Диссертация (1145296), страница 30
Текст из файла (страница 30)
Условия приэтом будут рассматриваться как конформные (-модель) так и дисформные, с тензором Риччи (-модель). Поскольку соотношения, накладываемые на переменные, содержат производные, требуется большая осторожность при обращении с ними. Этот аспект, похоже, не был в должноймере осознан авторами работ [161, 163], в которых впервые эти моделибыли предложены. Мы поначалу тоже будем действовать наивно и увидим, к каким проблемам это приводит.4.3.1C- и D-теорииРассмотрим (в произвольной размерности) действие уже знакомогонам вида∫︁=√ˆ , − (4.27)в котором тензор Риччи со шляпкой соответствует леви-чивитовскойсвязности вспомогательной метрикиˆ .ˆ = (R) + (R)208(4.28)В самом общем случае функции и зависят от матрицыˆ R ≡ ˆ ≡ ℛ ипосредством любых ее скалярных инвариантов: TrR = TrR2 и так далее, а также, при желании, и любых их производных, такихкак ℛ и Tr[(∇Tr∇R)R] и так далее.
Заметим, что исходная версия[161] относилась к весьма частному случаю = (ℛ), = 0, которыйдальше активно исследовался, например, в работе [164]). Однако такаяверсия способна приводить лишь к скалярно-тензорным модификациям,а общие модели [163] могут модифицировать тензорный пропагатор, чтосамо по себе интересно.Определим также матрицуˆ ^ ≡ ˆ Rи постараемся выразить действие в виде функции от одной из метрик.Мы имеем)︁ˆ (︁ ˆ − =или, в матричной записи,(︁)︁1^ = · ˆ − R ,а для обратной метрики –−1(︁)︁−1^ˆ−1 .= · − R(4.29)Действие тогда принимает вид∫︁=√︂(︁)︁^det I − DR√︀ −ˆ·· Tr−22(︂(︁^I − DR)︁−1)︂^ .R(4.30)Чтобы действительно выразить действие в терминах одной толькометрики ˆ , надо пересчитать аргументы функций и к величинам209только со шляпкой.
Чтобы это сделать, умножим уравнение (4.29) дляˆ , и получим уравнение, определяющее R в терминах R:^ −1 на (︁^R = (R) · − (R) · R)︁−1^.R(4.31)Это уравнение может – по крайней мере, в принципе – быть разрешеноотносительно R. Подставив ответ в действие (4.30), получаем желаемыйрезультат.Этот результат обобщает так называемую ”-картину" из работы[161]. Как легко видеть, в частном случае = (ℛ), = 0 мы тожеполучаем теорию типа ().Такая простая форма связана конечно (помимо простоты конформного соотношения) с тем, что мы выражали действие через ту метрику,которая зависит от производных другой метрики (в кривизне).
Если бымы захотели пойти в обратную сторону, то пришлось бы решать дифференициальные уравнения и, по крайней мере наивно, была бы полученанелокальная теория. Впрочем, сделать это точно весьма непросто.4.3.2Вычисление ℛ во всех порядкахв нелокальной картинеРассмотрим переход к нелокальной картине по теории возмущений в(ℛ)-модели (при = 0). Разложим определяющую функцию в ряд(ℛ) ≡ 1 +∞∑︁, ℛ=1по степеням смешанной кривизны.
Легко видеть (просто конформноепреобразование, см. [163]), что()2− ( − 1)( − 6).ℛ = − ( − 1)4 2210(4.32)Очевидно, в первом порядке имеемℛ ≈ − ( − 1),1 ℛ,откудаℛ≈1,1 + ( − 1),1(4.33)где дробь должна пониматься как нелокальный оператор, действующийна (и мы имеем в виду, что может не коммутировать с ,1 ). Разумеется, тут возникают все обычные проблемы с определением нелокальныхоператоров, но мы их игнорируем.Желая пойти во второй порядок, положимℛ=1 + 21 + ( − 1),1в соотношении (4.32), где 2 обозначает поправку второго порядка. Вэтом порядке имеем2 =1×1 + ( − 1),1[︂(︂)︂ (︂)︂11( − 1) ,1 ,11 + ( − 1),11 + ( − 1),1(︂ (︂)︂)︂2 ]︃( − 1)( − 6)1− ,141 + ( − 1),1(︂)︂21− ( − 1),2 .
