Автореферат (1145310)
Текст из файла
На правах рукописиКАЛИНИНА Елизавета АлександровнаПрименение алгебраических методов дляанализа сложных систем05.13.01 – Системный анализ, управление и обработка информации(по прикладной математике и процессам управления)АВТОРЕФЕРАТдиссертации на соискание ученой степенидоктора физико-математических наукСанкт-Петербург – 2016Работа выполнена в Федеральном государственном бюдетном образовательномучреждении высшего образования “Санкт-Петербургский государственныйуниверститет”.Научныйконсультант:Утешев Алексей Юрьевич, доктор физико-математическихнаук, профессор, заведующий кафедрой высшей математики, ФГБОУ ВО “Санкт-Петербургский государственныйуниверситет”Официальныеоппоненты:Новиков Михаил Алексеевич, доктор физико-математических наук, старший научный сотрудник, ФГБУН “Институт динамики систем и теории управления им.
В.М. Матросова” СО РАН, г. ИркутскБлинков Юрий Анатольевич, доктор физико-математических наук, заведующий кафедрой математического и компьютерного моделирования, Механико-математический факультет ФГБОУ ВО “Саратовский национальный исследовательский государственный университет имени Н. Г. Чернышевского”Шичкина Юлия Александровна, доктор технических наук, профессор, ФГАОУ ВО “Санкт-Петербургский государственный электротехнический университет “ЛЭТИ” им.В.И. Ульянова (Ленина)”Ведущаяорганизация:Международная межправительственная организация Объединенный институт ядерных исследований, г. Дубна»2017 г. вчасов на заседании диссерЗащита состоится «тационного совета Д.212.232.50 на базе Санкт-Петербургского государственногоуниверситета по адресу: 198504, Санкт-Петербург, Петродворец, Университетский пр., д.
35, ауд. 327.Отзывы на автореферат в 2-х экземплярах просим направлять по адресу: 198504,Санкт-Петербург, Петродворец, Университетский пр., д. 35, ученому секретарюдиссертационного совета Д.212.232.50 Г.И. Курбатовой.С диссертацией можно ознакомиться в научной библиотеке им. М. ГорькогоСакт-Петербургского государственного университета по адресу: 199034, г. СанктПетербург, В.О., Университетская наб., 7/9. Диссертация и автореферат размещены на сайте www.spbu.ru.Автореферат разослан «»2017 г.Ученый секретарь диссертационного совета,д.ф.-м.н., профессорГ.И.
Курбатова3Общая характеристика работыАктуальность темы исследования. В последние десятилетия в наукенаблюдается интенсивное развитие теории сложных систем. Понятие сложнойсистемы используется в информатике, биологии, экономике, физике, химии имногих других областях (см. книгу H. Sayama, статьи Y. Bar-Yam, G. Chapouthier,J. M. Zayed и др.) В настоящее время более 50 институтов и исследовательскихцентров по всему миру занимаются изучением сложных систем.Основным методом исследования сложных систем является математическое моделирование, при котором процессы функционирования сложной системы формализуются, а затем строится ее математическое описание. Характеристиками такой системы являются ее структура и поведение.
Для описанияструктуры сложной системы и связей между ее элементами применяются графы, а сами эти элементы во многих случаях представляют собой динамическиесистемы.Принципиально важно изучить реакции таких систем на изменения параметров, от которых она зависит. С помощью линейного анализа устойчивостивыясняется, при каких значениях параметров однородное состояние равновесиясистемы теряет устойчивость и в системе возникают неоднородности. В диссертационной работе рассматриваются алгебраические методы, позволяющие внекоторых случаях провести данный анализ.При линейном анализе устойчивости появляется необходимость исследования спектра результирующей матрицы коэффициентов. При этом возникаетпроблема локализации нулей полинома от одной переменной или полиномиальной системы уравнений относительно нескольких переменных.Для проверки того, что все собственные числа результирующей матрицы лежат в левой полуплоскости комплексной плоскости, к ее характеристическому полиному может быть применен критерий Рауса — Гурвица.
