Диссертация (1145296), страница 11
Текст из файла (страница 11)
Более того, если после окончания инфляции перенагревВселенной (reheating) ограничился температурами меньшими ВеликогоОбъединения, то и проблемы магнитных монополей не возникает.Длины волн и хаббловский масштабИнфляция позволяет получить естественное объяснение происхождения первичных флуктуаций и предсказать их спектр, в хорошем согласии с наблюдениями. Это связано с тем, что для динамики возмущенийв расширяющейся вселенной важную роль играет масштаб (четырёхмерной) кривизны, или Хаббловский масштаб.Для более коротковолно-вых возмущений кривизна Вселенной не очень важна, и их поведениеблизко к обычным волновым процессам. А для более длинных волн пространственные производные в уравнениях движения оказываются малы,и справедливо приближение "отдельных вселенных". Типичное поведение при аккуратном выборе переменных – одна мода почти постоянная,а другая – быстро затухающая.При этом надо иметь в виду, что длины волн меняются пропорционально масштабному фактору, а поэтому=˙)︀ = .(︀˙ −1 −168Отсюда ясно, что в замедленно расширяющейся вселенной длины волнвозмущений становятся всё более короткими по сравнению с Хаббловским масштабом, который в стандартной космологии с обычной материей по порядку величины совпадает с горизонтом видимой части вселенной.
Образно говорят, что возмущения заходят под горизонт. Приэтом предсказание флуктуаций реликтового фона требует произвольного выбора начальных условий в каузально несвязанных областях. СпектрХаррисона-Зельдовича [16,17] получается из естественного, но строго говоря ничем не оправданного, предположения о масштабной инвариантности флуктуаций.Совсем иное поведение присуще инфляционным моделям. Длиныволн растут намного быстрее, чем масштаб кривизны (в квази-деситтеровской стадии первые растут почти экспоненциально, а второй –почти постоянен).
Соответственно, первичные флуктуации могли рождаться на очень малых масштабах во время инфляции, и иметь квантовую природу. Их длины волн сильно росли во время инфляции (минимально необходимое инфляционное расширение Вселенной оцениваетсякак в 50÷60 раз, или как говорят, пятьдесят - шестьдесят -фолдингов),так что во время выхода из инфляции и в очень ранней горячей Вселенной они были "за горизонтом" ( ≫ −1 ), и на них практическине влияла плохо известная физика соответствующих состояний материи.Одна мода осталась почти неизменной, а другая затухла, обеспечив когерентность колебаний. В замедленной фазе расширения длины волн последовательно опять входят под горизонт и вызывают звуковые волны впервичной плазме, наблюдаемые посредством флуктуаций в реликтовомфоне.Скалярный инфлатонВозникает вопрос, можно ли предложить работающую модель инфляции, ведь, как мы уже видели ранее, для ускоренного расширениянеобходимо экзотическое состояние вещества с отрицательным давлением.
Оказывается, достаточно использовать каноническое скалярное поле69со стандартным действием∫︁=√ −4(︂)︂1(▽ )(▽ ) − () .2(1.76)Для него нетрудно вычислить тензор энергии-импульса и убедиться, чтоплотность энергии и давление для пространственно однородного скалярного поля равны1 = ˙ 2 + (),(1.77)21 = ˙ 2 − ().(1.78)2Очевидно, требуется режим, в котором потенциальная энергия доми-нирует над кинетической. Ясно, что это будет режим медленного каченияскалярного поля по достаточно плоскому плато потенциальной энергии.Более того, потенциал должен быть даже не столько именно плоским,сколько просто не крутым, поскольку уравнение движения¨ + 3 ˙ + ′ = 0,где ′ ≡ ,(1.79)содержит слагаемое 3 ,˙ играющее роль вязкого трения(хаббловское трение).По аналогии с движением в вязкой среде можно ожидать, что существует режим медленного качения, при котором′˙ ≈ −.3(1.80)Мы не будем вдаваться в подробности строгого установления условий,при которых существует этот режим.
Обычно бывает достаточно контролировать малость двух параметров медленного качения:1≡16≡(︂′)︂2≪ 1,1 ′′≪ 1.8 70(1.81)(1.82)При рассмотрении негауссовости в первичных флуктуациях могут потребоваться аналогичные параметры со следующими производными потенциала.Смысл первых двух параметров в том, что медленно меняется постоянная Хаббла˙≈ −,2а также можно пренебречь второй производной инфлатона по времени вего уравнении движения1.2.6¨≈ − . ˙Основы космологической теории возмущенийДля теоретического изучения малых отклонений от однородности часто бывает удобно перейти от физического времени к конформному посредством замены переменных 2 ( ) 2 = 2 . При этом метрикапространственно плоской фридмановской вселенной оказывается (четырёхмерно) конформно плоской = 2 ( ) .
