Автореферат (1145310), страница 3

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 3)

. , ν k ≤ νk ≤ ν k .Ни один полином вещественного семейства (4) не обращается в нуль при(ν1 , . . . , νk ) ∈ B тогда и только тогда, когда выполняются следующие условия:(i) Граничные семейства полиномов семейства (4), соответствующиеграням параллелепипеда B, т. е.F (ν1 , . . . , νk )| (ν1 , . . . , νk ) ∈ B, νj = ν jand{F (ν1 , . . . , νk )| (ν1 , . . . , νk ) ∈ B, νj = ν j }не имеют корней при (ν1 , . . .

, νk ) ∈ B.(ii) Система уравненийF (ν1 , ν2 , . . . , νk ) = 0,∂F (ν1 , . . . , νk )∂F (ν1 , . . . , νk )= 0, . . . ,=0∂ν2∂νk13не имеет вещественных решений при (ν1 , . . . , νk ) ∈ B.Параграф 1.4 посвящен решению задачи об устойчивости семейства полиномов (2). Доказана следующая теорема.Теорема 36. Все полиномы семейства (2) устойчивы тогда и толькотогда, когда выполняются следующие условия:(i) Граничные подсемейства семейства полиномов (2), соответствующие граням параллелепипеда B, т. е.F (ν1 , . . . , νk )| (ν1 , . . .

, νk ) ∈ B, νj = ν jи{F (ν1 , . . . , νk )| (ν1 , . . . , νk ) ∈ B, νj = ν j }устойчивы.(ii) Система уравненийHn (ν1 , . . . , νk ) = 0,∂Hn (ν1 , . . . , νk )∂Hn (ν1 , . . . , νk )= 0, . . . ,=0∂ν2∂νkне имеет вещественных решений при (ν1 , . . . , νk ) ∈ B.В этом же параграфе приведены численные примеры, иллюстрирующиеприменение данной теоремы.В параграфе 1.5 рассмотрена задача о D-устойчивости семейства полиномов (2). Для решения данной задачи используется система уравненийΦ1 (x, Y, ν1 , . . .

, νk ) = 0, Φ2 (x, Y, ν1 , . . . , νk ) = 0,(Y = y 2 ),(5)где полиномы Φ1 и Φ2 определяются из представленияf (x + iy, ν1 , . . . , νk ) = Φ1 (x, y 2 , ν1 , . . . , νk ) + iyΦ2 (x, y 2 , ν1 , . . . , νk ).Решениями данной системы уравнений являются вещественные и мнимые частикомплексных корней z = x + iy полиномов семейства (2).С помощью теории исключения находятся M(x, Y, ν2 , .

. . , νk ) — элиминанта данной системы уравнений по исключению переменной ν1 , и уравнение, выражающее ν1 через остальные переменные Ψ(x, Y, ν1 , . . . , νk ) = 0. В работе доказана теорема:14Теорема 37. Корни всех полиномов семейства (2) лежат в областиG(x, Y ) < 0 тогда и только тогда, когда выполняются следующие условия:(i) Все граничные семейства полиномов для семейства (2), соответствующие граням параллелепипеда B, D-устойчивы.(ii) Система уравненийG(z, 0) = 0, f (z, ν1 , . . . , νk ) = 0,∂f∂f= 0, .

. . ,=0∂ν2∂νk(6)не имеет решений таких, что z ∈ R, (ν1 , . . . , νk ) ∈ B.(iii) Система уравненийG(x, Y ) = 0, Ψ(x, Y, ν1 , . . . , νk ) = 0, M(x, Y, ν2 , . . . , νk ) = 0,∂M∂M(x, Y, ν2 , . . . , νk ) = 0, . . . ,(x, Y, ν2 , . . . , νk ) = 0∂ν2∂νk(7)не имеет решений таких, что {x, Y } ⊂ R, Y > 0, (ν1 , . . . , νk ) ∈ B.Теорема 37 позволяет получить верное решение задач в тех случаях, когдаранее применявшиеся методы дают ошибочный результат. Следующий примериллюстрирует данный тезис.Пример. J. Ackermann и R. Muench1 рассмотрели управление движениемавтобуса Daimler-Benz 0305.

Задача сводится к исследованию корней полиномаf (z, t, v) = q8 z 8 + q7 z 7 + q6 z 6 + q5 z 5 + q4 z 4 + q3 z 3 + q2 z 2 + q1 z + q0 ,(8)гдеq0 = 453 · 106 v 2 , q1 = 528 · 106 v 2 + 3640 · 106 v,q2 = 5.72 · 106 tv + 113 · 106 v 2 + 4250 · 106 v,q3 = 6.93 · 106 tv + 911 · 106 v + 4220 · 106 ,q4 = 1.45 · 106 tv + 16.8 · 106 t + 338 · 106 ,1Ackermann, J., Muench, R., Robustness analysis in a plant parameter plane // IFAC 10th Triennial WorldCongress, Munich, FRG. — 1987. — P. 205–209.15q5 = 15.6 · 103 t2 + 840tv + 1.35 · 106 t + 13.5 · 106 ,q6 = 1.25 · 103 t2 + 16.8tv + 53.9 · 103 t + 270 · 103 ,q7 = 0t2 + 1080t, q8 = t2при ограничениях 1.3 ≤ v ≤ 36, 12.935 ≤ t ≤ 1152. Утверждалось, что всекорни полинома (8) лежат слева от левой ветви гиперболыx2Y−=10.152 0.752на комплексной плоскости, т.

