Диссертация (1145296), страница 5
Текст из файла (страница 5)
В римановой геометрии характеристикой, которая позволяет отличить действительно искривлённые пространства, является тензор кривизны Римана (для более общихметрически-аффинных геометрий его надо дополнить тензором кручения и тензором неметричности, см. ниже). Идея его определения оченьпроста. Возьмём вектор, заданный в некоторой точке, перенесём его позамкнутому контуру и сравним с тем, с чего мы начинали. Если произойдёт ненулевое изменение компонент, то многообразие заведомо искривлённое.Совершим параллельный перенос вектора вдоль бесконечно малого замкнутого контура . После одного оборота получаем∮︁ = ˙ ,где можно считать, что () - векторное поле, определённое в некоторойоткрытой окрестности параллельным переносом исходного вектора. Вчастности, имеем вдоль контура.˙ = −Γ Для простоты записи предположим, что начало координат ( = 0) расположено внутри контура, а далее используем уравнение параллельногопереноса, раскладывая все величины в ряд Тейлора с точностью до первого порядка малости по значениям координат: =∮︁−(︀Γ (0)+Γ, (0))︀ (︀ )︀ 2,+ ( ) (0) + , (0) + ( )2где, как обычно, запятой обозначена простая частная производная покоординате.26В низшем порядке интеграл ∼∮︁ = −∮︀ = 0, а в первой поправке имеем:[︀ ]︀ 2 Γ , + Γ, + ( ).В первом слагаемом снова воспользуемся уравнением параллельного переноса ,= −Γ :∮︁ = −[︀ ]︀ 2 −Γ Γ + Γ, + ( ).Как видим, полученное выражение пропорционально∮︁ ∮︁ = − 1 =2∮︁∫︁ ∫︁( − ) = ∧ ,антисимметричному элементу площади (заключённому контуром ), который мы обозначим .
Антисимметризованный коэффициент при тоже обязан быть тензором (что можно проверить и напрямую, используя закон преобразования связности (1.3)).Окончательно мы получаем∮︁ =1 ˙ = − 2(1.5)где тензор Римана (тензор кривизны) определён как = Γ, − Γ, + Γ Γ − Γ Γ .(1.6)и по самому своему определению антисимметричен по последней пареиндексов = − .Это общее свойство, справедливое при любой аффинной связности.27(1.7)Разумеется, можно было рассмотреть и перенос дифференциальнойформы по замкнутому контуру. В результате∮︁ =1 ˙ = 2(1.8)получается тот же самый тензор, что и в соотношении (1.5). Изменениезнака снова соответствует сохранению скаляров.***В случае симметричных связностей можно убедиться, что + + = 0,(1.9)а также (тождества Бьянки)▽ + ▽ + ▽ = 0.(1.10)Проще всего это сделать в локально геодезической системе координат.Коммутаторковариантных производныхДругой способ определения тензора кривизны – это рассмотрениекоммутатора ковариантных производных:(︀)︀(︀)︀[▽ , ▽ ] = ▽ + Γ − ▽ + Γ =(︁)︁(︀ )︀(︀)︀ = + Γ + Γ + Γ − Γ + Γ −(︁)︁(︀ )︀(︀)︀ − + Γ − Γ + Γ + Γ + Γ == − ▽ , (1.11)где мы ввели тензор кручения = Γ − Γ .28(1.12)Аналогично для дифференциальных форм получаем[▽ , ▽ ] = − − ▽ .(1.13)Между двумя способами введения кривизны, разумеется, есть глубокая связь.
В самом деле, введем понятие производной по направлению−− ≡ ▽ . В результате имеемвектора → с помощью соотношения ▽→ −−[▽→ , ▽→ ] = + ( − ) ▽ .В правой части получена производная Ли одного вектора по направле−−→−−→нию другого ℒ→ ≡ [, ], где коммутатор двух векторных полей равен[, ] ≡ − . Соответственно, вместо уравнения (1.11) легкополучить(︁−[▽→)︁ →−→−−→−ˆ →−−→, ▽→=(,), ] − ▽−[,]−−ˆ →где линейный оператор ( ,→ ) определён своими компонентами−−ˆ →( ,→ ) = .Теперь в левой части формулы можно увидеть перенос вектора вдоль−−почти параллелограмма, составленного из векторов → и→ и их параллельных переносов.
