Диссертация (1145296), страница 15
Текст из файла (страница 15)
При этомтоже возникают проблемы неустойчивости, а также, с нашей точки зрения, в определённом смысле теряется векторный характер модели. Мыподобную возможность в дальнейшем не будем рассматривать.В нашей работе [1*] было предложено использовать неминимальноевзаимодействие векторного поля со скалярной кривизной вида 26 ,ко-торое позволяет избавиться от необходимости тонкой подстройки тахионной массы. Проблему анизотропии можно решать либо посредством триады, либо большим количеством случайно ориентированных векторныхполей.
Эта работа породила широкий отклик и многие десятки новыхстатьей о векторной инфляции, возможно, по причине того, что ситуация уже назрела, и многие космологи всерьёз интересовались векторными полями, см. например работу [69].93Разумеется, проблема заключается в том, что мы лишь предложилиспособ естественного введения эффективной добавки к массе векторногополя, не изменив её тахионного характера для ускоряющихся космологий. Как хорошо известно, тахионная масса векторного поля приводит кпоявлению духового возбуждения в продольной компоненте поля, что вприменении к нашей модели векторной инфляции было впервые отмечено в заметке [70]. (В работе [64] есть аналогичное обсуждение в случаеявной тахионной массы, но старые статьи по инфляции с векторными полями не пользовались широкой известностью.) Примерно в то же времямы [2*] обнаружили анизотропную неустойчивость в моделях с большими полями.Наши модели векторной инфляции оказались фатально неустойчивыми.
Однако они привели к активизации исследований по векторнымполям в космологии, и в результате появились более жизнеспособныемодели, о которых мы кратко расскажем в разделе 2.3, не содержащемнаших результатов. В остальных же разделах данной главы представлены наши работы по векторной инфляции – в несколько сокращённомвиде, делая упор на те аспекты, которые продолжают оставаться интересными даже после установления неустойчивости исходных моделей.2.1Векторная инфляцияМы рассматриваем массивное векторное поле, неминимально взаимодействующее с гравитацией:∫︁=4√(︂(︂)︂)︂112− −− + + ,16 426(2.1)где как обычно ≡ − .
Заметим, что в этих работах мыпринимали сигнатуру (+, −, −, −). Легко получить уравнения движения:(︂)︂)︀1 (︀√√− + 2 + = 0.− 694В пространственно плоской фридмановской вселенной2 = 2 − 2 () имеем для временной и пространственной компонент(︂)︂112− 2 ∆0 + +0 + 2 ˙ = 0,6(2.2)(︂)︂˙1˙1 − ˙ 0 − 0 + 2 ( ) = 0. (2.3)¨ + ˙ − 2 ∆ + 2 +6Инвариантным образом описать величину векторного поля можно посредством скаляра1 ,2поэтому мы вводим новые переменные ≡ / вместо .
Для про = = 20 −странственно однородного векторного поля ( = 0) немедленно получаем из (2.2), что0 = 0,а уравнение (2.3) принимает вид¨ + 3 ˙ + 2 = 0,где ≡ /.˙Заметим, что эффективная масса для поля оказаласьмалой (без поправок порядка 2 ) только за счёт сокращения с тахионным вкладом от скалярной кривизны: в обычной ситуации векторныеполя в расширяющейся вселенной убывают.Поскольку полученное уравнение имеет точно такой же вид, что иуравнение движения пространственно однородного канонического скалярного поля, оно в случае достаточно малой массы описывает режиммедленного качения. Требуется выяснить, будет ли оно совместно сквази-де-ситтеровским расширением вселенной.Интерпретируя тензор энергии-импульса как величину, приравниваемую к тензору Эйнштейна, получаем из вариации действия (2.1) по95метрике(︂)︂11 2 − 2 = − + +462(︂)︂)︀111 (︀ + − + − ∇ ∇ .(2.4)626Во фридмановской метрике для пространственно однородного векторного поля имеем следующие ненулевые компоненты:00)︁1 (︁ ˙ 22 2= + ,2(2.5))︁ 2(︁)︁ ]︂5 (︁ ˙ 212 22˙ + 3 2 = − − − ˙ −633)︁ (︁)︁(︁22˙˙˙˙˙+ + + + + 3 − .
