Диссертация (1145311), страница 3
Текст из файла (страница 3)
В развитие методаШ. Эрмита может быть реализована процедура построения многомерного аналога системы полиномов Штурма. В диссертации данная идеология применетсяк задачам устойчивости и D-устойчивости семейства вещественных полиномов.Рассматривается вещественный полином f (z, ν1 , ν2 , . . . , νk ) с коэффициентами, полиномиально зависящими от параметров ν1 , . . . , νk . Параметры изменяются в многомерном вещественном параллелепипеде:B = {(ν1 , ν2 , . .
. , νk )|ν 1 ≤ ν1 ≤ ν 1 , ν 2 ≤ ν2 ≤ ν 2 , . . . , ν k ≤ νk ≤ ν k }.Решается следующая задача.Задача D-устойчивости. Найти условия, необходимые и достаточныедля того, чтобы каждый полином семействаp = {f (z, ν1 , ν2 , . . . , νk )| (ν1 , . . . , νk ) ∈ B}(1)был D-устойчивым, т.е. все его нули принадлежали данной алгебраической области комплексной плоскости D.В практических задачах область D обычно симметрична относительно вещественной оси. Поэтому рассматриваются области, заданные неравенствомg(x, y) < 0, где g(x, y) ≡ G(x, y 2 ) для некоторого полинома G(x, Y ) с вещественными коэффициентами.13Частным случаем данной задачи, имеющим довольно много практическихприложений, является задача об устойчивости данного семейства полиномов.Она состоит в нахождениии необходимых и достаточных условий того, что нули всех полиномов семейства (1.1) лежат в левой полуплоскости комплекснойплоскости.Для решения задачи D-устойчивости используются результаты классической высшей алгебры: теория исключения переменных (для систем нелинейныхуравнений относительно двух и нескольких переменных), условия устойчивостисемейства полиномов с коэффициентами, непрерывно зависящими от параметров, теория ганкелевых квадратичных форм, а также теория дифференцируемых отображений.Для решения поставленной задачи в диссертации рассматривается болееобщая задача.
Приводится алгоритм построения необходимых и достаточныхусловий, при которых семейство полиномов с вещественными коэффициентами,полиномиально зависящими от параметров, не имеет вещественных корней.В работе приведены численные примеры, иллюстрирующие работу предложенных алгоритмов.Вторая глава диссертационной работы посвящена вопросам отделениясобственных чисел матрицы, которые также имеют большое значение в исследовании устойчивости сложных систем.Действительно, во многих случаях (особенно тогда, когда элементы матрицы зависят от параметров), построение характеристического полинома является довольно сложной и вычислительно затратной задачей.
Поэтому требуютсяэффективные алгоритмы, позволяющие исследовать спектр матрицы, не вычисляя коэффициентов ее характеристического полинома.В этой главе диссертации решаются следующие задачи:1) задача нахождения всех общих собственных чисел двух квадратныхматриц A = [aij ]ni,j=1 и B = [bij ]mi,j=1 с комплексными элементами. Предложеналгоритм, который позволяет построить полином, корнями которого являются14общие собственные числа данных матриц.2) задача нахождения максимального порядка клетки Жордана квадратной матрицы и всех собственных чисел этой матрицы, которым соответствуютклетки Жордана максимального порядка.
Решение данной задачи позволяетупростить вычисление числа обусловленности Гёльдера, которое является мерой изменения кратных собственных чисел матрицы.3) задача нахождения кратных собственных чисел матрицы, элементы которой полиномиально зависят от параметра. Предложенный алгоритм позволяет построить полином, корнями которого являются все значения параметра,при которых данная матрица имеет кратные собственные числа.Работа всех предложенных в работе алгоритмов показана на численныхпримерах.В третьей главе диссертационной работы рассматриваются некоторыезадачи теории графов и их решение с помощью методов линейной алгебры.Для структурного анализа сложных систем применяют методы теории графов.
Графы используются в теории многоагентных систем (МАС), при исследовании систем с переключениями, а также при анализе любых процессов, которые моделируются дифференциальными уравнениями на графах (например,процессы, которые изучает химическая кинетика, химическая технология, биология и др.). Тем самым для анализа сложных систем требуется изучение графов, для исследования свойств которых применимы алгебраические методы.С этой целью рассмотрены линейные пространства над полем вычетовпо модулю 2. Вводятся понятия 1-зависимости системы (0, 1)-векторов и минимальной 1-зависимой системы. Предложен конструктивный метод разложения 1-зависимой системы векторов на минимальные 1-зависимые подсистемы.Также рассмотрена связь фундаментальной системы решений однородной системы линейных уравнений с единственностью разбиения столбцов матрицы Aсистемы уравнений на 1-зависимые минимальные подсистемы.Кроме того, показано, как связаны задачи распознавания реберного графа15и факторизации матрицы, а также приводится новый матричный алгоритм распознавания реберного графа, построенный с помощью линейно-алгебраическогоподхода.
