Диссертация (1145296), страница 25
Текст из файла (страница 25)
Прверить это явно, однако, не так просто.***Рассмотрим для иллюстрации двумерный случай. В таком случаеимеем (3.43):21 − 22 = 1 ,22 = 2 ,165и следовательно(︃)︃1 −1=2;0 21= 21 2(︃)︃2 10 1.Заметим, что(︁теория)︁ возмущений будет работать просто и однозначнотолько если det̸= 0. Легко видеть, что это так для стандартногокорня из единичной матрицы, но не для необычного с одной +1 и одной−1. В следующем разделе мы увидим, что необычные корни связаныименно с ситуациями вырождения якобиана преобразования между и, поэтому и теория возмущений оказывается нетривиальной.Простым вычислением получаем вклад в уравнения движения от вариации двумерного 1 потенциала)︀ 1 √ (︀√−−1 = 2(︂)︂12 + 1 − − 1 .1 21 2Умножая на −1 , мы видим, что надо убедиться (тогда получим Y(1) ),что ℳ2 = −1 для матрицыℳ=)︀2 + 1 −111 (︀ −1 −( −1 )2 =2 + 22 I ,1 21 21 2где в последнем равенстве мы использовали теорему Гамильтона-Кэли,X2 − 1 X + 2 I = O, для 2 × 2 матрицы X = −1 .
Проверить требуемоеутверждение несложно прямым возведением в квадрат с последующимприменением теоремы Гамильтона-Кэли ещё раз.***В более высоких размерностях всё становится очень громоздко, и мыопускаем соответствующие выражения. Приведём лишь, для последующих ссылок, значение якобиана преобразования между симметрическими полиномами в четырёхмерном(︂det)︂= 24 (1 2 3 − 23 − 21 4 )4×4166(3.49)и трёхмерном(︂det)︂= 23 (1 2 − 3 )(3.50)3×3случаях.3.6Возмущения вокругнестандартных корнейТеперь рассмотрим возможности применения нового метода там, гдестандартный подход не работает – для возмущений вокруг нестандартных корней с континуальной свободой. Отметим сразу, что в случаенестандартных корней требуется большая осторожность с биметрической симметрией (3.25).
При нечётномчислеотрицательных собствен)︁(︁√︀ −1 < 0, поэтому надо писатьных значений корня имеем det√ ↔ −− вместо ↔ − , если считаем − положительным. Этоне великая сложность, но, к сожалению, на ней проблемы не заканчиваются. Однако, обо всём по порядку.3.6.1Замечания о множестве квадратных корнейКак мы уже выяснили, если все жордановы клетки матрицы имеютразличные собственные значения, то в выборе квадратного корня присутствует только дискретная симметрия, соответствующая выбору знака√каждого из чисел . При наличии же совпадающих собственных значений возможна континуальная симметрия, которая возникает при выбореразных квадратных корней для совпадающих собственных значений.На эту свободу можно ещё смотреть с той точки зрения, что преобразования подобия реализуют присоединённое представление группы(, C), и при этом континуальная свобода означает, что неподвижнаяподгруппа исходной матрицы SX ≡ { ∈ (, C) : L X = X} оказалась шире, чем неподвижная подгруппа выбранного квадратного корня,S√X ̸= SX .
Тогда множество корней с фиксированным выбором знаков167при√ приобретает естественную структуру многообразия, а точнее од-нородного пространства SX /S√X .Условия вещественностиДо сих пор мы не учитывали требований вещественности. Междутем,матрицы(︃ это)︃ существенный аспект. Например, для вещественной(︃)︃ + 0нормальная форма имеет комплексный вид.− 0 − √В этом случае мы вынуждены выбрать квадратные корни ± комплексно сопряженными друг другу, чтобы обратное преобразование подобия могло вернуть полученную матрицу к вещественному виду.Также надо иметь в виду, что если вещественная матрица X имеетотрицательные собственные значения, то корни из них чисто мнимые.Однако же, если они идут парами с идентичными жордановыми клетками (то есть имеется чётное число жордановых клеток любого данного размера с данным отрицательным собственным числом), то мнимые√числа можно выбрать в виде комплексно сопряженных пар, и тогдаквадратный корень будет иметь вещественное представление.
См. такжеработу [130] с более подробным обсуждением геометрического и физического смысла условий вещественности.Проблема с вариациями√√√В стандартном подходе предполагается, что X ≡ X + X − Xсуществует и корректно определён как бесконечно малая вариация мат√рицы X. Более того, для возмущений вокруг решения с −1 = I, можно вообще разложить все выражения в простой ряд Тейлора, предполагая, что выбран тривиальный корень из единичной матрицы. Однако, в√противном случае X вообще говоря не коммутирует с I, поэтому не√удаётся записать привычное разложение I + X по степеням X.В случае дискретной симметрии это не более чем техническая сложность (впрочем, вообще не возникающая в нашем методе): надо просто найти правильный способ построить степенное разложение.
В частности, линейная поправка удовлетворяет уравнению типа Сильвестра168√√√ √X · X + X · X = X, и проблема состоит в том, чтобы решить его.Оказывается, что теорию возмущений можно построить в явном виде спомощью подходящих переопределений полевых переменных [134].Континуальная симметрия, как мы уже обсуждали, более проблематична.Рассмотрим, ради явного примера, единичную 2 × 2 матрицу(︃)︃√1 0I=. У неё есть два изолированных квадратных корня, I++ =0 1(︃)︃(︃)︃√1 0−1 0I=и I−− = −I =, а также два (связных) двумер0 10 −1(︃)︃√ 1ных многообразия корней I = I =, где 2 = 1 − 1 2 .
