Диссертация (1145296), страница 7
Текст из файла (страница 7)
В ковариантном виде можно потребовать, чтобы спин-связность была плоской.Обозначая детерминант матрицы через ‖‖, мы видим из соотношения (1.50), что действие∫︁W = −4 ‖‖ · Tэквивалентно действию общей теории относительности(1.55)∫︀(0)√4 − ·( Γ ),с точностью до отбрасывания поверхностных слагаемых. Разумеется,с той же точностью на уровне действия восстанавливается локальнаялоренц-инвариантность даже при явном выборе нулевой спин-связности.Уравнения движенияКак обычно, уравнения движения выводятся путем вариированиядействия по отношению к полям тетрад. Это нетрудно проделать даже для случае ненулевой фиксированной спин-связности. В частности, в43первом порядке по вариациям имеем = − ,(1.56)‖‖ = ‖‖ · ,(︀)︀ = + ,(1.57)(1.58) = − ( + ) ,(︀)︀ = − + D − D .(1.59)(1.60)Для квадратичных инвариантов тензора кручения это даёт:(︀)︀ ( ) = −2 + + 2 ( − ) · D , (1.61)(︀)︀ ( ) = 2 − (︀)︀+ − · D , (1.62) ( ) = 4 · D − 4 .(1.63)В частности, для телепараллельного эквивалента общей теории относительности (1.55) получаем∫︁ = −(︁4 ‖‖ · −2 +T −2 D )︁,где лоренц-ковариантная производная D в нашем случае совпадает спростой частной производной, поскольку = 0 по определению геометрии Вайтценбёка.Интегрирование по частям в последнем слагаемом даёт2(︁(︁· ‖‖ · )︁− ‖‖ · (︃= 2‖‖ ·44(0))︁▽ − )︃· (0)где мы учли антисимметрию , а также различие между Γ и Γ с помощью второго слагаемого в правой части.
В самом деле, в силу антисимметрии тензора имеем(0)▽ =(0)1 (‖‖ ) − ,‖‖(0)а разницу в связностях учитываем посредством − = .Используя невырожденность тетрад, уравнения движения можно записать в виде(0)1▽ − ( + ) + T = 0,2(1.64)эквивалентность которого общей теории относительности можно установить, напрямую подставив тождество(︃(0)(0))︃(0) ( Γ ) = − ▽ − ▽ + − в уравнения Эйнштейна = 0.Взаимодействие с материей можно ввести самосогласованным образом.
Для бозонных полей всё просто: они обычным образом взаимодействуют с метрикой (1.41). Для фермионных полей необходимо вводить(0)спин-связность , что не столь естественно для телепараллельного подхода, но тоже возможно.1.2Основы теоретической космологииПредставление гравитации как кривизны пространства-времени позволило сформулировать космологические вопросы на научном языке, наязыке теоретической физики. Современной космологии посвящено многохороших учебников и монографий, например двухтомник [5,6].
Мы кратко изложим современную космологическую картину мира, чтобы описатьсовременное положение дел и дать (надеемся) убедительную мотивиров45ку для занятий модифицированной гравитацией. При этом, посколькуфактический материал в основном представлен общеизвестными фактами, мы позволим себе ограничиться лишь избранными ссылками налитературу, отсылая заинтересованного читателя, например, к двухтомнику [5, 6] и ссылкам в нём.1.2.1Релятивистская космологияВ основе космологических моделей лежит предположение о том, чтоВселенная пространственно однородна и изотропна, и соответственноописывается метрикой Фридмана-Робертсона-Уокера. Мы не будем повторять несложных общеизвестных выкладок, которые при подстановкеэтой метрики в уравнения Эйнштейна приводят к уравнениям Фридмана)︂3 + 2 = 8,2˙ + 3 2 + 2 = −8,(︂в которых ≡˙2(1.65)(1.66)– постоянная Хаббла, – плотность материи, –её давление, а равно 0 или ±1, причём в последних случаях радиуспространственной кривизны положен равным единице.Мы будем практически всегда рассматривать пространственно плоский случай = 0, метрика которого может быть записана как−→2 = −2 + 2 ()2 .Видно, что для пространственно плоского мира заданному значениюпостоянной Хаббла ≡˙соответствует вполне определённая плотностьматерии, наполняющей Вселенную – "критическая плотность"cr =3 2.8(1.67)Отметим, что численное значение константы Хаббла в современную эпоху известно отнюдь не столь хорошо, как хотелось бы.
В связи с этим46для удобства и минимизации погрешностей при анализе данных вводятпараметрℎ≡,km100 s·Mpc(1.68)который равен примерно 0.7. Для критической плотности имеемcr = 1.878 · ℎ2 · 10−29g.cm3По современным данным суммарная плотность вещества в нашей Вселенной весьма (с процентной точностью) близка к критической (впрочем,95% этой плотности имеет непонятную природу). Отметим, что в замкнутой вселенной > cr , а в открытой – наоборот < cr .Чтобы решить уравнения Фридмана, требуется ещё знание уравнения состояния вещества, наполняющего Вселенную.
