Автореферат (1145310), страница 2
Текст из файла (страница 2)
Матричный алгоритм распознавания реберного графа, позволяющийупростить описание структуры и исследование свойств систем с переключениями и многоагентных систем.5. Применимый для имитационного моделирования биологических систем,в том числе и в режиме реального времени, эффективный алгоритм численного интегрирования систем ОДУ, позволяющий получить максимально точноерешение задачи Коши в арифметике с плавающей точкой.Научная новизна. Выносимые на защиту результаты являются новымии получены лично автором.Теоретическая и практическая ценность. Результаты, изложенныев диссертации, позволяют упростить анализ устойчивости и D-устойчивости8сложных систем, а также получить максимально точные решения этих системв арифметике с плавающей точкой в режиме реального времени.Предложенные алгоритмы являются достоверными и эффективными, чтопозволяет использовать их в механике, теории управления, биофизике и химической кинетике.
Простота и вычислительная эффективность позволяют вряде случаев применять их для моделирования процессов в сложных системахв реальном времени.Практическая ценность результатов диссертации состоит в том, что примоделировании и анализе сложных систем они позволяют:1) повысить достоверность и точность выполняемых расчетов,2) сократить время вычислений,3) проанализировать свойства системы в зависимости от параметров.Методы исследования.
В диссертационной работе используются методы системного анализа, классической высшей алгебры (теория исключения, теория ганкелевых квадратичных форм), теории дифференцируемых отображенийи алгебраической теории графов, оценка погрешностей в арифметике с плавающей точкой.Результаты исследований прошли апробацию на следующих конференциях: International Student’s Conference in Mathematics (г. Прага, Чехословакия, 1989), XXXIV научная конференция “Процессы управления и устойчивость” (г. Санкт-Петербург, 2003), I международная конференция “Stabilityand Control Processes”, посвященная 75-летию со дня рождения В.И. Зубова,SCP 2005 (г. Санкт-Петербург, 2005), XXXVII научная конференция “Процессыуправления и устойчивость” (г. Санкт-Петербург, 2006), XXXVIII научная конференция “Процессы управления и устойчивость” (г.
Санкт-Петербург, 2007),10-я международная конференция “Computer Science and Information Technologies”, CSIT 2013 (г. Ереван, Армения, 2013), 13-я международная конференция “International Conference of Numerical Analysis and Applied Mathematics”,ICNAAM 2015 (г. Родос, Греция, 2015), III международная конференция “Stability9and Control Processes”, посвященная 85-летию со дня рождения В.И. Зубова,SCP 2015 (г.
Санкт-Петербург, 2015), 18-я международная конференция “The18th International Workshop on Computer Algebra in Scientific Computing”, CASC2016 (г. Бухарест, Румыния, 2016), а также на семинарах факультета прикладной математики — процессов управления Санкт-Петербургского государственного университета.Публикации. По теме диссертационной работы опубликовано 20 печатных работ, в том числе 12 статей в журналах, рекомендованных ВАК РФ.Личный вклад автора.
Содержание диссертации и основные положения, выносимые на защиту, отражают персональный вклад автора в опубликованные работы. Подготовка к публикации полученных результатов проводилась совместно с соавторами, причем вклад диссертанта был определяющим.Все представленные в диссертации результаты получены лично автором.Структура и объем диссертации. Диссертация состоит из введения,четырех глав, заключения и библиографического списка, включающего 182 наименования.
Общий объем работы составляет 257 страниц.Содержание работыВо Введении обоснована актуальность диссертационной работы, сформулирована цель и аргументирована научная новизна исследований, показанапрактическая значимость полученных результатов, представлены выносимыена защиту научные положения. Также дан обзор классических и современныхрезультатов, посвященных исследованию поведения решений и численному интегрированию систем обыкновенных дифференциальных уравнений.Первая глава диссертационной работы посвящена сложным динамическим системам, которые обычно моделируются нелинейными дифференциальными уравнениями (динамика роста населения, изменения цен, распространение эпидемий, поведение различных электромеханических систем, химические10реакции в клетках и т.д.). Во многих практических приложениях требуется исследовать некоторые качественные свойства решений таких систем в целом.Наиболее важным вопросом при этом является вопрос об устойчивости положения равновесия, который во многих случаях сводится к исследованию спектранекоторой матрицы, т.е.