Приводятся примеры, показывающие работу алгоритма.В четвертой главе диссертационной работы предлагается эффективныйчисленный алгоритм, позволяющий в арифметике с плавающей точкой построить решение задачи Коши для системы нелинейных дифференциальных уравнений, имеющее наименьшую полную погрешность (сумму погрешности методаи ошибок округления).
Данный метод может применяться при имитационноммоделировании сложных систем, в частности, для анализа биологических систем.Для численного решения систем обыкновенных дифференциальных уравнений существуют и более эффективные методы, чем метод Эйлера. Однакоявный метод Эйлера часто используется в задачах моделирования и симуляции биологических систем. Так, обычно с помощью обыкновенных дифференциальных уравнений описывается работа ионных каналов клеточных мембран.Преимущества явного метода Эйлера интегрирования систем дифференциальных уравнений хорошо известны: это его простая реализация и скорость. Внекоторых случаях, например, при расчете в режиме реального времени (особенно для систем с большим количеством уравнений) эти особенности методаинтегрирования очень важны.
Кроме того, часто вычисления производятся встандартной процессорной арифметике с плавающей точкой. Поэтому вопросточности метода Эйлера при таких вычислениях довольно важен.Рассматривается задача Коши для систем обыкновенных дифференциальных уравнений видаdX= F (t, X),dtX(t0 ) = X0 ,(2)где F = [fj (t, X)]mj=1 вещественный вектор m × 1, элементы которого — данные16функции,X(t) = x01x1 (t).. , X = .. .. 0xm (t)x0m.Предлагается алгоритм интегрирования системы ОДУ, позволяющий построить численное решение максимально точно, учитывая ошибки округления,возникающие при численном интегрировании. Данный алгоритм позволяет построить шаг метода Эйлера, интегрирование с которым дает наилучший поточности результат.В работе приводятся численные примеры, показывающие работу алгоритма.
Для этих примеров также проведен анализ эффективности данного алгоритма по сравнению с известными методами (классическим методом Розенброка,методом Рунге — Кутта, методом Эйлера с постоянным шагом интегрирования). Приведенные примеры (в том числе и жесткие системы ОДУ, и системаОДУ с разрывными правыми частями) показывают, что точность интегрирования и скорость работы метода, предложенного в диссертационной работе, выше,чем у остальных методов.В заключении перечислены основные результаты, полученные в диссертации.В диссертации использованы следующие обозначения:1.
Ckn =n!— биномиальный коэффициент;k!(n − k)!2. ẋ означаетdx;dt3. j = 1, n означает, что j принимает все целые значения от 1 до n;4. R — множество вещественных чисел; C — множество комплексных чисел;5. для вещественного числа x: [x] означает целую часть x;17sign x — знак x;sign x =1,0, −1,x > 0,x = 0,x < 0;6. если x комплексное число, то x̄ — комплексно-сопряженное к x;7. знакTозначает транспонирование;8. если X = (x1 , x2 , . . . , xn ), то ||X|| = |x1 | + |x2 | + . .
. + |xn |;9. если f (z), g(z) — полиномы, тоdeg f — степень полинома f (z),sj — суммы Ньютона полинома f ,µj — параметры Маркова полинома f ;Н.О.Д.(f, g) — наибольший общий делитель полиномов f и g;nr {f (z)|g(z) > 0} [nrr {f (z)|g(z) > 0}] — число [вещественных] корнейполинома f, удовлетворяющих условию g > 0;10.
обозначения D(f ) и R(f, g) вводятся в разделе 1.2.1 главы 1;11. если A(X, X) — квадратичная форма, то A — ее (симметричная) матрица;n+ (A) [или n− (A)], r(A) и σ(A) — число положительных [или отрицательных] квадратов (индекс инерции), ранг и сигнатура соответственно;12. для произвольной квадратной матрицы A: det A — ее определитель, Sp (A)— след, Aj — главный минор порядка j;13. для произвольной матрицы A: rank A — ее ранг;14.
сокращение ГКФ — ганкелева квадратичная форма; ОДУ — обыкновенноедифференциальное уравнение.18Замечание 1. В диссертации используются результаты отца и сына Марковых. Параметры Маркова были введены А.А. Марковым-старшим (1856–1922),в то время как теорема о числе корней полинома, удовлетворяющих системеполиномиальных неравенств была доказана А.А. Марковым-младшим (1903–1979).19Глава 1Устойчивость и D-устойчивость семействавещественных полиномов1.1.
Постановка задачиВо многих задачах, связанных с исследованием сложных систем, требуетсяисследовать устойчивость или D-устойчивость некоторого полинома с коэффициентами, зависящими от параметров, т. е. локализовать корни некоторых полиномов или семейств полиномов.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