Во избежание путаницыобычно договариваются производную по конформному времени обозначать штрихом вместо точки. Производные при этом пересчитываютсяочевидным образом, и в частности можно ввести аналог постоянной Хаббла ℋ =′= .Запишем линеаризованную флуктуацию метрики в виде(︀2 = 2 ( ) (1 + 2) 2 + 2( + ) )︀+((−1 + 2) + 22 + + + ℎ ) , (1.83)где по определению принято = = ℎ = ℎ = 0 – бездивергентность и бесследовость всех величин, для которых это имеет смысл.Очевидно, что такое разбиение на скаляры , , , , векторы , и(симметричный) тензор ℎ связано просто с неприводимыми представлениями группы трёхмерных вращений, так что в линейном приближенииможно рассматривать три сектора независимо.71Например, если дано векторное уравнение, оно может содержать какбездивергентные вектора, так и градиенты скаляров.
Возьмем от негодивергенцию. Тогда получается, что лапласиан от некоторого линейного выражения, составленного из скалярных величин, обращается в нуль.В теории возмущений мы это интерпретируем как уравнение, требующее обращения в нуль самого скалярного выражения. А бездивергентная часть исходного уравнения обращается в нуль самостоятельно, даваянезависимое уравнение для векторных величин. На языке квадратичного действия это расщепление проявляется в невозможности записатьинвариантное квадратичное взаимодействие скаляра и бездивергентноговектора, не исчезающее при интегрировании по частям.Калибровочная свободаНа данном этапе линейные флуктуации геометрии параметризованыдесятью величинами - по числу компонент метрики. Однако необходимоещё помнить о свободе координатных преобразований, ведь бесконечномалое координатное преобразование можно описать как изменение переменных, описывающих флуктуации метрики, без изменения самой фоновой метрики.
Представив такое преобразование как → + (),легко видеть, что метрика в линейном приближении претерпевает изменение = − − − .Тензорные флуктуации ℎ при этом не меняются, отражая объективный характер гравитационных волн. Далее, разделив пространственныекомпоненты на градиентную и бездивергентную части, а также отдельно выделив его временную часть, легко установить, что половинаскалярных и половина векторных возмущений оказываются чистыми калибровками, а инвариантны следующие потенциалы:Φ=−1′(( − ′ )) ,Ψ = + ℋ( − ′ ),72 = − ′ .Как всегда, возможны различные выборы калибровки.
Для численных методов удобной бывает синхронная калибровка (все флуктуации –в пространственных компонентах метрики), которая очевидно получается при = = = 0. Для теоретических исследований весьма хорошаньютоновская калибровка = = = 0, оставшиеся потенциалы в которой, к тому же, численно совпадают с калибровочно-инвариантнымипеременными.Если же рассматривается вселенная, наполненная веществом, то возможны и другие естественные выборы калибровки, например калибровка, в которой обращается в нуль флуктуация плотности энергии = 0.Можно считать, что при этом плотность энергии вещества в расширяющейся Вселенной использована для задания переменной времени.Идеальная жидкостьДля многих, хотя и отнюдь не для всех, задач теоретической космологии достаточно приближения идеальной жидкости для вещества,заполняющего вселенную: = − + ( + ) (1.84)где – 4-скорость жидкости.
Напомним, что в системе покоя =0( ) ,и это будет фоновым значением 4-скорости в космологической системеотсчёта.Тензоры энергии-импульса скалярного поля и пылевидной материивсегда имеют такой вид, а для применимости этого приближения к электромагнитной плазме необходимо, чтобы диффузионная длина фотонабыла много меньше характерных линейных размеров изучаемых флуктуаций.Получаем линеаризованные компоненты тензора энергии-импульса:00 = + ,7310 = ( + ) , = −( + ) ,причём, в рамках раздельного анализа скалярных и векторных возмущений, необходимо разложить пространственные компоненты скоростина градиентную и бездивергентную части = + ˜ ,где ˜ = 0, что соответствует разложению на потенциальное и вихревоетечения.Линеаризованные гидродинамические уравненияЧтобы записать уравнения теории возмущений [18], нужно найти тензор Эйнштейна возмущённой метрики в линейном приближении.
Это задача решается вполне прямолинейно, но весьма громоздко. Мы ограничимся выписыванием ответов в ньютоновской калибровке.В тензоре энергии-импульса идеальной жидкости отсутствуют тензорные флуктуации, поэтому в линейном приближении гравитационныеволны не взаимодействуют с идеальной жидкостью:ℎ′′ + 2ℋℎ′ − ∆ℎ = 0.В коротковолновом (высокочастотном) режиме можно пренебречь вторым слагаемым, и мы имеем волновое уравнение. В длинноволновом приближении малым оказывается последнее слагаемое, и уравнение описывает две моды: одну быстро затухающую, и одну почти постоянную.Для векторных флуктуаций смешанные (0) компоненты уравненийЭйнштейна связывают скорость вихревого движения с векторными возмущениями метрики, в то время как пространственные компонентыуравнений показывают, что последние убывают.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