нулей ее характеристического полинома.С помощью теории исключения задача решения системы алгебраическихуравнений от нескольких переменных может быть сведена к одномерному случаю. Практически это можно сделать с использованием современных пакетовсимвольных вычислений, либо с помощью базисов Грёбнера, либо с помощьюаппарата многомерных результантов. Тем самым задача анализа свойств множества решений такой системы сводится к аналогичной задаче для одного алгебраического уравнения относительно одной переменной. В частности, такимобразом может быть решена задача определения количества вещественных решений, а также задача их локализации (в том числе в конкретной алгебраической области вещественной или комплексной плоскости). В развитие методаШ. Эрмита может быть реализована процедура построения многомерного аналога системы полиномов Штурма. В диссертации данная идеология применетсяк задачам устойчивости и D-устойчивости семейства вещественных полиномов.В работе рассмотрен вещественный полином f (z, ν1 , ν2 , .
. . , νk ) с коэффициентами, полиномиально зависящими от параметров ν1 , . . . , νk , областью изменений которых является многомерный вещественный параллелепипедB = {(ν1 , ν2 , . . . , νk )|ν 1 ≤ ν1 ≤ ν 1 , ν 2 ≤ ν2 ≤ ν 2 , . . . , ν k ≤ νk ≤ ν k }.Для полиномов семействаp = {f (z, ν1 , ν2 , . . . , νk )| (ν1 , .
. . , νk ) ∈ B}(1)решена задача D-устойчивости, т. е. найдены необходимые и достаточные условия того, что нули всех полиномов данного семейства принадлежат данной алгебраической области D комплексной плоскости.11В практических задачах область D обычно симметрична относительно вещественной оси. Поэтому рассмотрены области, заданные неравенством g(x, y) >0, где g(x, y) ≡ G(x, y 2 ) для некоторого полинома G(x, Y ) с вещественными коэффициентами.Сведения из классической высшей алгебры и теории дифференцируемыхотображений, необходимые для решения данной задачи, приведены в параграфе 1.1.В параграфе 1.2 дан обзор ранее полученных результатов, имеющих отношение к рассматриваемой задаче.В параграфе 1.3 рассмотрена более общая задача о вещественных корняхсемейства полиномов.
А именно, для полиномаp = f (z, ν1 , ν2 , . . . , νk ),(ν1 , . . . , νk ) ∈ B(2)найдены условия на его коэффициенты, необходимые и достаточные для того,чтобы он не имел вещественных корней.Для случая a0 (ν1 , . . . , νk ) 6= 0, где a0 (ν1 , . . . , νk ) — старший коэффициентполинома f (z, ν1 , . . . , νk ) как полинома относительно переменной z с коэффициентами, зависящими от ν1 , .
. . , νk , доказана следующая теорема.Теорема 34. Пусть a0 (ν1 , . . . , νk ) 6= 0 для всех (ν1 , . . . , νk ) ∈ B. Ни одинполином семейства (2) не имеет вещественных корней тогда и только тогда,когда выполняются следующие условия:(i) Граничные семейства полиномов для семейства (2), соответствующие граням параллелепипеда B, т. е.f (z, ν1 , .
. . , νk )| (ν1 , . . . , νk ) ∈ B, νj = ν j и{f (z, ν1 , . . . , νk )| (ν1 , . . . , νk ) ∈ B, νj = ν j }для всех j = 1, 2, . . . , k не имеют вещественных корней.(ii) Система уравнений∂f (z, ν1 , . . . , νk )∂f (z, ν1 , . . . , νk )= 0, . . . ,= 0.∂ν1∂νk(3)12не имеет решений, удовлетворяющих условиям z ∈ R и (ν1 , . . . , νk ) ∈ B.Случай, когда a0 (ν1 , . . . , νk ) обращается в нуль при некоторых значенияхпараметров (ν1 , . . . , νk ), лежащих внутри параллелепипеда B, сведен к рассмотрению системы уравнений (3), дополненной еще несколькими алгебраическимиуравнениями — условиями на коэффициенты полиномов семейства.В работе также показано, как с помощью методов теории исключения иганкелевых квадратичных форм проверить выполнение условий теоремы.Доказана также теорема, дающая необходимые и достаточные условия того, что ни один из полиномов семействаP = {F (ν1 , ν2 , . .
. , νk )|(ν1 , . . . , νk ) ∈ B}(4)не имеет вещественных корней (через A0 (ν2 , . . . , νk ) обозначен старший коэффициент полинома F (ν1 , . . . , νk ) как полинома относительно ν1 с коэффициентами,зависящими от ν2 , . . . , νk ):Теорема 35. Пусть A0 (ν2 , . . . , νk ) 6= 0 приν 2 ≤ ν2 ≤ ν 2 , . .
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
