Диссертация (1145296), страница 16
Текст из файла (страница 16)
Конкретные вычисления и ответы вряд ли представляют существенный интересв свете наличия духовой моды, но их можно найти в нашей работе [2*],при написании которой нам ещё не было очевидно, что у модели есть гораздо более серьёзные проблемы, чем тахионный рост гравитационныхволн.2.2.2Общие возмущения – формализмПерейдём к общему случаю произвольных линейных возмущений ввекторной инфляции. Мы рассматриваем действие∫︁=√[︃− −2(︃1+∑︁1=16)︃()−1 ∑︁4() () −=1∑︁]︃(︀ ())︀4 ,=1(2.14)где () ≡ −() () .
Фоновые уравнения движения имеют вид0 = 0′′ + 2ℋ′ + 2, 2 = 0где = ≡ 2 , ≡,2(2.15)а уравнения Эйнштейна3ℋ = 8(︂ ′2 +22)︂,)︂(︂′22ℋ′ + ℋ2 = 8 2 −.2102(2.16)(2.17)Флуктуации метрики в ньютоновской калибровке, как мы объяснялив первой главе, можно записать как(︀)︀2 = 2 ( ) · (1 + 2) 2 + 2 − ((1 − 2) − ℎ ) с условиями , = 0, ℎ = 0, ℎ, = 0. Для возмущений векторных полейнапишем(︀)︀ = 0 , , + (2.18)(︀)︀где по определению , = 0. Итого имеется 2 + 2 скалярных переменных (, , 0 и ), 2 + 2 компонент от + 1 бездивергентноговектора ( и ) и 2 тензорные поляризации (ℎ ).Линейная вариация тензора Эйнштейна стандартна, а вариация тензора энергии-импульса чрезвычайно громоздка.
Явный вид всех этих выражений можно найти в нашей работе [3*], а здесь мы ограничимся выписыванием возмущённых уравнений движения для векторных полей:( + ), ′ + △ (0 − ′ ) +(︂)︂′′− 22 , (0 + ) = 0,(2.19)− 2′′ − (′ + ′ ) ′ − 0 ′, − △ − ′ , + ℎ′ ′ + ′′(︂)︂′′)︀2 (︀2+ 2 , − + 2 2 22 + 2 + ℎ)︂(︂′′1+ ′′ + △ ( − 2) + ℋ (′ + 3 ′ ) + 2 = 0. (2.20)3Как видим, они тоже весьма громоздки.
Однако легко усмотретьпринципиальный момент, отличающий эту теорию возмущений от случая скалярной инфляции: разные типы возмущений не отщепляются,и в линеаризованные уравнения для векторного поля входит тензорнаявеличина ℎ . В уравнениях Эйнштейна часть подобных слагаемых обратится в нуль, или по крайней мере будет подавлена. Так, можно убе∑︀() ()диться, что в случае изотропного фонаℎ = 0. Но это верно=1103отнюдь не для всех типов смешивающих эффектов. Напомним, хотя бы,что 0 = 0 + (смешивание скаляров и векторов).Линейные возмущенияпри больших и при малых поляхМожно несколько продвинуться в анализе, предполагая, что инфляция происходит на малых полях 2 ≪ 1 (модели типа новой инфляции), как того требует устойчивость по отношению к рождению гравитационных волн.Легко видеть, что лидирующие члены в (2.4) имеют порядок 2 2 ,но при усреднении по всем полям они сокращаются (точно для триадыили приближенно для случайного набора полей).
Но во флуктуацияхподобные слагаемые, разумеется, надо учесть.Поначалу может показаться, что флуктуации должны быть подавлены в силу усреднения по большому число независмо флуктуирующихполей даже в случае инфляции на больших полях. Например, в 00 есть∑︀слагаемое 2 . Вклад каждого отдельного поля может быть какположительным, так и отрицательным, что наивно должно привести кподавлению флуктуаций при → ∞.Однако это неправильное заключение.
В самом деле, феноменологически инфляция характеризуется значением постоянной Хаббла, и мыдолжны удерживать её неизменной при увеличении числа полей. При√инфляции на массовом члене это означает ∝ 1/ , и несмотря на√∑︀статистическое подавление типа 1/ сумма слагаемых 2 оказывается независящей от . Отметим, что это вполне аналогичнослучаю скалярной -фляции [74].Итак, флуктуации оказываются значимыми, в том числе в тех слагаемых, которые выпадают из фоновых уравнений за счёт изотропной∑︀конфигурации фоновых полей. Так слагаемое 2 будет давать√флуктуации порядка 2 ⟨⟩.Если рассматривается инфляция на больших полях, то эффекты смешивания могут быть весьма значительны. Оценивая амплитуду флуктуаций отдельного поля при инфляции на массовом слагаемом как ∝104√√ ∝ , получаем ⟨⟩ ∝ 2 .
Если инфляция начинается при ∼ −1/4 , то эта флуктуация столь велика, что вообще делаетвсё рассмотрение ненадежным.Таким образом, в моделях типа хаотической инфляции не только эффективная масса у гравитона велика и является тахионной, но ещё иприсутствует большая вынуждающая сила со стороны флуктуаций векторного поля. Хоть и контринтуитивно, можно было бы предположить,что эти два эффекта способны компенсировать друг друга.
