Диссертация (1145311), страница 4

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 4)

Рассмотрению вопросов локализации корнейсемейств вещественных полиномов и посвящена данная глава диссертации.Расмотрим полином f (z) с вещественными коэффициентами (f (z) ∈ R[z],z = x+iy, x, y ∈ R). Пусть имеется также вещественный полином относительнодвух переменных g(x, y) (g(x, y) ∈ R[x, y]).Замечание 2. Везде в дальнейшем будем предполагать, что область комплексной плоскости, определяемая неравенством g(x, y) > 0, не является пустым множеством.Определение 1. Будем говорить, что полином f (z) является D-устойчивым,если все его корни удовлетворяют неравенству g(x, y) > 0∗ .Задача D-устойчивости состоит в нахождении необходимых и достаточных условий на коэффициенты полинома f (z), при которых полином являетсяD-устойчивым. Данная задача впервые рассматривалась в работе Эрмита [98],а затем была решена Раусом, Гурвицем, Шуром, Коном и др., что можно увидеть в работах [71, 105, 156, 159] и обзоре [20], для различных выборов полинома g(x, y).

Среди возможных полиномов g(x, y) наиболее важными являются∗Заметим, что D-устойчивость, рассматриваемая в диссертации, отличается от матричной D-устойчивости.20g(x, y) ≡ y, g(x, y) ≡ −x и g(x, y) ≡ 1 − x2 − y 2 , которые используются длявыяснения асимптотического поведения решений обыкновенных дифференциальных и, соответственно, разностных уравнений. Критерии нахождения всехкорней полинома в полуплоскости и в круге важны также для теории устойчивости и теории бифуркаций, а также для теории управления.Один из наиболее значительных результатов в этой области, касающийсяустойчивости интервальных полиномов, т. е. полиномов видаf (z) = a0 z n + a1 z n−1 + .

. . + an ,(a0 6= 0)с коэффициентами, лежащими в определенных заданных интервалахai ≤ ai ≤ ai ,i = 0, 1, . . . , n,был получен В. Л. Харитоновым [40]. В. Л. Харитонов показал, что для проверки устойчивости семейства таких полиномов необходимо и достаточно проверить, лежат ли корни всего лишь четырех полиномов данного семейства в левойполуплоскости комплексной плоскости (т. е. выяснить, являются ли устойчивыми эти четыре полинома). В статье [41] этот результат был обобщен на полиномы с комплексными коэффициентами. В этом случае необходимо проверитьустойчивость восьми полиномов семейства.В различных практических приложениях возникают также аналогичныезадачи для целых функций. Например, в управлениями моделями с запаздыванием по времени рассматриваются квазиполиномы видаF (s) = f0 (s) + esT1 f1 (s) + .

. . + esTm fm (s).Устойчивость системы с обратной связью со многими запаздываниямиqXdY= AY (t) +BY (t − τr )dtr=1эквивалентна тому, что все нули целой функции F (s) расположены в левойполуплоскости комплексной плоскости. Различные результаты в этой областипредставлены в работах [77, 116, 143].21В диссертации обобщается задача, рассмотренная в статье [109], состоящаяв нахождении числа корней полиномаf (z) = a0 z n + a1 z n−1 + . . . + an(aj ∈ R, j = 0, 1, . . . , n; a0 6= 0; z = x + iy),которые удовлетворяют системе полиномиальных неравенствg1 (x, y) > 0, g2 (x, y) > 0, . . . , gk (x, y) > 0.Алгоритмы, предложенные в [109], основаны на теории исключения и теории ганкелевых квадратичных форм [7, 36], результатах Кронекера [119, 172] иМаркова [24, 134].В диссертации рассматривается более общая задача об устойчивости полинома с коэффициентами, полиномиально зависящими от вещественных параметров [107].

Приводятся необходимые и достаточные условия устойчивости иD-устойчивости для данного семейства полиномов. (Существует и другой подход к задаче устойчивости, основанный на разбиении на множества знакопостоянства, который приведен в статье [115], однако его применение затруднительнов тех случаях, когда пространство параметров имеет большую размерность).Предлагаемый в диссертации метод дает правильный результат для задачи, вкоторой метод, предложенный ранее в работе [44], не работает, как это видноиз приведенного примера.Рассмотрим вещественный полином f (z, ν1 , ν2 , . . .