(4.34)1 + ( − 1),1Легко понять общую структуру старших порядков: =(︀)︀(︀ )︀1· F , , ( )2 − ( − 1), ℛ1 ,1 + ( − 1),1где = 1, . . . , − 1, а ℛ1 – результат первого порядка, полученный намивыше (4.33). Следовательно, с точностью до определения нелокальногооператора (1 + ( − 1),1 )−1 , получаем полное разложение в ряд величины ℛ как функции .211Заметим, что если при вычислении действия будет позволено проинтегрировать по частям в предпоследнем слагаемом из выражения (4.34),а также проигнорировать поверхностный вклад с ,2 , то квадратичноедействие примет вид√(︂1 = − ·1 + ( − 1),1(︂)︂ (︂)︂)︂( − 1)( − 2)11+,1 ,1,41 + ( − 1),11 + ( − 1),1(4.35)∫︁а если ,1 – просто число (без собственных нелокальностей), то дробь,стоящую общим множителем, можно рассматривать как единицу с добавлением операторов, дающих поверхностные слагаемые.4.3.3Линеаризованная теорияРассмотрим теперь теорию, заданную формулами (4.27, 4.28) в линеаризованном виде вокруг пространства Минковского.
Рассмотрение будетпроведено в обеих картинах.Локальная ˆ-картинаПерейдём сперва к картине в метрике со шляпкой. Раскладываемопределяющие функции в ряд вокруг пространства Минковского:(R) = 1 + ,1 ℛ + · · · ,(R) = 0 + · · · .Для линейных флуктуаций ( ≡ + ℎ) имеемˆ ,ℎ̂ = ℎ + ,1 ℛ + 0 а для кривизн(︁)︁22 2 ˆ = 1 ℎ̂ + ℎ̂ − ℎ̂ − ℎ̂ + · · ·2212(4.36)и2 ℛ = ℎ̂ − ℎ̂ + · · · ,где индексы поднимаются метрикой Минковского .Квадратичное действие вычисляется как∫︁=(︁ˆ + (1) (2)(︁√︀−ˆ)︁)︁ˆ· ,(1)где () () – вклад -ого порядка к величине .
Используя элементарные соотношения (1)(︀√)︀1− = −ℎ + ℎ2и(1)(︁√︀)︁)︀ 1(︀√ˆ + 0 ˆ ,−ˆ ˆ= (1) − − (( − 2),1 + 0 ) 2и принимая во внимание, чтоˆ + (1) (2))︁)︁(︁√︀(︁√︀(1) ˆ(2)ˆ−ˆ ˆ−ˆ ,· = получаем окончательный ответ с квадратичной точностью∫︁=(︂)︂√︀(−2)+,102ˆ ˆ ,ˆ−ˆ + 0 −ˆ 2(4.37)который доказывает присутствие духов всегда, кроме чистой -теории,то есть = 0.Случай нелокальных и функцийПоскольку рассматриваемая тема в любом случае носит достаточно спекулятивный характер, мы не постесняемся отметить, что можно было бы рассмотреть нелокальные определяющие функции, так что, = , () и , = , ().
При этом квадратичное действие можно запи-213сать как(︂)︂∫︁√︀(−2)()+(),10ˆ−ˆˆ+ˆ 0 ()ˆ . = −ˆ 2Используя результаты работы [165], можно убедиться, что при условии0 = −3,1 +2(полагая = 4) получаемый пропагатор Π =2Π3,1 2яв-ляется нелокальной модификацией пропагатора общей теории относительности, не приводящей к новым степеням свободы, если уравнение,1 (− 2 ) 2 = 0 не имеет решений. В частности, при ,1 =1 можнополучить нелокальность экспоненциального типа, которая иногда рассматривается [165] как средство избавления от ультрафиолетовых расходимостей квантовой гравитации.Нелокальная -картина для C-моделейСнова обратимся к соотношению (4.36) между метриками. Для удобства можно записать его виде ˆ = 2 , где = 2 .