Однаков практических задачах довольно часто требуется проверка выполнения более4сильного условия: необходимо, чтобы все корни характеристического полинома находились внутри определенной алгебраической области D комплекснойплоскости. Возникает более общая задача D-устойчивости.Решением задачи о числе корней полинома в некоторой области комплексной плоскости, известной с первой половины XIX века, занимались такие математики, как Ш.
Эрмит, И. Шур, А. Кон, B. N. Datta, J. Ackermann и R. Muench,Р. Е. Калман. Так, для того, чтобы установить, находятся ли все корни полинома внутри единичного круга комплексной плоскости, используется критерийШура — Кона (B. N. Datta обобщил критерии Рауса — Гурвица и Шура —Кона, используя матрицу безутианты). В случае областей, границами которыхявляются уникурсальные (вещественно параметризуемые) кривые, можно использовать метод Эрмита (1854). Р. Е. Калман разработал еще один критерий,позволяющий определить, все ли нули полинома лежат в некоторой алгебраической области комплексной плоскости.
Известен также метод D-разбиения,т. е. разбиения на области в пространстве параметров. Однако его применениезатруднительно при большом количестве параметров. В пространстве коэффициентов полинома границы областей, соответствующих полиномам с одинаковым числом вещественных корней, задаются дискриминантной поверхностью.При этом каждая точка дискриминантной поверхности соответствует полиномус кратными корнями.В общем случае проблема сводится к исследованию поведения нулей некоторой системы алгебраических уравнений в зависимости от параметров. Численные методы в данном случае малоэффективны, поскольку их применениевозможно только при конкретных значениях параметров (см., например, работы Д.
Уилкинсона). Возникает необходимость разработки надежных аналитических символьных алгоритмов. Такие алгоритмы существуют для одномерногослучая, и они широко реализованы в современных системах аналитических вычислений (Maple, Mathematica, MatLab и др.), позволяющих манипулироватьаналитическими выражениями и производить вычисления с вещественными5числами с мантиссой практически неограниченной длины. Большинство алгоритмов для алгебраических систем общего вида в случае бо́льших размерностейиспользуют алгоритм Б. Бухбергера построения базисов Грёбнера, однако егоприменение часто является весьма затратным. Так, объем памяти, требуемыйдля его работы, в общем случае экспоненциально зависит от числа переменных.
Кроме того, для систем общего вида не получено оценок времени работы алгоритма. Применение методов теории исключения позволяет разработатьконструктивные реализуемые на ЭВМ алгоритмы локализации нулей системыалгебраических уравнений.Поскольку построение канонического представления характеристическогополинома матрицы большого порядка само по себе достаточно сложно, то возникает необходимость исследования поведения собственных чисел матрицы безнахождения ее характеристического полинома.
Тем самым задача о локализации собственных значений матрицы является обобщением задачи локализациикорней полинома. В последнее время довольно большое внимание привлекаютзадачи, связанные с существованием кратных собственных чисел матрицы, например, при определении структуры жордановой нормальной формы матрицыв зависимости от параметров. Такие задачи встречаются в физике (в том числев квантовой механике и ядерной физике), оптике, электротехнике. Рассматриваются как малые возмущения матриц (см.
работы J. V. Burke, A. S. Lewis иM. Overton, M. Karow, D. Kressner, M. J. Peláez, и J. Moro, J. Sun), так и значения параметра, которые не являются малыми (работы E. Jarlebring, S. Kvaal,W. Michiels, А. А. Майлыбаева, A. Muhič и B. Plestenjak).Процессы, встречающиеся в различных приложениях (в химической кинетике, химической технологии, биологии), марковские процессы описываютсядифференциальными уравнениями на графах.
Тем самым при анализе сложныхсистем используются свойства графов (см. работы А. И. Вольперта, J. Maidens,D. Siegel и D. MacLean, С. Л. Подвального и В. В. Провоторова, книгу Д. Д. Шильяка и др.). Графы применяются в теории многоагентных систем (МАС),6изучение которых связано с решением практических задач в сфере сетевыхи мобильных технологий, в логистике, в графике, геоинформационных системах (см. работы N. Monshizadeh, Shuo Zhang, и M. Kanat Camlibel, K.-K. Oh,K. L. Moore и H.-S.K.