, νk ) с коэффициентами,полиномиально зависящими от параметров ν1 , . . . , νk . Мы считаем, что областью изменения параметров является многомерный вещественный параллелепипедB = {(ν1 , ν2 , . . . , νk )|ν 1 ≤ ν1 ≤ ν 1 , ν 2 ≤ ν2 ≤ ν 2 , . . . , ν k ≤ νk ≤ ν k }.Будемпредполагать,чтостаршийкоэффициентполиномаf (z, ν1 , . .

. , νk ) не обращается в нуль ни в одной точке параллелепипеда B.22Задача D-устойчивости. Найти условия, необходимые и достаточныедля того, чтобы каждый полином семействаp = {f (z, ν1 , ν2 , . . . , νk )| (ν1 , . . . , νk ) ∈ B}(1.1)был D-устойчивым.Данная задача рассматривалась в статьях [70, 89].

Однако в работе [89] решена задача D-устойчивости для единичного круга (устойчивость полинома поШуру), а метод, предложенный в работе [70], основан на нахождении одномерного многообразия в пространстве параметров (главного многообразия), образкоторого покрывает граничные значения множества{f (z, ν1 , ν2 , . . . , νk )| z ∈ C, (ν1 , . .

. , νk ) ∈ B} ,т. е. дает необходимые и достаточные условия D-устойчивости только в отдельных случаях. В диссертационной работе приводится решение поставленнойзадачи в общем виде. Метод решения основан на теории дифференцируемыхотображений [1] и на теории исключения для алгебраических систем уравнений [4, 49, 170].1.2. Необходимые сведения из алгебры и теориидифференцируемых отображенийПриведем здесь необходимые сведения из алгебры полиномов и теориидифференцируемых отображений.1.2.1. Отделение корней полиномовПриведем известные результаты, касающиеся отделения корней полиномов [4, 90, 123].Теорема 1. Полиномы f (z) = a0 z n + a1 z n−1 + · · · + an , (a0 6= 0) и g(z) =b0 z m + . .

. + bm , (b0 6= 0) имеют общий корень тогда и только тогда, когда23их результант R(f, g) равен нулю. Результант может быть выражен черезкоэффициенты полиномов f и g через представление СильвестраR(f, g) = a0 a1 a2 . . .0ana0 a1 . . .00...

0an0... 0...000...b0 b1 . . .0a 0 a1 a2 . . .bm 0 . . .b0 b1 . . .bman000... 0...000...b 0 b1 b2 . . .bmm строкn строк(1.2)Для того чтобы полином f (x) = a0 z n + a1 z n−1 + . . . + an ∈ C[z] имелкратный корень необходимо и достаточно, чтобы он имел общий корень со своейпроизводной f 0 (x). По теореме 1 для этого необходимо и достаточно, чтобыR(f, f 0 ) = 0. Соответствующий определитель a...an 0 a1a0a1. . . anO......a0 a1.

. . anD = Ona0 . . . an−1na0 . . . an−1...na0 (n − 1)a1 . . . an−1 na0 . . .an−1(1.3)будет делиться на a0 (общий множитель элементов первого столбца).Определение 2. Выражение D/a0 называется дискриминантом полинома24f (x) и обозначается D(f ):defD(f ) = D/a0 = (−1)n(n−1)/2 R(f, f 0 )/a0 .(1.4)Теорема 2.

Полином f (z) = a0 z n + a1 z n−1 + · · · + an (a0 6= 0, n ∈ N) с комплексными коэффициентами имеет кратный корень тогда и только тогда,когда его дискриминантD(f ) = (−1)n(n−1)21R(f, f 0 )a0обращается в нуль.Определение 3. Определитель R(k) (f, g) порядка m + n − 2k, полученный изопределителя R(f, g) вычеркиванием первых k и последних k строк и первыхk и последних k столбцов, называется k-м субрезультантом полиномов f и g.Наибольший общий делитель полиномов f и g (НОД(f, g)) может бытьвыражен через коэффициенты полиномов f и g с помощью субрезультантов [4].Если у этих полиномов имеются общие корни, то для их нахождения нужнорешить полиномиальное уравнение НОД(f, g) = 0.Теорема 3. Степень наибольшего общего делителя (Н.О.Д.) полиномов f (z)и g(z) равна индексу первого отличного от нуля субрезультанта в последовательностиR = R0 , R1 , R2 , .