Тогда получаетсяℛ = − ( − 1)( − 2)()2 − 2( − 1).Несложно найти в первом порядке по возмушениям. Для этого запишемсперваℎ̂ = ℎ + ,1 (︁2ℎ̂−ℎ̂)︁,(4.38)и заметим, что изменяется только следовая часть:ℎ̂ = ℎ(︁)︁1+ ℎ̂ − ℎ ,а соответственно мы можем найтиℎ̂ =(︀ )︀12 ℎ + ,1 ℎ − ,1 ℎ ,1 + ( − 1),1 (4.39)что при нашей точности эквивалентно конформному растяжению с(︀ 2 )︀ℎ−ℎ1 ,1,1=(ℎ̂ − ℎ ) ==.22(1 + ( − 1),1 )2(1 + ( − 1),1 )214Соответственно, действие равно∫︁=)︀√ (︀ − − ( − 1)( − 2)()2 − 2( − 1)или, используя интегрирование по частям с сохраненим всех поверхностных слагаемых, получаем∫︁=(︃( − 1)( − 2)2,1 − + 4(1 + ( − 1),1 )2(︃)︃)︃2 ( − 1)( − 2),1 ( − 1),1 − − ,4(1 + ( − 1),1 )21 + ( − 1),1 √а если поверхностные слагаемые могут быть отброшены (в противномслучае, очевидно, надо было использовать -соотношение до второгопордяка, включая вклад с ,2 ), то получаем∫︁=)︀√ (︀ − − ( − 1)( − 2)()2 =(︃)︃∫︁2√︀(−1)(−2),1d −det(g) + .
(4.40)4(1 + ( − 1),1 )2С точностью до поверхностных слагаемых это действие эквивалентно∞ (︀)︀∑︀1− ( − 1),1 можно отбро(4.35), если в операторе 1+(−1),1 ==0сить все > 1 члены как дающие поверхностые слагаемые. (На самомделе, это конечно не безобидно.)Случай нелокальной функции Если мы захотим теперь, как в другой картине, рассмотреть нелокальную функцию , то в случае появления особенностей типа ,1 ∼1отбрасывание "поверхностных" слагаемых даже наивно будет неуместно.В частности, квадратичное действие в -картине требует учёта коэффициента ,2 . (Конечно же, при переходе к ˆ-картине тоже происходит отбрасывание полной дивергенции, только оно, возможно, менее заметно,215поскольку абсолютно стандартно: по сути, это линейная часть скалярной2 кривизны ℎ̂ − ℎ̂ .)Если требуется самосогласованно перейти к одной из картин без отбрасывания полных дивергенций, требуется большая точность.
Мы небудем на этом останавливаться, но приведём необходимые формулы вовтором порядке:обратная метрика(︀ )︀ = − ℎ + ℎ ℎ + ℎ3 ,(4.41)детерминант метрики√(︀ )︀111 (︀ )︀2− = 1 + ℎ − ℎ ℎ +ℎ + ℎ3 ,248(4.42)коэффициенты связностиΓ̂)︁1 (︁= ℎ̂ + ℎ̂ − ℎ̂2)︁(︁ )︁1 (︁− ℎ̂ ℎ̂ + ℎ̂ − ℎ̂ + ℎ̂3 , (4.43)2смешанная скалярная кривизна)︁1 (︁ 2 2 2 2 ˆ ℎ̂ + ℎ̂ − ℎ̂ − ℎ̂ℛ ≡ = ℎ̂ − ℎ̂ − ℎ211+ ( ℎ̂ )( ℎ̂ ) − ( ℎ̂ )( ℎ̂ )4211+ ( ℎ̂ )( ℎ̂ ) − ( ℎ̂ )( ℎ̂ )24(︂)︂)︂(︂(︁(︂(︁)︁)︁3 )︂11+ ℎ̂ ℎ̂ + ℎ, ℎ̂, (4.44)− ℎ̂ ℎ̂ − ℎ̂22216и, наконец, лагранжева плотность)︂1 1 + ℎ ℛ2)︂(︂)︂(︂111= − ( ℎ̂ ) ℎ − ℎ̂ + ( ℎ̂ ) ℎ − ℎ̂222)︁(︁1−( ℎ )( ℎ̂ ) + ( ℎ̂ )( ℎ ) − ( ℎ̂ )( ℎ̂ )2(︂)︂11+ ( ℎ̂ ) ℎ − ℎ̂22(︂)︂)︁1 (︁ − ℎ̂ ℎ̂ + ℎ ℎ̂ −ℎ̂ + ℎ ℎ̂2)︁)︁ 1 (︁ (︁)︁)︁1 (︁(︁ + ℎ̂ + ℎ ℎ̂ + ℎ ℎ̂ − ℎ̂22(︂(︁)︁3 )︂2 + ℎ̂ − ℎ̂ + ℎ, ℎ̂, (4.45)√︀−det(g)ℛ ≈(︂которая при ℎ = ℎ̂, как легко видеть, переходит в обычное квадратичноедействие для гравитации.Соотношение между метриками тоже надо учитывать до второго порядка.
