Автореферат (1145310), страница 5
Текст из файла (страница 5)
Кроме того, часто вычисления производятся встандартной процессорной арифметике с плавающей точкой. Поэтому вопросточности метода Эйлера при таких вычислениях довольно важен.Рассмотрена задача Коши для систем обыкновенных дифференциальныхуравнений видаdX= F (t, X),dtX(t0 ) = X0 ,(14)где F = [fj (t, X)]mj=1 вещественный вектор m × 1, элементы которого — данныефункции,X(t) = x01x1 (t)..
, X = .. .. 0xm (t)x0m.Поскольку в конечномерном пространстве все нормы эквивалентны, то выбор нормы произведен из соображений удобства. Использованы соответствую-25щие векторная и матричная нормы:x 1 Xm×1 = ... : ||X|| = |x1 | + |x2 | + · · · + |xm |,xm||B|| = max ||Bj ||,1≤j≤mгде B = (B1 , B2 , . . .
, Bm ) — квадратная матрица m×m со столбцами B1 , B2 , . . . , Bm .Считается выполненным следующее предположение.Предположение. Пусть правая часть первого уравнения системы (14)имеет непрерывные частные производные второго порядка по всем переменным.В параграфе 4.1 приведены предварительные сведения о погрешностях,возникающих при вычислениях в арифметике с плавающей точкой, необходимые в дальнейшем.В параграфе 4.2 введено понятие локально оптимального шага метода Эйлера.Определение. Назовем один шаг метода Эйлера локально оптимальнымшагом, если для него погрешность метода совпадает с погрешностью округления.Доказана теорема:Теорема 69. Полная погрешность минимальна, когда она совпадает сошибками округления.Тем самым, для получения наиболее точного решения каждый шаг метода Эйлера должен быть локально оптимальным.
Для нахождения его можновоспользоваться следующей теоремой, доказанной в диссертации:Теорема 70. Локально оптимальный шаг метода Эйлера hopt можетбыть найден из следующего уравненияvu2(η + εm)u .hopt = u t ẍj (t0 +hopt ) m xj (t0 +hopt ) j=1 (15)26Здесь через η обозначена норма погрешности, которая возникает при вычислении F (t, X); ε — величина, связанная с максимальным значением относительной погрешности при вычислениях с плавающей точкой. Для обычнойточности — float — (4 байта) ε ≈ 1.19 · 10−7 , для двойной точности — double — (8байтов) ε ≈ 2.22 · 10−16 , для long double (10 или 12 байт в зависимости от системы) ε ≈ 1.08 · 10−19 .
Значения ε могут быть взяты в стандартном включенномфайле float.h для C-компилятора для архитектуры x86.Следствие. Если начальные данные задачи Коши имеют погрешность, тосправедлива следующая формула:vu 2(ε + εm + η)u0 ,hopt = u t ẍj (t0 +hopt ) m xj (t0 +hopt ) j=1 где ε0 обозначает относительную погрешность начальных данных.Предложенный алгоритм интегрирования системы ОДУ основан на даннойтеореме и позволяет найти локально оптимальный шаг метода Эйлера итерационно.Сначала находится приближенное значение X(t0 + h1 ) для достаточно малого шага h1 .
Затем определяются новый шаг и новое приближенное значениерешения с помощью следующих формул:vu 2(εm + η)u , X̃ = X0 + hk F (t0 , X0 ),hk+1 = u t ẍj (t0 +hk ) m k x̃j (t0 +hk ) j=1 (16)где k = 1.Данные формулы применимы в том случае, когда все компоненты вектораX̃k ненулевые. Если же хотя бы одна компонента данного вектора равна нулю,относительная погрешность не определена.
В этом случае можно использоватьабсолютную погрешность. Тогда первая формула равенств (16) принимает видs2(η + εm)||X(t0 + hk )||hk+1 =.(17)||Ẍ(t0 + hk )||27Чтобы сократить время вычислений, производные, стоящие в правых частях системы, могут быть заменены конечными разностями.Ясно, что существует очевидная нижняя граница для шага интегрирования. Наименьший шаг интегрирования не может быть меньше ε.
Причина этогов том, что εF (t, X(t)) дает абсолютную погрешность вычисления F (t, X).В диссертационной работе доказано, что можно взять начальный шаг h1 =ε (или другому минимально возможному значению), при этом по формулам (16)за конечное число шагов будет получен оптимальный шаг интегрирования.В параграфе 4.4 приведены численные примеры, показывающие работуалгоритма. Для этих примеров также проведен сравнительный анализ эффективности данного алгоритма с известными методами (классическим методомРозенброка, методом Рунге — Кутта, методом Эйлера с постоянным шагом интегрирования). Приведенные примеры (в том числе и жесткие системы ОДУ,и система ОДУ с разрывными правыми частями) показывают, что точностьинтегрирования и скорость работы метода, предложенного в диссертационнойработе, выше, чем у остальных методов.В Заключении перечислены основные результаты, полученные в диссертации.Основные результаты работы1.
