Диссертация (1145296), страница 21
Текст из файла (страница 21)
Пустьматрица ℳ обладает собственными значениями . Положим∑︁ ≡1 2 · · · .(3.5)1 <2 <...<По определению будем считать 0 ≡ 1. Тогда симметрические полиномыот собственных значений могут быть представлены (теорема Виета) каккоэффициенты характеристического многочлена матрицы ℳ:det (ℳ − I) =∏︁( − ) ==1∑︁(−) − · (ℳ).(3.6)=0Ясно, что 0 описывает лишь космологическую постоянную, а –вообще константу (или космологическую постоянную для второй метрики, если она динамическая). Оставшиеся − 1 параметров описываютвозможные потенциалы для гравитона. В частности в четырёхмерномпространстве-времени есть трёхпараметрическое семейство бездуховыхмассовых слагаемых.В дальнейшем мы будем часто пользоваться упрощённой формой записи, в которой [ℳ] обозначает след матрицы ℳ.
В соответствии с этимимеем [ℳ] ≡ ℳ , [ℳ]2 ≡ (ℳ )2 , [ℳ2 ] ≡ ℳ ℳ , и так далее. В этих133обозначениях можно написать1 (ℳ) =∑︁ = [ℳ],(3.7)2 (ℳ) =∑︁<⎛(︃⎞)︃2∑︁∑︁)︀11 (︀ = ⎝ −[ℳ]2 − [ℳ2 ] , (3.8)2 ⎠ =223 (ℳ) =∑︁ =<<4 (ℳ) =)︀1 (︀[ℳ]3 − 3[ℳ][ℳ2 ] + 2[ℳ3 ] ,6(3.9))︀1 (︀[ℳ]4 − 6[ℳ]2 [ℳ2 ] + 3[ℳ2 ]2 + 8[ℳ][ℳ3 ] − 6[ℳ4 ] .24(3.10)В четырёх измерениях при этом получаем4 (ℳ) = det(ℳ),а в общем случае можно доказать полезное рекуррентное соотношение1 ∑︁ (ℳ) =(−1)−1 [ℳ ] · − (ℳ), =1(3.11)которое автоматически обеспечивает = 0 при > (и, разумеется,детерминант при = ).3.2.1Предел Фирца-ПаулиУбедимся, что теория дРГТ действительно даёт массовое слагаемоеФирца-Паули для малых возмущений вокруг пространства Минковского.Для этого рассмотрим флуктуации метрики = + ℎ .
Договоримся опускать и поднимать индексы у ℎ с помощью фоновой метрики .Напомним, что при этом = − ℎ + ℎ ℎ + (ℎ3 ).134(3.12)Явно вычислим матричный квадратный корень√в ряд Тейлора вокруг I = I,√√︀ −1 , раскладывая11I − = I − − 2 + ( 3 ),28где = ℎ − ℎ2 + (ℎ3 ). Подставляя в формулы (3.7), (3.8), (3.9), (3.10),получаем√︀1 ( −1 )√︀2 ( −1 )√︀3 ( −1 )√︀4 ( −1 )1= 4 − ℎ +23= 6 − ℎ +23= 4 − ℎ +21= 1 − ℎ +23ℎ ℎ + (ℎ3 ),81 2(ℎ ) + ℎ ℎ + (ℎ3 ),81 2 7(ℎ ) + ℎ ℎ + (ℎ3 ),481 2 1(ℎ ) + ℎ ℎ + (ℎ3 ).84(3.13)(3.14)(3.15)(3.16)Разумеется, последнее выражение (3.16) может быть получено и другим√︀способом: 4 ( −1 ) = √1− , где√111− = 1 + ℎ + (ℎ )2 − ℎ ℎ + (ℎ3 ).284(3.17)В квадратичном приближении -слагаемые в действии (3.4) могутбыть получены умножением формул (3.13) – (3.15) на (3.17):√√︀− · 1 ( −1 ) = 4 +√︀√− · 2 ( −1 ) = 6 +√︀√− · 3 ( −1 ) = 4 +при этом√3 1 2 5ℎ + (ℎ ) − ℎ ℎ + (ℎ3 ), (3.18)2483 1 2 1ℎ + (ℎ ) − ℎ ℎ + (ℎ3 ), (3.19)2 8 21 1ℎ − ℎ ℎ + (ℎ3 ),(3.20)28√︀√√− · 4 ( −1 ) = 1 точно, и разумеется − · 0 = −раскладывается в соответствии с формулой (3.17).На данный момент структура Фирца-Паули (3.3) совсем не видна.Однако надо ещё потребовать, чтобы параметры модели были так подобраны, чтобы пространство Минковского действительно являлось реше-135нием.
