Диссертация (1145311), страница 7
Текст из файла (страница 7)
. . µp−1 µ 1 µ2 . . . µ pMp = ... µp−1 µp . . . µ2p−2 µ1 µ 2 . . . µ pµµ3 . . . µp+1(1) ; Mp = 2... µp µp+1 . . . µ2p−1(p = 1, n) называются определителями Маркова.Задача вычисления числа корней полинома в левой полуплоскости комплексной плоскости является частным случаем нашей основной задачи. Ее решение можно получить, используя параметры Маркова:Теорема 19.
(Марков, [24]) Полином f (z) (степени n = 2p или n = 2p + 1)является устойчивым (все его корни лежат в левой полуплоскости) в том итолько в том случае, когда выполняются следующие условия:(1)1. Определители Mj , Mj(j = 1, n) положительны.2. если n = 2p + 1, то µ−1 > 0.Теория исключения. Случай двух переменныхТеперь обратимся к другому разделу алгебры — теории исключения переменных из системы алгебраических уравнений.Рассмотрим систему вещественных полиномиальных уравненийf1 (x, y) = 0, f2 (x, y) = 0,(1.29)46deg fj = nj(j = 1, 2).(nj )Пусть fj(x, y) — старшая форма в разложении fj (x, y) по убывающимстепеням x и y.Для решения системы (1.29) рассмотрим ее уравнения как полиномиальные относительно y с коэффициентами, зависящими от x.
Применение теоремы 1 приводит к уравнениюX (x) = 0,где X (x) — элиминанта полиномов f1 и f2 (по исключении переменной y). Можно доказать, что deg X (x) ≤ N = n1 n2 иX (x) = B0 xN + . . . ,(n1 )B0 = R(f1(n2 )(1, y), f2(1, y)).Теорема 20. (Безу). Если B0 6= 0, то система (1.29) имеет в точности Nрешений (xj , yj ); при этом все x-компоненты находятся среди корней X (x).Таким образом, при любом корне xj полинома X (x) полиномы f1 (xj , y) иf2 (xj , y) должны иметь нетривиальный Н.О.Д.
— полином по y; корни этогопоследнего и будут соответствующими y -компонентами решений. Для поискаН.О.Д. можно воспользоваться изложенным выше аппаратом субрезультантов,что мы и сделаем, предварительно предположив, что D(X (x)) 6= 0, т. е. что всеx-компоненты решений различны.В этом случае Н.О.Д.(f1 (xj , y), f2 (xj , y)) имеет степень, равную 1; а значит, по формуле (1.5), значение yj может быть найдено в виде рациональнойфункции от xj :yj = r(xj ) (j = 1, N ).Следовательно, систему (1.29) удается преобразовать к системеX (x) = 0,имеющей то же множество решений.y − r(x) = 0,(1.30)47Заметим, что рациональное представление (1.30) возможно не единственным способом — известен, например, и алгоритм, основанный на подстановкеЛиувилля [9, 37] — при котором функция r имеет иное выражение.Теория исключения. Случай нескольких переменныхСуществует несколько различных методов построения результанта для системы алгебраических уравнений относительно нескольких переменных.
Обзорразличных методов решения таких систем уравнений и ссылки на источникиприведен в статье [57]. Изложим здесь кратко наиболее значительные результаты.Согласно Пуассону, результант системы алгебраических уравнений определяется рекурсивно [141].Предположим, что определен результант системы из L полиномов относительно L − 1 переменных (результант L − 1 переменной).
Определим теперьрезультант системы вещественных полиномов относительно L переменныхf1 (X), . . . , fL (X), g(X),X = (x1 , x2 , . . . , xL ).Предположим, что степень полинома fj равна nj , (j = 1, 2, . . . , L), и m —степень полинома g. Представим fj (X) в виде суммы однородных полиномов(форм), степени которых убывают:fj (X) = fj,nj (X) + fj,nj −1 (X) + . . . + fj,0 ,(1.31)где fj,k обозначает форму степени k. Считая, что результант относительно (L −1) переменной форм старших степенейA0 = Rx1 ,...,xL−1 (f1,n1 (x1 , .
. . , xL−1 , 1), . . . , fL,nL (x1 , . . . , xL−1 , 1))не обращается в нуль, получаем, что число N нулейΛj = (λj1 , λj2 , . . . , λjL )48системы уравненийf1 (X) = 0, f2 (X) = 0, . . . , fL (X) = 0(1.32)с учетом кратностей равно следующей величине: N = n1 · . . .
· nL .Действительно, по индукционному предположению, можно построить элиминанту системы уравнений (1.32) относительно xL , т. е. результант полиномовf1 , . . . , fL , рассматриваемых как полиномов относительно x1 , . . . , xL−1 . Даннаяэлимината — это полином от одной переменной xL со старшим коэффициентом,равным A0 :XL (xl ) = A0 xNL + ...,(1.33)причем ее коэффициенты полиномиально зависят от коэффициентов f1 , . . . , fL .Корни λjL полинома XL дают L-ю компоненту нулей Λj системы уравнений (1.32)и в случае, когда эти нули различны, другие компоненты могут быть выражены как их рациональные функции [141].