. .Теорема 4. Предположим, что степень Н.О.Д.(f (z), g(z)) равна k (т. е. R0 =R1 = . . . = Rk−1 = 0, Rk 6= 0). Тогдаа) наибольший общий делитель может быть получен из k-го субрезультанта полиномов f и g заменой последнего столбца на столбец[z m−k−1 f (z), . . . , zf (z), f (z), g(z), zg(z), . . . , z n−k−1 g(z)]T .25б) полиномы v(z) и u(z), дающие линейное представление Н.О.Д.(f, g)f (z)v(z) + g(z)u(z) = Н.О.Д.(f, g)получаются из k-го субрезультанта полиномов f и g заменой последнего столбца на столбцы[z m−k−1 , z m−k−2 . . .

, z, 1, 0, 0, . . . , 0]T и [0, 0, . . . , 0, 0, 1, z, . . . , z n−k−1 ]Tсоответственно. Эти полиномы будут единственными при ограничениях настепени:deg v ≤ m − k − 1, deg u ≤ n − k − 1.Предположим, что полиномы f и g имеют единственный простой общийкорень λ, следовательно, степень НОД(f, g) равна 1. В этом случае λ являетсярациональной функцией коэффициентов aj , bk (j = 0, 1, . . . , n, k = 0, 1, . .

. , m),и можно найти точное выражение для λ через коэффициенты полиномов f иg. Сделать это можно следующим образом.Следствие 1. При выполнении условийR(f, g) = 0, R1 (f, g) 6= 0единственный общий корень α полиномов f и g рационально выражается через коэффициенты этих полиномов:α=−P1.R1 (f, g)Здесь определитель P1 получается из первого субрезультанта заменой последнего его столбца на столбец[0, . . . , 0, an , bm , 0, . . . , 0]T .| {z }| {z }m−2n−226Например, для полиномов f и g, deg f = 5, deg g = 3 при k = 1может быть записан следующим образом: a0 a1 a2 0 a0 a1 0 0 0Н.О.Д.(f ,g) = 0 0 b0 0 b0 b1 b0 b1 b2a3 a4 zf (z)a2 a3f (z)b0 b1g(z)b1 b2 zg(z)b2 b3 z 2 g(z)b3 0 z 3 g(z)Н.О.Д.(f ,g)И так как наибольший общий делитель полиномов f и g может быть представлен в виде c(z − α), имеемН.О.Д.(f ,g) = = z a0 a1 a2 a3 a4 a50 a0 a1 a2 a3 a4000 b0 b1 b200 b0 b1 b2 b30 b0 b1 b2 b3 0b0 b1 b2 b3 00a0 a1 a2 a30 a0 a1 a2000 b000 b0 b10 b0 b1 b2b0 b1 b2 b3 + a4a5 z a3 a4 z + a5 b1 b2 z + b3 b2b3 z b3000a0 a1 a2 a3 a4 00 a0 a1 a2 a3 a5000 b0 b1 b300 b0 b1 b2 00 b0 b1 b2 b3 0b0 b1 b2 b3 00 = R1 z + P1 .Следовательно, приравнивая Н.О.Д.(f, g) к нулю, получаем, что единственный общий корень f и g равенα = −P1 /R1 .(1.5)27Теоремы Якоби и Эрмита — СильвестраТеперь приведем сведения из теории ганкелевых квадратичных форм, которыми будем пользоваться для отделения корней полиномов.Теоремы Якоби позволяют определить число различных корней полиномаи число его различных вещественных корней.Определение 4.

Матрица A = [ajk ]nj,k=1 видаc3 . . . cn c1 c2 c2 c3c4 . . . cn+1 c3 c4c5 . . . cn+2 .. .cn cn+1 cn+2 . . . c2n−1т. е. ajk = cj+k−1 , называется ганкелевой.Следующая теорема принадлежит Якоби:Теорема 5. Рассмотрим квадратичную форму A(X,X) (rank A(X, X) = r).Предположим, что главные миноры ее матрицы Al(l = 1, n) отличны отнуля. Тогда число ее положительных квадратов n+ и число ее отрицательныхквадратов n− равны соответственно числам знакопостоянств P и знакоперемен V в ряду чисел1, A1 , A2 , . . . , Ar .ИначеP(1, A1 , A2 , .

Характеристики

Список файлов диссертации