Диссертация (1145296), страница 32
Текст из файла (страница 32)
Иэто ровно те самые слагаемые, которые заменяют последнее слагаемое в228правой части на ковариантное‖‖ · ( + 2 ) (︀)︀)︀(︀= 2 ‖‖ · + ‖‖ · D − D . (5.11)Соотношение (5.11) – ковариантная версия соотношения (5.10). Разумеется, всё, что мы сделали, это явно проверили, что(︃ T = −)︃(0)2 ▽ + ()в соответствии с (1.50).
Явные вычисления отнимают некоторое время,но в целом достаточно элементарны.Подход со множителем ЛагранжаЭквивалентный подход к этим моделям заключается в том, чтобыоставить в действии произвольную спин-связность, но наложить связь = 0 с помощью множителей Лагранжа:∫︁LW = −(︀)︀4 ‖‖ · T(, ) + ()(5.12)где на множитель Лагранжа наложены следующие условия симметрии: = − и = − .Вариация действия (5.12) по отношению к даёт () = 0эквивалентно условию (5.7), по крайней мере локально.
Вариация по отношению к приводит к(0)▽ − ( + ) +229)︀1 (︀T + = 0,2что не отличается от (1.64) благодаря связи. Наконец, вариация даётуравнение на множитель Лагранжа(︀)︀D ‖‖ = 0или эквивалентно(0)▽ − + = 0.Формулировка, не зависящаяот выбора спин-связностиВ качестве курьёза отметим действие∫︁− = −4(︂ ‖‖ T − () )︂,(5.13)которое эквивалентно действию Эйнштейна-Гильберта, но при этом вообще не зависит от спин-связности с точностью до поверхностного слагаемого. К сожалению, разумных способов для обобщения не просматривается.5.1.2Расширенные телепараллельные теорииРазумеется, телепараллельная гравитация интересна не только самапо себе, но и как средство для формулирования модифицированных теорий. Простейшими примерами являются произвольный квадратичныйпо кручению лагранжиан14 +22 − 3 (его можноещё расширить, добавляя не сохраняющие чётность слагаемые), в такжезнаменитые ( ) теории.Процедура ковариантизации проходит здесь по-другому. Вариациятакого лагранжиана по отношению к плоской спин-связности уже не является поверхностным слагаемым.
Однако, она при этом всё-равно не даёт новых уравнений движения. Причина здесь проста. По самому своемупостроению модель инвариантна по отношению к одновременному преобразованию спин-связности и тетрады. При этом инфинитезимальное ло230ренцово вращение тетрады – это частный случай её вариации, которыйдаёт антисимметричную часть уравнения движения. В телепараллельном эквиваленте такая вариация обращается в нуль в силу локальнойлоренц-инвариантности на уровне чистых тетрад. В расширенных жетеориях она не исчезает и приводит к нетривиальной антисимметричнойчасти уравнения движения для тетрады. И, разумеется, эта часть точно совпадает с уравнением движения для спин-связности, поскольку двеэти вариации, сделанные одновременно, действия не меняют.
Посколькуэто простое рассуждение при личном общении со специалистами по телепараллельной гравитации также не сразу встретило понимание, нижедаётся более подробное рассмотрение на уровне вариаций и, в следующем подразделе, на языке уравнений движения, причём с получениемновой интересной формы последних.Рассмотрим нашу модель∫︁ ( ) = −4 ‖‖ · (T(, (Λ)) .(5.14)и проведём вариирование по инерциальной , используя (1.50) и (5.2):∫︁ ( ) = −(︃(0))︃4 ‖‖ ▽ ′ (T) .(5.15)Результат получается нетривиальный даже для чисто инерциальныхспин-связностей и вариаций, даваемых формулами (5.7) и (5.9).Но это ровно та вариация, которая получается из вращения тетрад → Λ .
Поскольку это лоренцево преобразование, из (1.50) для него(0)получаем ′ · T = −2 ′ · ▽ . Можно убедиться, что вариация вектора кручения примет ту же форму, что и , где – вариацияспин-связности под действием данного преобразования Лоренца. Например, вокруг вайтценбёковского фона вариация спин-связности принимает вид = − и = ( ) . В то же время, инфинитезимальное вращение тетрад записывается как = . В вектореWкручения = − первый член лоренц-инвариантен (и ра231вен1‖‖ ‖‖),в то время как вариация второго равна − ( ) .