е. что все корни удовлетворяют условиям2 x − Y − 1 > 0,0.152 0.752 x < 0.Однако с помощью метода, приведенного в диссертации, доказано, что данное утверждение неверно. Найдены корни полинома, не удовлетворяющие поставленным условиям.Применяя теорему 37, при значениях параметровt = 102.583443, v = 13.788301получен полином семейства (8) с корнем z = −3.08696 + 15.41657i, которыйлежит на левой ветви гиперболы, поскольку3.086962 15.416572−− 1 = −0.0001413776 ≈ 0.0.1520.752Для t = 550.8358931, v = 13.63890513 получаем полином семейства (8),который имеет корень z = −0.5588095759 + 2.691505815i, также лежащий налевой ветви гиперболы.Более того, для t = 102.583443, v = 13.799909 получаем полином семейства (8), который имеет корень z = −3.080564179 + 15.42012870i, расположенный справа от левой ветви гиперболы, поскольку3.0805641792 15.420128702−− 1 = −1.9484045 < 0.0.1520.75216Замечание.

Все расчеты были произведены в символьном виде, полученный результат был округлен до числа с десятью значащими цифрами.Вторая глава диссертационной работы посвящена исследованию поведения сложных систем, зависящих от параметра. Как известно, во многих случаях(особенно тогда, когда элементы матрицы зависят от параметров), построениехарактеристического полинома является довольно сложной и вычислительно затратной задачей. Поэтому требуются эффективные алгоритмы, позволяющиеисследовать спектр матрицы, не вычисляя коэффициентов ее характеристического полинома.В параграфе 2.1 приведены необходимые результаты, касающиеся общихсобственных чисел матриц (необходимое и достаточное условие существованияхотя бы одного общего собственного числа) и кратных собственных чисел матрицы (необходимое и достаточное условие наличия кратного собственного числа),а также оценка изменения кратных собственных чисел матрицы, основанная начисле обусловленности Гельдера.Как известно, числом обусловленности Гёльдера для собственного числа λматрицы A называется упорядоченная пара чиселcond(λ) = (nmax , α),где nmax — порядок наибольшей клетки Жордана, соответствующей собственному числу λ, аα = max spr(YBX ).||B||≤1Здесь spr обозначает спектральный радиус, а столбцы матрицы X (и строкиматрицы Y) являются линейно независимыми правыми (левыми) собственнымивекторами, соответствующими собственному числу λ, каждый из которых принадлежит цепочке Жордана максимальной длины, отвечающей данному собственному числу.Для собственных чисел λ0 возмущенной матрицы A + εB, стремящихся к17λ при ε → +0, выполняется неравенство|λ0 − λ| < cα1/nmax ε1/nmax(9)для любых положительных c > 1 и достаточно малых положительных ε.В параграфе 2.2 решена задача о нахождении всех общих собственныхчисел двух квадратных матриц A = [aij ]ni,j=1 и B = [bij ]mi,j=1 с комплексными элементами, что требуется при исследовании мультикомпонентных систем.Предложен алгоритм, позволяющий построить полином, корнями которого являются общие собственные числа матриц.Для матрицы CAB = A ⊗ B − B ⊗ A (через ⊗ обозначено кронекеровскоепроизведение матриц) строится матрица Cmn×l = (C1 , C2 , .

. . , Cl ), по столбцамкоторой стоят линейно независимые собственные векторы матрицы CAB , соответствующие собственному числу 0. Доказана теорема:Теорема 44. Общие собственные числа матриц A и B являются корнями полиномаdet X(λ) = det(C̄T (A ⊗ Em×m )C − λC̄T C) = 0.(10)В параграфе 2.3 решена задача нахождения максимального порядка клетки Жордана квадратной матрицы и всех собственных чисел этой матрицы,которым соответствуют клетки Жордана максимального порядка.

Данные результаты необходимы для получения оценки изменения кратных собственныхчисел матрицы A + εB при малых значениях ε.По заданной квадратной матрице An×n с комплексными элементами строится матрица порядка n2CA = A ⊗ E − E ⊗ A,где E — единичная матрица того же порядка, что и матрица A.Порядок максимальной клетки Жордана матрицы A равен nmax = (s +1)/2, где s — порядок максимальной клетки Жордана CA , соответствующейсобственному числу 0 матрицы. Доказана следующая теорема.18Теорема 50.

Собственные числа матрицы A, которым отвечают клетки Жордана максимального порядка nmax , являются корнями уравненияdet(C̄T (A ⊗ E)C − λC̄T C) = 0.(11)Параграф 2.4 посвящен задаче нахождения кратных собственных чиселматрицы, элементы которой полиномиально зависят от параметра. Предложенный алгоритм решения данной задачи основан на следующей теореме, доказанной в диссертации:Теорема 52. Матрица D = A + λB имеет кратные собственные числатогда и только тогда, когда S220... 0 S4S24...

Характеристики

Список файлов диссертации