Линейная вариация дРГТ потенциала дает2 (ℎ) ≡ ∑︁√√︀− · ( −1 )=02(︂= (0) + )︂33110 + 1 + 2 + 3 ℎ + (ℎ2 ),2222Соответственно, необходимо наложить условие0 = −31 − 32 − 3 .После подстановки этого требования в квадратичное действие, получаем знакомый результат:(︀)︀2 (ℎ) − (0) =(1 + 22 + 3 ) · ℎ ℎ − (ℎ )2 + (ℎ3 ).8Полезное замечаниеВыше мы проделали вычисления в стандартном виде. Однако полезноиметь в виду, что при работе с массивной (не полностью биметрической)гравитацией бывает удобно воспользоваться следующим трюком. Заметим, что симметрические полиномы обратной матрици (ℳ−1 ) – этополиномы по переменным1 ,которые очевидно можно получить деле-нием − (ℳ) на detℳ.
Поэтому√√︀√︀√︀−1− · ( ) = − · − ( −1 ),что, в частности, наводит на правильную мысль о том, что опорнуюметрику можно сделать динамической, записав для неё тоже слагаемоеЭйнштейна-Гильберта и не возраждая при этом духа Боулвара-Дезерав теории [118]. Также из этого следует хорошо известная симметрия биметрической дРГТ теории ↔ , ↔ − .136Соответственно, беря метрику Минковского в качестве , можно вы√︀√числять напрямую − ( −1 ) слагаемые действия просто как√︀ − ( −1 ). В частности,√√︀√︀√11−1− · 3 ( ) = 1 ( −1 ) = 1 ( I + ℎ) = 4 + [ℎ] − [ℎ2 ] + (ℎ3 ),28что, между прочим, объясняет загадочное выпадение слагаемого с (ℎ )2√︀√из выражения для − · 3 ( −1 ).3.2.2Доказательство Хассана и РозенОтсутствие духа в полученной теории (конечно же, на классическомуровне) можно также доказать и за рамками теории возмущений.
Лучшевсего для этого подходит гамильтонов анализ.Для действия теории относительности в форме АДМ с добавлениемпотенциала можно записать гамильтониан∫︁=−(︃)︃(︂)︂)︂(3 )1 1 (︁ )︁2 + − − + 2 ▽ 2(︂)︂∫︁√= 3 · (, , ) − 0 − , (3.21)√3 (︂(3 )где импульсы введены стандартным образом, ≡ℒ .Как видим, вотсутствие потенциала переменные шага и сдвига входят линейно, играя роль множителей Лагранжа при стандартных связях общей теорииотносительности (0 и ).Однако, в случае потенциальной функции общего положения, шаги сдвиг входят в лагранжиан и гамильтониан нелинейно, так что вариация по ним даёт уравнения для определения их самих вместо связей напространственную метрику . Лишённая ограничений, последняя соответствует шести поляризациям массивного гравитона, включающимтакже и дух Боулвара-Дезера.Непертурбативное доказательство было дано Хассаном и Розен в серии работ, начиная со статьи [116].
Они показали, что для определяющей137теорию матрицы −1 =12(︃)︃ 1− ( 2 − )можно, после подходящей замены переменных сдвига, представить квадратный корень в виде√︀ −1 =1 1 − (︃1√)︃− − (︃+000 (, ))︃,(3.22)где – новые переменные сдвига. В таком случае, умножая 1 потенциал√√на − = , мы видим, что переменная шага входит в действиелинейно, и значит снова накладывает связь на физический сектор (послеэтого для следующих потенциалов, 2 и 3 , легко проверить, что старшиестепени1в них сокращаются).Приведём некоторые подробности доказательства Хассана и Розен.Они ищут преобразование сдвигов в виде = ( + (, )) · ,(3.23)требуя выполнения свойства√︀ −1 = A + Bс некоторыми матрицами A и B, не зависящими от .
Довольно прямолинейные выкладки показывают, что эти матрицы можно получить ввиде(︃)︃1 1,1 − − − (︃)︃00√︀B=0( − )A = √при условии, что матрица преобразования удовлетворяет уравнению√︁(︁√︀)︁1 − = ( − ) ,138которое заведомо разрешимо.Уравнение движения для переменных сдвига принимает вид)︂(︂)︂ (︂√22 + √· + ( ) = 0,1 − где второй множитель является якобианом преобразования (3.23) и неможет обращаться в нуль, а обращение в нуль первого множителя оказывается уравнением, которое позволяет однозначно найти вектор сдвига:[︀]︀−1/2 = − 44 det + .После этого вариация по отношению к переменной шага дает0 + 2√+ 2[︁ 3−√︀1− ]︁= 0.После подстановки в полученное уравнение найденных значений компонент сдвига, получаем связь на компоненты пространственной метрики. Поскольку калибровочная свобода полностью нарушена, это не может быть связью первого рода.