Ahn, J. Wang, Z. Liu и X. Hu) и при исследовании систем спереключениями (M. Delgado и H. Sira-Ramírez, M. Poyraz, Y. Demir, A. Gulten иM. Koksal, W. Borutzky, G. Dauphin-Tanguy, и J.U. Thoma). К исследованию графов применимы алгебраические методы. Так, известны теоремы, связывающиеспектральные свойства матрицы смежности с другими свойствами графа (см.книгу N. Biggs), неравенство Чигера, позволяющее оценить наименьший разрезграфа посредством второго собственного значения матрицы Кирхгофа, теоремы, связывающие диаметр графа и собственные числа, полученные с помощьюлинейной алгебры. Стоит отметить, что задача об изоморфизме графов можетбыть также сформулирована как линейно-алгебраическая задача.
Во многихслучаях решение задач теории графов упрощается, если известно, что граф является реберным (например, задача поиска максимального независимого множества). Поэтому разработка эффективных алгоритмов распознавания реберногографа и построения его корневого графа остается актуальной, несмотря на существование нескольких таких алгоритмов (Ph.
G. H. Lehot, N. D. Roussopoulos,D. G. Degiorgi и K. Simon, D. Liu, S. Trajanovski и P. Van Mieghem).При моделировании и симуляции биологических систем анализ может проводиться с помощью численного интегрирования систем обыкновенных дифференциальных уравнений. Во многих случаях для решения систем ОДУ, описывающих работу ионных каналов клеточных мембран, используется явный методЭйлера (см. работы C. P. Fall и J. Rinzel, T. Korhonen и P. Tavi, J. Sneyd иJ.-F. Dufour, K.H.W.J.
Ten Tusscher и др.). В режиме реального времени при одновременном проведении экспериментов каждый шаг вычислений должен бытьвыполнен за ограниченное время. При очень большом числе уравнений в каждый момент времени необходимо сделать огромное количество вычислений. Поэтому необходимы численные методы, позволяющие найти решение задачи Ко-7ши с минимальной возможной погрешностью (с учетом ошибок округления, возникающих при выполнении арифметических операций в реальной арифметикес плавающей точкой, которая используется при вычислении на компьютере),для чего уместным оказывается применение алгебраического подхода.Цель диссертационной работы заключается в разработке конструктивных алгебраических методов и алгоритмов, применимых для анализа сложныхсистем и в применении этих алгоритмов к конкретным задачам, требующимисследования динамики и устойчивости таких систем.Основные положения, выносимые на защиту: 1.
Разработанный дляисследования линейной устойчивости сложных систем конструктивный алгоритм проверки устойчивости и D-устойчивости семейства вещественных полиномов с коэффициентами, полиномиально зависящими от параметров.2. Разработанный для анализа мультикомпонентных систем алгоритм нахождения общих собственных чисел набора матриц, составляющих систему.3. Применимый для исследования динамики зависящих от параметра сложных систем, изучаемых в физике, оптике, электротехнике, алгоритм определения структуры жордановой нормальной формы матрицы с комплексными элементами.4.
Характеристики
Тип файла PDF
PDF-формат наиболее широко используется для просмотра любого типа файлов на любом устройстве. В него можно сохранить документ, таблицы, презентацию, текст, чертежи, вычисления, графики и всё остальное, что можно показать на экране любого устройства. Именно его лучше всего использовать для печати.
Например, если Вам нужно распечатать чертёж из автокада, Вы сохраните чертёж на флешку, но будет ли автокад в пункте печати? А если будет, то нужная версия с нужными библиотеками? Именно для этого и нужен формат PDF - в нём точно будет показано верно вне зависимости от того, в какой программе создали PDF-файл и есть ли нужная программа для его просмотра.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