Оно принимает вид(︁ℎ̂ = 1 + ,1 ℛ(1)4.3.4)︁(︂(︂(︁)︁3 )︂(︁)︁2 )︂1ℎ, ℎ̂.ℎ + ,1 ℛ(2) + ,2 ℛ(1) + 2(4.46)Уравнения движенияИтак, мы показали, как вычисления в принципе могут быть проделаны. Теперь пришла пора расплачиваться за легкомыслие, проявленноепри работе с определяющим соотношением, содержащим производные.Действительно, уже можно было заметить, что действия, получаемые вразных картинах не вполне эквивалентны.Особенно ярко это проявляется, конечно, в тех случаях где мы действовали совсем смело, используя нелокальные функции. В частности,2и = 0, то наивно получится ℒ = 13 + 81 1 ˆ1 ˆˆ − 2в одной картине и ℒ = 3 в другой. Действия похожие, но наесли взять ,1 =23217самом деле различные, даже с точки зрения числа полюсов пропагаторав соответствии с работой [165] (напомним, что для ˆ-картины этот выборфункций отвечает отсутствию лишних полюсов).Выясним теперь, насколько велико будет различие, если коэффициенты , являются обычными числами.
Для этого полезно посмотреть науравнения движения.Сперва провариируем действие (4.37) в локальной картине:(︁)︁(︁)︁ˆˆˆˆˆˆ1 − ( − 2),1 + ( − 2),1 ▽ ▽ − ˆ (︂)︂1 ˆ ( − 2),1 ˆ 2− ˆ = 0,−22что на линейном уровне превращается вˆ − 1 ˆ + ( − 2),1 ( − ) ˆ = 0,2или на языке явных компонент метрики:22 2 ℎ̂ + ℎ̂ − ℎ̂ − ℎ̂(︂)︂ (︁)︁(︀ 2)︀2+ 2( − 2),1 − − · ℎ̂ − ℎ̂ = 0. (4.47)Выберем гармоническую калибровку для ℎ̂:1 ℎ̂ = ℎ̂ .2Тогда из (4.38) легко следует1ℎ̂ = ℎ − ,1 ℎ̂2илиℎ̂ =11+2 ,1 218· ℎ ,(4.48)а в картине без шляпок это соответствует калибровке1 1 + ,1 ℎ = ℎ .2 1 + 2 ,1 (4.49)Применим гармоническую калибровку (4.48) в полученном уравнениидвижения (4.47):ℎ̂(︂)︂(︀ 2)︀1+2( − 2),1 − − · ℎ̂ = 0.2Бесследовая часть удовлетворяет волновому уравнению с источником,зависящим от следа, а для следа уравнение принимает вид(︂)︂( − 2) 1 + 2( − 1),1 · ℎ̂ = 0,или, эквивалентно, в терминах переменной без шляпки( − 2)1 + 2( − 1),1 · ℎ = 0.1 + 2 ,1 (4.50)Совпадает ли это с тем, что можно получить, непосредственно вариируя действие (4.40) нелокальной картины?Варьируя действие (4.40) нелокальной картины (мы игнорируем любые трудности; по поводу вариирования нелокальных функционалов см.например [166]), получаем( − 1)( − 2)2,1 1( − ) = 0,− −22 (1 + ( − 1),1 )2что в терминах метрики даёт22 2 ℎ + ℎ − ℎ − ℎ[︃]︃(︀)︀( − 1)( − 2)2,1 − +(−)ℎ−ℎ = 0.(1 + ( − 1),1 )2219Применяя ранее выбранную калибровку (4.49), имеем1 + ,1 2 ℎ − ℎ − ℎ1 + 2 ,1 [︃]︃2( − 1)( − 2),1 1 + ( − 1),1 + +(−)ℎ = 02 + ,1 (1 + ( − 1),1 )22и, снова выделяя следовую часть, получаем( − 2)1 + 2( − 1),1 · ℎ = 0.(2 + ,1 ) · (1 + ( − 1),1 )(4.51)Отличие от уравнения (4.50) заключается в нелокальном операторе12(1+(−1),1 ) ,который происходит от замены переменных ℎ̂ → ℎ, содер-жащей производные.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