И действительно, можно показать [119],что коммутация этой связи с гамильтонианом порождает вторичнуюсвязь, и вместе эти связи образуют пару связей второго рода, а дальнейшая проверка самосогласованности определяет значение переменнойшага. Тем самым гамильтонов анализ завершается, и получается система с пятью степенями свободы. Доказательство может быть обобщено наслучай произвольной опорной метрики [117], а также для биметрическихтеорий [118].3.2.3Биметрическая теория и уравнения движенияКак мы уже упоминали, есть замечательная симметрия между симметрическими полиномами для заданной матрицы и для её обратной,поэтому бездуховый потенциал, записанный для метрики с произвольной опорной метрикой , выглядит точно также, как бездуховый потенциал, записанный для метрики с произвольной опорной метрикой .
В139результате оказывается, что можно записать полностью биметрическуютеорию, в которой обе метрики будут динамическими [118]:∫︁√︀2√ − −4 − 2∫︁4(︁√︀)︁ ∫︁∑︁√224 √−1 + 4 −ℒ (, Φ), (3.24)+ −2=−2∫︁4=0где мы ввели лагранжиан (абстрактных) полей материи Φ, взаимодействующих с одной из метрик.Оказывается, если некоторое поле взаимодействует сразу с двумяметриками, это неизбежно возвращает дух Боулвара-Дезера. Впрочем,известна особая комбинация метрик, для которой этот дух появляетсявыше обрезания эффективной теории [128, 129].Отметим, что мы ввели две независимые массы Планка (в коэффициентах при слагаемых Эйнштейна-Гильберта), и биметрическая симметрия имеет теперь вид ↔ ; ↔ 4− ; ↔ ;2.
↔222(3.25)Для вывода уравнений движения удобно заметить, что изℳ = следует√(︁√−1ℳℳ·√)︁ (︁ √ )︁ √(︁ √ )︁√ℳ = ℳ · ℳ+ ℳ· ℳ· ℳ =√−1ℳ(︁ √ )︁ √√· ℳ · ℳ + ℳ.[︁ √ ]︁ 1 [︁√ −1]︁Беря след от этого выражения, получаем ℳ =ℳ · ℳ , и2в результате[︁(︁√︀)︁ ]︁ [︁ (︁√︀)︁]︁−1−1−1 = · ,2140откуда легко выходит(︁√(︁√︀)︁)︁2−1√ − −)︁)︁]︁(︁√︀[︁ (︁√︀∑︁−1+1−1−1=(−1) . (3.26)· −=0Вариация действия (3.24) по отношению к метрике даёт с использованием (3.26):11 − = 2 2(︂3(︁√︀)︁(︁√︀)︁)︂2 ∑︁(−1) Y() − −1 + Y() −1 , (3.27)2 =0где Y() определяются какY(0) (ℳ) = I,Y(1) (ℳ) = ℳ − I · [ℳ] ,[︀ 2 ]︀)︁1 (︁22,Y(2) (ℳ) = ℳ − ℳ · [ℳ] + I · [ℳ] − ℳ2(︁[︀ 2 ]︀)︁12Y(3) (ℳ) = ℳ − ℳ · [ℳ] + ℳ · [ℳ] − ℳ2[︀ 2 ]︀[︀ 3 ]︀)︁1 (︁3− I · [ℳ] − 3 [ℳ] · ℳ + 2 ℳ,632или в общем видеY() (ℳ) =∑︁(−1) (ℳ) · (ℳ)− .(3.28)=0Разумеется, это уравнение будет точно таким же и при фиксированной(нединамической) метрике .
Мы откладывали его выписывание до обсуждения биметрической гравитации только во избежание излишних повторений.141Аналогично, варьируя действие (3.24) по отношению к метрике ,получаем1 − 2(︂3(︁√︀)︁(︁√︀)︁)︂2 ∑︁(−1) 4− Y() =− −1 + Y() −1 ,22* =0(3.29)где введено безразмерное отношение планковских масс * = .Бук-вы или над геометрическими величинами означают, что оные быливычислены для метрики или соответственно.Для полноты отметим, что вследствие тождеств Бьянки (ковариантного сохранения тензора Эйнштейна) из уравнений движения следуютсоотношения∇3∑︁(︂(︁√︀)︁(︁√︀)︁)︂(−1) 4− Y() −1 + Y() −1 =0=0и, с учетом ковариантного сохранения тензора энергии-импульса материи,∇3∑︁(︂(︁√︀(︁√︀)︁)︁)︂(−1) Y() −1 + Y() −1 = 0.=03.2.4Проблема квадратных корнейВо всём предыдущем обсуждении мы игнорировали проблемы существования и единственности квадратного корня.
Они не возникаютпри пертурбативном определении теории, поскольку квадратный кореньвозникает в виде ряда Тейлора. Однако это очень важный вопрос дляпонимания того, как рассматриваемая модель устроена на фундаментальном уровне. Для вещественнозначных невырожденных матриц вещественнозначный квадратный корень существует при очень широкихпредположениях: не должно быть отрицательных собственных значений,отвечающих нечётному числу идентичных жордановых клеток. Можно142убедиться, что несуществование вещественного матричного корня связано с конфигурациями, в которых две метрики теории в некотором смыслекаузально несовместимы друг с другом [130].Вместе с тем существует также проблема неединственности квадратного корня.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