В космологии частобывает достаточно предположить следующий простой вид зависимости: = ,(1.69)с постоянным параметром уравнения состояния .Если присутствует лишь одна компонента материи с постоянным параметром > −1, то легко найти решение и получить степенной законрасширения2() = · ( − 0 ) 3(+1)(1.70)с двумя постоянными интегрирования, и 0 . Последнюю можно безограничения общности положить равной нулю, договорившись отсчитывать время от начальной сингулярности.Случай = −1 отвечает космологической постоянной и (экспоненциальному) решению де Ситтера. Если < −1 (так называемые фантомные поля), то вселенная заканчивает своё существование в сингулярности Большого Разрыва.Рассмотрим наиболее важные примеры.47Доминирование материи (пылевидная стадия)В случае нерелятивистской материи = 0.
Доминирует энергия покоя, и давление пренебрежимо мало в сравнении с ней. В космологиитакое вещество обычно называется пылью. Решение принимает вид2() ∝ 3 .Отметим, что11∝.23Это является простым отражением того факта, что предоставленный ∝ 2 ∝объём растет как 3 при неизменном полном числе частиц, которое определяет массу.Доминирование излученияКак известно, для газа фотонов (и любых других ультрарелятивистских частиц) = 13 , то есть = 13 .
Тогда имеем() ∝√,то есть излучение замедляет Вселенную больше, чем пыль. Этот, возможно контринтуитивный, результат является проявлением того, что давление тоже служит источником гравитационного поля. При этом плотностьэнергии убывает с ростом масштабного фактора быстрее, чем в случаепыли11∝,24поскольку помимо уменьшения плотности числа частиц, энергия каждой ∝ 2 ∝частицы убывает как1вследствие красного смещения.Сегодня вклад пыли в энергетический баланс Вселенной намного превосходит таковой от излучения, но очевидно, что так было не всегда.Ранняя Вселенная должна была быть радиационно-доминированной.48Параметр замедленияУже сравнительно давно был введён в обиход параметр замедления=−¨,˙ 2(1.71)который в обезразмеренном виде показывает, сколь существенен эффектзамедления Вселенной.
Сегодня мы знаем, что Вселенная расширяетсяускоренно, что отвечает случаю < 0. По историческим причинам влитературе предпочитают рассматривать отрицательный параметр замедления, а не вводить положительный параметр ускорения.Из закона расширения (1.70) легко видеть, что для ускоренногорасширения требуется вещество с отрицательным давлением, причём с < − 13 .1.2.2Параметры космологической моделиРеальная Вселенная заполнена веществом, состоящим из несколькихразличных компонент.
Этот состав традиционно описывается параметрамиΩ =8=,3 2(1.72)∑︀которые всегда относят к текущей эпохе. Очевидно,Ω = 1 в плоской∑︀∑︀вселенной,Ω > 1 в замкнутой, иΩ < 1 в открытой. Формальноможно ввести и вклад пространственной кривизны, тогда сумма всех Ωбудет тождественно равна единице.Вклад излучения можно оценить с помощью планковского распределения для температуры реликтового фона, которая равна примерно2.7K. Результат соответствует примерно 410 фотонам в кубическом сантиметре, или Ω < 10−4 . Отметим сразу, что излучение реликтового фонас хорошей точностью чернотельно и изотропно.Самая большая анизотропия связана с движением Земли по отношению к реликтовому фону и определяется эффектом Допплера√1 − 2 = 0,1 − cos 49причём, поскольку скорость нашего движения много меньше скоростисвета, ≪ 1, анизотропия в основном носит дипольный характер:∆≈ cos .0Кинематический диполь имеет порядок ∆ ≈ 3.35mK, илиΔ0∼ 10−3 ,в то время как первичные флуктуации, регистрируемые в следующихмультиполях, – порядка ∼ 10−5 .Что касается пыли, то её суммарный вклад в плотность энергии составляет около 30%.
Однако же обычное (как говорят в астрономии,барионное) вещество составляет не более 5% (а реально видимое и тогоменьше). Оставшиеся же примерно 25% приходятся на долю так называемой Тёмной Материи.Вклад Тёмной Энергии оказывается около 70%. Она вызывает ускоренное расширение Вселенной, не склонна к кластеризации (скучиванию), и её уравнение состояния совместимо с гипотезой о космологической постоянной, = −1.Вклад пространственной кривизны не найден, и по-видимому не превосходит процента, или даже половины процента. Отметим, что из уравнений Фридмана следует, что вклад кривизны меняется как12 ,то естьубывает медленнее, чем вклады обычной материи.
Следовательно, ранняя Вселенная была ещё более плоской.История Вселеннойв терминах красного смещенияПоскольку абсолютное измерение расстояний в космологических масштабах – дело весьма тонкое, то в космологии принято (везде, где возможно) в качестве переменной времени использовать красное смещение=(0 )− 1,()которое является непосредственно (и весьма точно) измеримой величиной (здесь 0 - возраст Вселенной на сегодняшний момент, а - рассмат50риваемый момент времени).
Использование физического времени и/иликрасного смещения можно сравнить с абсолютной и стратиграфическойшкалами времени в геологических науках.Если же фиксирована конкретная космологическая модель, то вседанные, полученные в терминах красного смещения, можно пересчитатьк любой удобной переменной времени. В самом деле, достаточно получить константу Хаббла как явную функцию красного смещения. Покажем, как это делается.Параметры космологической модели равныΩ=80,302где индекс 0 указывает на сегодняшнее значение величины.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