Одна2 −ко, даже бесконечно малое возмущение оставляеттолькочетыре изоли(︃)︃√1 0рованных корня. В самом деле, для M =имеем M ++ =0 1+(︃(︃(︃)︃)︃)︃√√−101010,M −− =,M +− =и√√√0 − 1+0 − 1+01+(︃)︃√−10M −+ =.√01+Интересно отметить, что применение уравнения Сильвестра даёт ре√√зультат только в том случае, если спектры X и − X не пересекаются.Очевидно, что это условие нарушается ровно тогда, когда присутствует континуальная симметрия (для двух совпадающих собственных значений выбраны корни разного знака), как и должно быть. Мы теперьпереходим к применению нашего метода к этим случаям.3.6.2"Игрушечный" пример: двумерный случайБудем для простоты работать с потенциалом, записанным как∑︀± − ( −1 ), где общий знак определяется чётностью или нечётностью числа отрицательных собственных значений, см.(︁замечанияв самом)︁начале раздела 3.6.
Для нестандартных корней det= 0, и теориявозмущений приобретает необычные черты неаналитичности. Поэтомуначнём с простейшего двумерного случая, где всё можно сделать явно ипонять, что к чему.169Рассмотрим квадратный корень√I=(︃)︃−1 001.Другими словами, в качестве фонового решения выбираем1 = 0,2 = −1.Тогда получается1 = 2 + 1 (ℋ),2 = 1 + 1 (ℋ) + 2 (ℋ)с матрицей возмущения ℋ ≡ −1 · . Уравнения для симметрическихполиномов могут быть решены точно. И при нашем выборе фона онидают√︀√2 = − 2 = − 1 + 1 (ℋ) + 2 (ℋ),√︁√︀√︀1 = ± 1 + 22 = ± 2 + 1 (ℋ) − 2 1 + 1 (ℋ) + 2 (ℋ).Видим, что есть два решения для 1 . Более того, в низшем порядкеимеем√︁(︀ )︀11 = ±(1 (ℋ))2 − 42 (ℋ) + ℋ2 ,2что зависит от ℋ как однородная функция первой степени, но не аналитично в нуле.
К тому же возникла неоднозначность: имеется два решения. Причина проста. Для общего возмущения ℋ два собственныхзначения различны, и знак 1 зависит от того, какое из них (большееили меньшее) с каким знаком взято.Понятно, что аналогичные черты должны сохраняться и в болеесложных случаях. Число решений должно быть равно количеству способов распределить знаки "плюс" и "минус" между собственными значениями. Мы это проверим явно в трёх и четырёх измерениях.1703.6.3Трёхмерный случайВ трёх измерениях единственный нетривиальный корень из единичной матрицы равен (с точностью до произвольных преобразований подобия):⎛⃒√︀⃒−1 ⃒=⎞−1 0 0√⎜⎟⎟,= I=⎜010⎝⎠0 0 1(3.51)а потенциал взаимодействия принимает видℒint =√−2∑︁ · (︁√︀ −1 )︁=−=02∑︁)︁(︁√︀−1 · 3− .=0Уравнения для симметрических полиномов (3.43) дают21 − 22 = 1 ,(3.52)22 − 21 3 = 2 ,(3.53)23 = 3 ,(3.54)(︀)︀где ≡ −1 = (I + ℋ):1 = 3 + ℎ1 ,2 = 3 + 2ℎ1 + ℎ2 ,3 = 1 + ℎ1 + ℎ2 + ℎ3 ,а через ℎ ≡ (ℋ) обозначены элементарные симметрические полиномыматрицы ℋ = · .Будем строить теорию возмущений в виде =∑︁() ,(3.55)≥0()где обозначает поправку -ого порядка к -ому полиному.
Нулевые порядки определяются выбранным квадратным корнем из единичной мат-171рицы:(0)(0)2 = −1,1 = 1,(0)3 = −1,так что детерминант в формуле (3.50) очевидно обращается в нуль.Тем не менее, третий полином (детерминант метрики), конечно же,может быть найден с помощью формулы (3.54):(︂)︂(︂)︂11 2111 31ℎ2 − ℎ1 −ℎ3 − ℎ1 ℎ2 + ℎ13 = −1 − ℎ1 −224228(︂)︂(︀ )︀1135+ℎ1 ℎ3 + ℎ22 − ℎ21 ℎ2 + ℎ41 + ℋ5 . (3.56)42432Подставим теперь разложения (3.55) и (3.56) в систему уравнений(3.52), (3.53), сохраняя только члены первого порядка:(1)(1)21 − 22 = ℎ1 ,1(1)(1)21 − 22 + 2 · ℎ1 = 2ℎ1 .2Система, очевидно, вырождена.
Мы получаем1(1)(1)2 = 1 − ℎ1 ,2(3.57)с одной переменной первого порядка, оставшейся неопределённой уравнениями первого порядка.Учитывая полученное соотношение (3.57), уравнения (3.52), (3.53) вквадратичном порядке снова дают два одинаковых соотношения:(︁(1)1)︁2(2)(2)+ 21 − 22 = 0,из которых получаем(2)2=(2)11 (︁ (1) )︁2+,2 1(3.58)снова оставив половину переменных данного порядка неопределёнными.172Обратимся теперь к третьему порядку. Первое уравнение (3.52) принимает вид(3)(3)(1) (2)2 = 1 + 1 1 ,и, с его учётом, можно преобразовать второе уравнение (3.53) к виду(︁(1)1)︁3(︂)︂1 2 (1)111 (︁ (1) )︁2+ ℎ2 − ℎ1 1 + ℎ3 − ℎ1 ℎ2 + ℎ31 = 0, (3.59)− ℎ1 12428который наконец позволяет полностью определить все поправки первогопорядка.Это кубическое уравнение общего вида (три коэффициента зависятот трёх независимых параметров ℎ ).
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
