − λE и EjB (λ) матрицы B − λE.Доказательство. Утверждение следует из теоремы 42 и того факта, чтокорни каждого инвариантного множителя матрицы A − λE являются собственными числами матрицы A (аналогично для матрицы B).

Последнее следуетиз того, что все наибольшие общие делители миноров матрицы A − λE имеют115корнями собственные числа матрицы A (характеристический полином матрицы A, являющийся наибольшим общим делителем миноров порядка n матрицыA − λE, делится на наибольший общий делитель миноров произвольного порядка этой матрицы).Замечание 15. Мы находили уравнение для общих собственных чисел матриц A и B, используя матрицу A.

Можно составить аналогичное уравнениеи с помощью матрицы B. Оно будет иметь видdet X(λ) = det(CT (En×n ⊗ B)C − λCT C) = 0.Однако это уравнение в точности совпадает с уравнением (2.8). Действительно, C = A ⊗ Em×m − En×n ⊗ B, а матрица C удовлетворяет условиюCC = Omn×l (по столбцам матрицы C стоят собственные векторы матрицыC, соответствующие собственному числу 0). Отсюда сразу следует, чтоCT (En×n ⊗ B)C = CT (A ⊗ Em×m )C.(2.9)2.2.2.

АлгоритмПриведем теперь алгоритм построения многочлена, корнями которого являются общие собственные числа двух данных матриц An×n и Bm×m , не требующий вычисления коэффициентов их характеристических полиномов.1. Строим матрицуCAB = A ⊗ Em×m − En×n ⊗ Bи вычисляем ее определитель. Если det CAB 6= 0, то матрицы одинаковых собственных чисел не имеют.2. Находим собственные векторы матрицы CAB , соответствующие собственному числу 0: C1 , C2 , . . . , Cl , составляем матрицуC = (C1 , C2 , . .

. , Cl )116.3. Находим требуемый полином:det X(λ) = det(CT (A ⊗ Em×m )C − λCT C).Корни данного полинома относительно λ можно найти любым численнымметодом.Замечание 16. Этот алгоритм применим также и в случае матриц A иB с комплексными элементами. Единственное отличие состоит в том, чтоуравнение для нахождения общих собственных чисел матриц A и B будетиметь следующий вид:TTdet(C (A ⊗ Em×m )C − λC C) = 0,где черта сверху означает комплексное сопряжение.2.2.3. ПримерПример 6. Найдем общие собственные числа матриц010010 1 −1 0 0 1 0 0 −1 2 −1A= 0 0 0 1 0 иB= −1 1 1 −1 4 −6 4 0 −1 1 00 0 0 0 211.01117Построим матрицу CAB = A ⊗ E4×4 − E5×5 ⊗ B и найдем ее определитель: 0 −1 1 −1 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 1 −2 1 −1 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 1 −1 −1 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 1 −1 0 −1 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 −1 1 −1 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 −2 1 −1 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 −1 −1 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 −1 0 −1 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 −1 1 −1 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 −2 1 −1 0 1 0 0 0 0 0 0 |C| = = 0.

Характеристики

Тип файла
PDF-файл
Размер
1,69 Mb
Высшее учебное заведение

Список файлов диссертации

Применение алгебраических методов для анализа сложных систем
Свежие статьи
Популярно сейчас
Почему делать на заказ в разы дороже, чем купить готовую учебную работу на СтудИзбе? Наши учебные работы продаются каждый год, тогда как большинство заказов выполняются с нуля. Найдите подходящий учебный материал на СтудИзбе!
Ответы на популярные вопросы
Да! Наши авторы собирают и выкладывают те работы, которые сдаются в Вашем учебном заведении ежегодно и уже проверены преподавателями.
Да! У нас любой человек может выложить любую учебную работу и зарабатывать на её продажах! Но каждый учебный материал публикуется только после тщательной проверки администрацией.
Вернём деньги! А если быть более точными, то автору даётся немного времени на исправление, а если не исправит или выйдет время, то вернём деньги в полном объёме!
Да! На равне с готовыми студенческими работами у нас продаются услуги. Цены на услуги видны сразу, то есть Вам нужно только указать параметры и сразу можно оплачивать.
Отзывы студентов
Ставлю 10/10
Все нравится, очень удобный сайт, помогает в учебе. Кроме этого, можно заработать самому, выставляя готовые учебные материалы на продажу здесь. Рейтинги и отзывы на преподавателей очень помогают сориентироваться в начале нового семестра. Спасибо за такую функцию. Ставлю максимальную оценку.
Лучшая платформа для успешной сдачи сессии
Познакомился со СтудИзбой благодаря своему другу, очень нравится интерфейс, количество доступных файлов, цена, в общем, все прекрасно. Даже сам продаю какие-то свои работы.
Студизба ван лав ❤
Очень офигенный сайт для студентов. Много полезных учебных материалов. Пользуюсь студизбой с октября 2021 года. Серьёзных нареканий нет. Хотелось бы, что бы ввели подписочную модель и сделали материалы дешевле 300 рублей в рамках подписки бесплатными.
Отличный сайт
Лично меня всё устраивает - и покупка, и продажа; и цены, и возможность предпросмотра куска файла, и обилие бесплатных файлов (в подборках по авторам, читай, ВУЗам и факультетам). Есть определённые баги, но всё решаемо, да и администраторы реагируют в течение суток.
Маленький отзыв о большом помощнике!
Студизба спасает в те моменты, когда сроки горят, а работ накопилось достаточно. Довольно удобный сайт с простой навигацией и огромным количеством материалов.
Студ. Изба как крупнейший сборник работ для студентов
Тут дофига бывает всего полезного. Печально, что бывают предметы по которым даже одного бесплатного решения нет, но это скорее вопрос к студентам. В остальном всё здорово.
Спасательный островок
Если уже не успеваешь разобраться или застрял на каком-то задание поможет тебе быстро и недорого решить твою проблему.
Всё и так отлично
Всё очень удобно. Особенно круто, что есть система бонусов и можно выводить остатки денег. Очень много качественных бесплатных файлов.
Отзыв о системе "Студизба"
Отличная платформа для распространения работ, востребованных студентами. Хорошо налаженная и качественная работа сайта, огромная база заданий и аудитория.
Отличный помощник
Отличный сайт с кучей полезных файлов, позволяющий найти много методичек / учебников / отзывов о вузах и преподователях.
Отлично помогает студентам в любой момент для решения трудных и незамедлительных задач
Хотелось бы больше конкретной информации о преподавателях. А так в принципе хороший сайт, всегда им пользуюсь и ни разу не было желания прекратить. Хороший сайт для помощи студентам, удобный и приятный интерфейс. Из недостатков можно выделить только отсутствия небольшого количества файлов.
Спасибо за шикарный сайт
Великолепный сайт на котором студент за не большие деньги может найти помощь с дз, проектами курсовыми, лабораторными, а также узнать отзывы на преподавателей и бесплатно скачать пособия.
Популярные преподаватели
Добавляйте материалы
и зарабатывайте!
Продажи идут автоматически
6384
Авторов
на СтудИзбе
308
Средний доход
с одного платного файла
Обучение Подробнее