Однако, какмы уже упоминали, это не так [4*]: анизотропия действительно нарастает.√Вместе с тем, при инфляции с малыми полями, величина ∝√ может быть сделана произвольно малой. Если бы не проблемыустойчивости продольной компоненты векторного поля, возмущения втакой модели могли бы быть космологически приемлемыми [75–77], имеяпри этом потенциально интересные эффекты. В частности, могли бырождаться в некотором количестве векторные моды.2.2.3Проблема духа в продольных компонентахКак уже упоминалось выше, продольная мода тахионного векторногополя – это духовое возбуждение [70,71].
С точки зрения трюка Штюкельберга после замены −→ + , которая не меняет кинетическогослагаемого, видим, что отрицательность 2 становится утверждением онеправильном знаке кинетической энергии поля . Обсудим это несколько подробнее.Векторное поле в пространстве МинковскогоБез обращения к языку Штюкельберга можно понять природу проблем с продольной модой путём рассмотрения уравнения связи (2.2). Дляпростоты будем предполагать пространство Минковского.
Пространственные компоненты векторного поля удовлетворяют обычному урав(︀)︀ →−нению Клейна-Гордона + 2 = 0, которое при тахионной массеявляется неустойчивым, но обладает характерным временем развития105неустойчивости, определяемым величиной ||−1 . Настоящая проблемаприсутствует во временной компоненте, которая определяется уравнени(︀)︀ем связи (2.2), − △ +2 0 + ˙ = 0. В терминах Фурье компонентимеем ˙ ,0 = − 2 + 2(2.21)что расходится при 2 = −2 > 0.
На этой длине волны продольнаямода запрещена, а компонента 0 произвольна. В проколотой окрестности этого значения волнового числа продольная мода существует, носопряжена со сколь угодно большими значениями 0 .Разумеется, столь просто эта картина выглядит только благодаря линейности рассматриваемого уравнения. При включении взаимодействийрасходимость одной из компонент поля станет катастрофой. Конечно,наивно можно было бы надеяться на то, что нелинейность может, наоборот, помочь, устранив полюс резонансного характера в (2.21), например,сделав эффективную массу положительной при больших значениях 0 .Ясно, однако, что это невозможно без нарушения лоренцинвариантности, что хорошо согласуется с картиной Штюкельберга. Известно, что в лоренц-инвариантной теории поля дух представляет собойочень серьёзную проблему, если только речь идёт не об эффективнойтеории при духовом полюсе, лежащем выше масштаба обрезания теории,что в данном случае заведомо не так (эффективный массовый параметр2 должен быть мал, чтобы обеспечить режим медленного качения).Разумеется, несложно также построить гамильтонов формализм, чтобыубедиться, что гамильтониан неограничен снизу.Заметим, что в работах [73,75–77] защищается точка зрения, что векторная инфляция является достаточно жизнеспособной теорией (и дажеможно вычислить негауссовость).
Однако, это достигается, по сути, игнорированием проблемы. В длинноволновом режиме применяется формализм [78], а проблемы на хаббловских и более мелких масштабахигнорируются на основе того понимания, что неминимальное взаимодействие может быть лишь эффективным слагаемым, а сама скалярнаякривизна тоже не может уже считаться лишь числовым параметром на106малых масштабах, поскольку испытывает флуктуации. Строго говоря,всё это верно, но ясно, что последовательной теории у нас при этом больше нет, тем более что дух появляется не слишком глубоко под гоизонтом.Интересно однако попытаться явно описать поведение продольной модыв опасном режиме.Продольная мода при инфляцииДля продольной моды ( = ) можно выразить временную компоненту из уравнения связи (2.2), чтобы получить уравнение движенияв замкнутом виде.
Предполагая пространство де Ситтера ( 6 = −2 2 ),имеем(︃¨ + 3 +)︃22 222+ 2 − 2 2(︃˙ +22 2 22+ 2 +222+ 2 − 2 2)︃ = 0.(2.22)Проблема существует при22= 2 2 − 2 .Для простоты будем пренебрегать массой векторного поля → 0(её включение качественно результатов не меняет). Рассмотрим длинуволны, которая в некоторый момент времени 0 была глубоко под горизонтом, скажем22= 4 2 . Тогда имеем22= 4 2 −2(−0 ) , а уравнение(2.22) принимает вид(︁)︁(︁)︁2(−0 ) ¨2(−0 )2− + 10 − 3˙ + 8 2 −2(−0 ) = 0.Вводя новую переменную времени = 2( − 0 ) − ln2 (не путать сконформным временем!), получаем¨ + (5 − 3 ) ˙ + − = 0.2(1 − )(2.23)Критическое значение волнового числа пересекается при = 0. В этот,¨ обращается в нуль. Этои только в этот, момент коэффициент при означает, что двухпараметрическое семейство решений касается однопараметрического семейства кривых ˙ = − в этой точке.
Поведение это2устойчиво, поскольку если ˙ ̸= − 2 при некотором малом < 0, то107¨ ∼вторая производная ˙ +2имеет подходящий знак и корректируеттраекторию.Мы хотим понять, как ведут себя решения уравнения (2.23) в окрестности точки = 0. Будем считать, они могут быть представлены в видеряда по степеням . Ясно, что разложение либо должно начинаться с члена 2 (продольная мода исчезает при подходе к сингулярной точке), либоследует взять 1 − 21 , чтобы удовлетворить уравнению касательного се∑︀ .мейства.
Итак, можно искать решение в виде = − 2 + 2 +≥3Легко проверить, что первые три члена решают уравнение (2.23) с точностью до ( 2 ) при произвольных параметрах и , а рассмотрениеследующих приближений позволяет последовательно определять все коэффициенты через значения этих двух параметров.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