Чтои требовалось доказать.Проведём те же рассуждения прямо, без обращения к (1.50). Вариация связности дает∫︁∫︁4′ ( ) = − ‖‖ (T) = −2 4 ‖‖ ′ (T) Используя (5.9), получаем∫︁ ( ) = 24 ‖‖ ′ (T) (Λ−1 ) ( )Λ .Уравнение движения требует обращения этого выражения в нуль длялюбой ∈ (1, 3).Теперь провариируем по отношению к тетрадам,∫︁ ( ) = −4 ( (T)‖‖ + ‖‖ ′ (T)T) .Вариация должна обращаться в нуль для произвольной вариации˜ · , или инфинитезимальнотетрады, в частности для → (exp )˜ . В таком случае ‖‖ = 0, а T = посколь = ку (︁ = 0. Принимая)︁ во внимание, что в нашем случае =˜ ) − (D ˜ ) , имеем (D ⃒⃒ ( ) ⃒⃒∫︁=2˜=˜ ) .4 ‖‖ ′ (T) (D ˜ =Как мы показали после формулы (5.9), если положить −(Λ−1 ) Λ , то получится˜ = −(Λ−1 ) ( )Λ .D ⃒Тем самым мы видим ( ) ⃒=˜ = − ( ) . Уравнения движения,следующие из в инерциальном классе уже содержатся в качестве частного случае в уравнениях движения для тетрады.232Ещё раз подчеркнём, что это совершенно общее свойство ковариантизированных теорий этого типа: вариация Λ → (exp()) Λ в спинсвязности приводит ровно к тому же изменению действия, только с про˜ с подтивоположным знаком, что и вращение тетрад → (exp()) ˜ Поэтому и новых уравнений из вариации спин-связности неходящим .получается.5.1.3Новая форма уравнений движениядля ( ) гравитацииРассмотрим теперь ту же проблему на уровне уравнений движениядля действия∫︁ ( ) = −4 ‖‖ · (T(, (Λ)) .(5.16)Сперва рассмотрим вариацию тетрады.
Получаем∫︁ = −(︂)︂4 ‖‖ · (T) + ′ (T)T .В случае инерциальных спин-связностей, тождество (1.50) даёт(0)(0)T = − −2▽ ,и следовательно∫︁ = −(︂)︂(0) ′′ ‖‖ · (T) − (T) +2 ( (T)) ( ) .4Учитывая, что = 2 и = − ( + ) , получаем∫︁ = −(︃(︃ (︃(0)(0) (0) )︃ )︃(0)− ▽ ▽ + ′ (︂)︂)︂ ′′ ′− 2 ( ) + ( ) + 2 ( ) .4 ‖‖· + 2233Теперь следует провариировать кручение (1.60)(︀)︀ = − + D − D .Отметив, что коэффициенты связности из первого слагаемого справапревращают лоренц-ковариантные производные второго слагаемого вполные ковариантные производные , и учитывая, что полные ковариантные производные самих тетрад обращаются в нуль, получаем замечательное соотношение, которое несмотря на свою простоту и элегантностьв литературе нам не встречалось:(︀)︀ = ▽ ( ) − ▽ ,(5.17)и в частности(︀)︀ = ( ) − ▽ .Учитывая различие между телепараллельной связностью и связностьюЛеви-Чивита, получаем = ( )(0)(︀)︀− ▽ − + .Теперь уравнение движения вывести совсем несложно, и оно принимает сравнительно простой вид(0)1 ′ (T) · + ′ (T) − ′ (T) + (T) · = 0,2(5.18)где мы воспользовались тем, что = − .
Обратим внимание на то,что слагаемые со старшими производными, типичные для () гравитации, сократились, как и должно было быть.Очевидно, что уравнение (5.18) содержит антисимметричную часть: ′ (T) + ′ (T) − ′ (T) = 0,(5.19)где мы учли, что − = . Наша задача показать, что полученное уравнение совпадает с уравнением движения для спин-связности.234В самом деле, провариируем спин-связность (5.15) в инерциальном˜˜ с произвольной антисимметричной :классе, в котором = D ∫︁ ( ) = −˜ .4 ‖‖ ( ′ (T)) D Интегрируя по частям, получаем∫︁ =(︂)︂˜ .4 ( ′ ) · (‖‖ ) − ‖‖ ( + ) (0)Используя ‖‖ = ‖‖ Γ и обращение в нуль полной ковариантнойпроизводной тетрады, получаем∫︁ = −4′ ‖‖ ( ) ·(︁ +Γ )︁˜ .˜ снова воспроизводим (5.19).Благодаря антисимметрии 5.1.4Подведение итоговИтак, мы рассмотрели несколько вариантов ковариантизации.1.
"Вариация Вайтценбёка": полностью фиксирована. (В исходной формулировке положена равной нулю). Лагранжиан сам по себе неинвариантен, но есть свобода смены системы отсчёта путём изменениялагранжиана.2."Независимаявариация"совершеннопроизвольнойспин-связности, см. (5.6). Приводит к тривиальной модели, = 0.3.
"Инерциальная вариация": вариируем в классе инерциальныхспин-связностей, см. (5.7) и (5.9). Независимые переменные – тетрадаи матрица Лоренца. Это настоящая ковариантизация, пригодная и длятелепараллельного эквивалента и для модифицированных теорий.4. "Вариация со связями": эквивалентна предыдущей, но вместо явного задания инерциальной спин-связности используется лагранжевасвязь (5.12).2355. "Компенсированная вариация": полностью отщепившаяся спинсвязность , см.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