Более того, существуют полиномыP1 (X), . . . , PL (X) ∈ K[X], deg Pj ≤ N − nj , удовлетворяющие тождествуP1 (X)f1 (X) + . . . + PL (X)fL (X) ≡ XL (xL ),(1.34)известному как тождество Безу.Определение 10. Функция Φ(X1 , X2 , . . . , X` ) : K̄`L → K̄ (Xj ∈ K̄L ) называется симметрической функцией ` векторов из переменных, если ее значениене изменяется при любых перестановках этих векторов:Φ(X1 , X2 , .
. . , X` ) ≡ Φ(Xj1 , Xj2 , . . . , Xj` )для различных j1 , . . . , j` .Следующая теорема принадлежит Л. Шлефли [158]:Теорема 21. Если A0 6= 0, значение любого симметрического полинома Nвекторов из переменных на нулях Λ1 , . . . , ΛN системы уравнений (1.32) является рациональной функцией коэффициентов полиномов f1 , . . . , fL .49Определение 11. Результант L переменных определяется какgRX (f1 , .
. . , fL , g) = Am0 RX (f1 , . . . , fL ),гдеRgX (f1 , . . . , fL ) = g(Λ1 ) . . . g(ΛN )(1.35)— произведение Пуассона.Замечание 5. В вырожденных случаях может оказаться, что N меньше,чем n1 · . . . · nL .Теперь мы можем определить элиминанту для случая полиномов от многих переменных.Определение 12. ПолиномXL (xL ) = RfxL1 ,...,xL−1 (f1 , . . . , fL−1 )называется элиминантой системы алгебраических уравнений (1.32) по исключению переменной xL .Так же, как и в случае двух переменных, при выполнении определенныхусловий (в общем случае), компоненты Λj могут быть выражены как рациональные функции коэффициентов полиномов f1 , f2 , . .
. , fL и g.Приведем конструктивный способ вычисления результанта для полиномовотносительно нескольких переменых [57, 122, 161]. В дальнейшем мы будемпредполагать, что A0 6= 0. Таким образом, число общих нулей Λj полиномовf1 , f2 , . . . , fL равно n1 ·n2 ·. . .·nL . Рассмотрим следующий набор из N полиномовp1pLM = {mk (X)}Nk=1 = {x1 . . . xL |0 ≤ p1 < n1 , . .
. , 0 ≤ pL < nL }.(1.36)Структура этого множества определяется следствием к следующей теореме,которая принадлежит Безу:50Теорема 22. Количество степенных произведений L переменных суммарнойстепени m находится по формулеN (L, m) = CmL+m−1 .(Полагаем N (0, m) = N (L, 0) = N (0, 0) = 1 при m > 0, L > 0 и N (L, m) = 0при L < 0 или m < 0). Более того, количество таких произведений,(1) не делящихся на xn1 1 , равно∆n1 N (L, m) = N (L, m) − N (L, m − n1 );(2) не делящихся на xn1 1 и xn2 2 , равно∆n2 ∆n1 N (L, m) = ∆n1 N (L, m) − ∆n1 N (L, m − n2 );(3) не делящихся ни на один из одночленов xn1 1 , xn2 2 , . . . , xnk k , равно∆nk ∆nk−1 . .
. ∆n1 N (L, m) == ∆nk−1 . . . ∆n1 N (L, m) − ∆nk−1 . . . ∆n1 N (L, m − nk ).Следствие 7. Множество M, определенное формулой (1.36), содержит в точностиN (L, m) −XN (L, m − nj ) +1≤j≤LLXN (L, m − nj1 − nj2 ) − . . .1≤j1 <j2 ≤L+ (−1) N (L, m − n1 − n2 − . . . − nL )(1.37)степенных произведений степени m.Определение 13. Будем называть полином h(X) ∈ K[X] редуцируемым относительно M, если он может быть представлен в виде линейной комбинации степенных произведений из M с коэффициентами из K.Безу доказал, что для полиномов общего положения f1 , f2 , .
. . , fL любойполином h(X) ∈ K[X] возможно редуцировать относительно f1 , f2 , . . . , fL , т. е.51существуют такие {a1 (X), a2 (X), . . . , aL (X)} ⊂ K[X], что полином будет редуцируемым относительно M. Мы будем завписывать это условие какh(X) →Mf1 ,...,fL hred (X)или простоh(X) →M hred (X).Очевидно, что hred (Λj ) = h(Λj ) при 1 ≤ j ≤ N . Предположим сначала,что редукция возможна.Редуцируем полиномы mk (X)g(X) относительно M, и обозначим результаты через gk (X):mk (X)g(X) = ak1 (X)f1 (X) + . .
. + akL (X)fL (X) + gk (X),(1.38)gk (X) = bk1 m1 (X) + . . . + bkN mN (X).(1.39)Подставляя X = Λj в уравнения (1.38) и (1.39), получаемbk1 m(Λj ) + . . . + bkN m(Λj ) = mk (Λj )g(Λj ).(1.40)Переписывая равенства (1.40) для 1 ≤ j, k ≤ N в матричном виде, получаемBV = V g(Λ1 )O...Og(ΛN ) , где V = m1 (Λ1 ) . .
. m1 (ΛN )......mN (Λ1 ) . . . mN (ΛN ) (1.41)— обобщенная матрица Вандермонда; матрицу из коэффициентов размерностиN ×NB = [bkj ]Nk,j=1(1.42)будем называть матрицей Безу.Вопрос о невырожденности матрицы V был исследован в статье [132]. Можно доказать, что(det V )2 = ΓJ (Λ1 ) . . . J (ΛN ),(1.43)52где через J обозначен якобиан полиномов f1 , .
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