(2.6)[︂Присутствие внедиагональных компонент показывает, что фоновое векторное поле несовместимо с метрикой изотропной вселенной, что неудивительно.Одним из возможных решений будет рассмотреть [64] тройку взаим()но ортогональных векторных полей одной длины ||, для которых∑︀ () ()∑︀ () () = ||2 и = ||2 . Соответственно, для тензораэнергии-импульса получаем00)︁3 (︁ ˙ 22 2== + ,2)︁3 (︁ ˙ 22 2== − − ,2а компоненты всех векторных полей удовлетворяют уже знакомому урав−нению¨ + 3 ˙ + 2 = 0.Константа Хаббла равна)︁22 2˙ = 4 + .2(︁96(2.7)Таким образом, все уравнения имеют абсолютно тот же вид, что и вскалярном случае, а значит, возможен инфляционный режим медленногокачения.Другой возможный подход к разрешению проблемы изотропии – рассмотреть большое число случайно ориентированных полей.
Для простоты будем считать, что все поля имеют одинаковую массу и примерноравную амплитуду. Тогда их вклад в плотность энергии оценивается как00)︁ (︁ ˙ 22 2 + .=≃2В пространственных компонентах внедиагональные части оказываютсяподавлены в силу случайности направлений по механизму типа случайного блуждания. Условно запишем это в виде∑︁() () =1√ 2 ≃ + (1) 2 .3Из (2.6) видим, что в течение инфляции внедиагональные компонен√ты имеют порядок 2 2 . Почти изотропное инфляционное решение получается самосогласованным только в том случае, если они многоменьше диагональных компонент ∼ 00 ∼ 2 ; соответственно должновыполняться < 1/ 1/4 . С другой стороны, условие медленного качения нарушается, и инфляция заканчивается, когда ≃ .
Учитывая,что во время инфляции2 =84≃ 2 2 ,33(2.8)находим, что при ≃ 1/ 1/2 инфляция заканчивается, и векторныеполя переходят в осциллирующий режим. Сравнивая два условия, получаем возможный интервал значений векторного поля11√>>√4для поддержания инфляционного расширения.97Число возможных -фолдингов инфляции оценивается стандартнымобразом. А именно, учитывая, что в режиме медленного качения2˙ ≈ −,(2.9)3(︀∫︀)︀можно в соотношении ∝ exp () , где константа Хаббла дается выражением (2.8), заменить переменную интегрирования с на , итогда находим возрастание масштабного фактра за время инфляции(︀)︀2≃ exp 2 ,где – начальное значение полей (конечным значением пренебрегли).√Принимая ≃ −1/4 , находим 2 -фолдингов.
Таким образом,для объяснения начальных условий для современной Вселенной требуется несколько сотен векторных полей. При этом будет предсказана ани√зотропия порядка ≃ 1/ (несколько процентов) в конце инфляции,которая может сказаться на низших мультиполях в реликтовом фоне.Разумеется, данная модель может быть обобщена на случай болеесложного распределения полей по массам.
И в частности, самые лёгкие поля могли бы до сих пор пребывать в режиме медленного качения,представляя собой Тёмную Энергию.Случай произвольного потенциалаКонечно же, массовый член в качестве потенциала для векторногополя был выбран только из эстетических соображений. Можно рассмотреть произвольный потенциал ( ) вместо 21 2 2 . В таком случаеполучаем уравнения движения˙¨ + 3 ˙ + ′ ( 2 ) = 0,где штрихом обозначена производная потенциала по его аргументу(не путать с производной по конформному времени!). Тензор энергии-98импульса во фридмановской вселенной принимает значение00(︀ 2 )︀)︁1 (︁ ˙ 2= + ,2[︂)︁ ]︂(︀)︀5 ˙ 2 1 (︀ 2 )︀ 2 ˙1 (︁ ˙= − + − − + 3 2 − ′ 2 2 6233(︁)︁ (︁(︀ 2 )︀)︁2′˙˙˙˙˙+ + + + + 3 − ,а после усреднения по полям даёт(︀ 2 )︀)︁ (︁ ˙ 2− + .=≃2√Выход из инфляции происходит при ′ / ∼ .