Предложен новый алгоритм для исследования линейной устойчивостисложных систем. Алгоритм позволяет получить необходимые и достаточныеусловия устойчивости семейства вещественных полиномов с коэффициентами,полиномиально зависящими от параметров (алгебраические относительно параметров).2. Для анализа динамики и устойчивости сложных систем разработан алгоритм получения необходимых и достаточных условий D-устойчивости семейства вещественных полиномов с коэффициентами, полиномиально зависящими28от параметров (алгебраических относительно параметров).3. Для анализа мультикомпонентных систем предложен алгоритм построения полинома, корнями которого являются общие собственные числа набораматриц.4. Для исследования динамики зависящих от параметра сложных физических, оптических, электротехнических систем предложены алгоритмы определения структуры нормальной формы Жордана матрицы с комплексными элементами.5. Предложен новый матричный алгоритм распознавания реберного графаи построения его корневого графа, применимый для упрощения описания иструктуры и исследования свойств МАС и систем с переключениями.6.
Для имитационного моделирования биологических систем в режиме реального времени разработан новый эффективный алгоритм численного интегрирования систем ОДУ, позволяющий получить максимально точное решениезадачи Коши в арифметике с плавающей точкой.Публикации автора по теме диссертации1. Калинина Е. А., Самарина О. Н. Минимизация полной погрешностиметода Эйлера для систем линейных дифференциальных уравнений с постоянными коэффициентами // Вестник СПбГУ. Серия 10: прикладная математика,информатика, процессы управления.
— 2009. — Т.4. — С. 95–103.2. Калинина Е. А., Самарина О. Н. Вычислительная погрешность метода Эйлера при вычислениях в арифметике с плавающей точкой // Сибирскийжурнал индустриальной математики. — 2011. — Т. 14, № 3. — C. 37–49.3. Калинина Е.
А. Общие собственные числа двух матриц // Дальневост.матем. журн. — 2013. — Т. 13, № 1. С. 52–60.4. Калинина Е. А. О числе обусловленности Гёльдера // Вестник СПбГУ.Серия 10: прикладная математика, информатика, процессы управления. — 2013.29— Т.2.
— С. 46–54.5. Калинина Е. А., Хитров Г. М. Особенности векторного пространства упорядоченных (0, 1)-наборов из n элементов над полем по модулю 2 // ВестникСПбГУ. Серия 10: прикладная математика, информатика, процессы управления. — 2014. — Т.1. — С. 62–71.6. Калинина Е. А. Кратные собственные числа матрицы с элементами,полиномиально зависящими от параметра // Вестник СПбГУ. Серия 10: прикладная математика, информатика, процессы управления. — 2016.
— Т.2. — С.26–33.7. Kalinina E. A., Uteshev A. Yu. Determination of the Number of Rootsof a Polynomial Lying in a Given Algebraic Domain // Linear algebra and itsapplications. — 1993. — № 185. — P. 61–81.8. Kalinina E. Stability and D-stability of the family of real polynomials //Linear Algebra and Its Applications. — 2013. — № 438. — P. 2635–2650.9. Kalinina E. The most precise computations using Euler’s method in standardfloating-point arithmetic applied to modelling of biological systems // ComputerMethods and Programs in Biomedicine. — 2013.
— Vol. 111, № 2. — P. 471–479.10. Kalinina E., Pogozhev S., Khitrov G. Linear algebra methods in graphtheory // "Stability and Control Processes"in Memory of V.I. Zubov (SCP), 2015International Conference. — P. 570–572.11. Kalinina E., Pogozhev S., Khitrov G. Edge covers and independence: algebraicapproach // Proceedings of the International Conference on Numerical Analysis andApplied Mathematics 2015 (ICNAAM-2015). AIP Publishing, 2016.
AIP Conf. Proc.1738.12. Kalinina E. On multiple eigenvalues of a matrix dependent on a parameter// Proc. of the 18th In-tern. Workshop, CASC 2016. LNCS 9890, pp. 305–314.13. Горушкина Е. А. (Калинина Е.А.) О знакоопределенности однородногополинома при ограничениях в виде однородных полиномиальных уравнений инеравенств.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