Поскольку значение−векторного поля при выходе из инфляции зависит от формы потенциала, это позволяет управлять остаточной анизотропией, которая имеет√порядок 2 .2.2Космологические возмущенияв векторной инфляцииК сожалению, теории векторной инфляции для достижения режимамедленного качения используют неминимальное взаимодействие с гравитацией, которое действует как тахионная масса. Для продольной поляризации векторного поля это очень плохая новость [70–72], посколькуона становится духовой степенью свободы (отрицательная кинетическаяэнергия), что легко понять с помощью трюка Штюкельберга.Эта проблема проявляется в том, что несмотря на хорошие фоновыеуравнения, уже линейные возмущения становятся неустойчивыми.
Темне менее, некоторые особенности возмущений оказываются сами по себепоучительными в результате вмешательства фоновых векторов, вообщеговоря не позволяющих расщепить флуктуации на три невзаимодействующих сектора. Поскольку сейчас рассматриваются другие, потенциаль99но жизнеспособные, модели с векторными полями, обсуждение общихсвойств теории возмущений в присутствии фоновых векторных полейможет быть полезно.2.2.1Гравитационные волныРассмотрим для начала простой случай, когда к фоновой метрике добавлены только поперечные бесследовые возмущения в пространственном секторе (гравитационные волны). Разумеется, это не вполне самосогласованная постановка задачи, но она позволяет увидеть некоторыеинтересные особенности модели. Итак, переходя к конформному времени, мы рассматриваем метрику)︀(︀2 = 2 ( ) 2 − ( − ℎ ) ,где ℎ = 0 и ℎ, = 0.Других тензорных переменных в возмущениях нет.
Однако слагаемыетипа , строго говоря, взаимодействуют с гравитационными волнами. Мы их откинем и посмотрим, что получится. Наивно (см. ниже)можно ожидать, что в случае большого числа случайно ориентированных векторов усреднение подавит подобные члены. А в случае триадыотбрасывание этих слагаемых соответствует предположению, что по темили иным причинам допустимы лишь возмущения, поворачивающие илирастягивающие триаду как целое, но не нарушающие условие изотропиидля полного тензора энергии-импульса.
По крайней мере, так можно получить ту часть уравнений для тензорных мод, которая не зависит отвзаимодействия со скалярным и векторным секторами.Опуская громоздкие (но несложные) выкладки, получаем квадратичное действие1≈8∫︁2[︂(︂1 2+86)︂ (︁)︁]︂′222 2ℎ − ℎ, − ℎ 3 100(2.10)и уравнение движения4 ′ℎ + 2 ℋ +3 + 4 2(︂′′)︂ℎ′ − △ℎ = −2 ℎ(2.11)в интересующем нас секторе, где эффективная масса равна(︀ ′′2 ≡ −163)︀− 2, − 45 2 , 2 2 + ( ′ + ℋ)2,3 + 4 2(2.12)и мы поменяли обозначение производных потенциала на , ≡, ≡2 2,, где ≡ 2 , во избежание путаницы с производными поконформному времени. Массовое слагаемое происходит из членов типа и .
В режиме медленного качения сама меняется медленно.¨ ≪ ˙ следует ′′ ≈ ℋ ′ , и можноПри медленном качении из получить)︀ 2 2104 2+−8+, 3 ,5.2 ≈ 163 + 4 2(︀(2.13)Например, в случае простейшей хаотической ифляции на массовом сла(︀ )︀гаемом ( 2 = 12 2 2 ) получаем22 2≈ 16 2(︂5 − 12 29 + 12 2и вспоминая, что для инфляции требуется &)︂√1 ,,мы видим, что гра-витационные волны могут начать расти за счёт эффективной тахионноймассы.Заметим, что, в отличие от стабильных случаев, это заключение врядли может измениться в полной картине от того, что у тензорных модпомимо тахионной массы появятся еще и "внешние силы" от другихтипов возмущений. В работе [73] было высказано предположение, чтоэтот результат – не более чем артифакт приближённого анализа. Однако нетрудно убедиться, что даже в однородном режиме анизотропиянарастает [4*], рассмотрев пространство типа Бианки I.101Аналогично можно рассмотреть ряд других традиционно используемых потенциалов и убедиться, что в случае инфляции хаотического типа масса обычно оказывается большой тахионной (что и не удивительно, поскольку в этих моделях векторные поля имеют большую величинуи действуют вполне аналогично случаю инфляции на массовом слагаемом), а для потенциалов типа новой инфляции гравитационные волны(в рамках нашего "приближения") оказываются стабильными.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