Незамыкание "параллелограмма" за счет кривизны−→ . Детальное рассмотрениепространства компенсируется членом с ▽−[,]этого вопроса, а также ещё одну интерпретацию тензора кривизны (сточки зрения расхождения геодезических), можно найти в прекрасномучебнике Мизнера, Торна и Уилера [3].Тензор РиччиПутём свёртки двух индексов из тензора Римана (1.6) получаетсятензор Риччи ≡ = Γ, − Γ, + Γ Γ − Γ Γ .(1.14)Возможны ещё две свёртки, = − и . Первая не даёт ничего нового в силу всегда справделивого свойства антисимметрии (1.7),29а вторая может использоваться только в моделях с неметрической связностью, ибо в противном случае обращается в нуль, см. ниже ещё односвойство антисимметрии.
Использование такой величины можно встретить в работах по модифицированным теориям гравитации, но нам онав дальнейшем в явном виде не потребуется.1.1.3Метрическая связностьНа многообразиях также могут заданы и другие структуры помимоаффинной связности. Для нас наиболее важным примером будет метрическая структура. Обычно предполагается, что аффинная и метрическаяструктуры согласованы друг с другом в следующем смысле. Будем называть связность метрической если и только если▽ = 0,то есть метрический тензор является ковариантно постоянным.Как описано в любом учебнике по общей теории относительности, изэтого требования = Γ + Γ ,можно однозначно найти связность при условии, что она симметрична:1Γ = ( + − ) .2(1.15)Полученная связность называется связностью Леви-Чивита.Впрочем, из стандартного вывода этой формулы очевидно, что произвольная связность может быть представлена в виде связности ЛевиЧивита с дополнительными слагаемыми, представляющими вклады кручения ≡ Γ − Γ и неметричности ≡ ▽ .
В разделе 1.1.7мы увидим это соотношение в частном случае нулевой неметричности.Если на многообразии задана метрика, то имеется естественное соответствие между векторами и дифференциальными 1-формами, и можнодаже просто говорить о ковариантных и контравариантных компонентахвекторов и тензоров, опуская и поднимая индексы с помощью метрики,30как например = (с помощью мы обозначаем матрицу,обратную к метрике).Метричность связности означает, что можно менять характер значков прямо под знаком ковариантной производной, и из этого следуетновое свойство симметрии тензора Римана. В самом деле, перепишемуравнение (1.11) в виде[▽ , ▽ ] = С другой стороны, уравнение (1.13) дает[▽ , ▽ ] = − .И мы заключаем, что = − .(1.16)***Если связность является одновременно и симметричной и метрической (связность Леви-Чивита), то используя формулу (1.15), можно записать тензор кривизны явно в терминах компонент метрики (для простоты в локально инерциальной системе, где = 0 в заданной точке),и увидеть, что = .(1.17)И, в частности, тензор Риччи оказывается симметричным, = .(1.18)***Легко проверить, что в случае использования согласованной с метрикой связности данное ранее определение геодезической совпадает с тем,что получается через экстремальность длины кривой.31Также заметим, что имея на многообразии метрику, можно определить скалярную кривизну посредством = = .1.1.4(1.19)Уравнения Эйнштейнаи действие Эйнштейна-ГильбертаОбщая теория относительности может быть получена как простейшая возможная модель гравитации, основанная на (псевдо)римановойгеометрии (то есть с использованием связности Леви-Чивита).Известно, что в нерелятивистском пределе источником гравитационного поля служит масса.
В рамках релятивистского обобщения её следует рассматривать как энергию покоя, а следовательно простейшим ковариантным кандидатом на роль источника поля может служить тензор энергии-импульса. Последний должен взаимодействовать с другимсимметричным тензорным объектом с двумя значками, описывающимгеометрию пространства-времени. В рамках простейших предположенийпростейшим подходящим объектом, помимо метрики, оказывается тензор Риччи.Следует, однако, также вспомнить, что тензор энергии-импульса удовлетворяет условию сохранения, которое в ковариантном виде можетбыть записано как ▽ = 0. Используя тождества Бьянки (1.10), легкоубедиться, что с геометрической стороны аналогичным свойством обладает объект1 = − ,2именуемый тензором Эйнштейна.(1.20)Поэтому естественно искать уравнения Эйнштейна в виде ∝ ,где коэффициент пропорциональности должен быть установлен из соответствия ньютоновскому пределу.
Эти детали мы опускаем, отсылая32читателя к любому учебнику по общей теории относительности. Крометого, следует отметить, что к правой части уравнений Эйнштейна можнодобавить слагаемое, пропорциональное метрике, не нарушая ковариантного сохранения.Окончательно получаем81 − = 4 ( + Λ ) ,2(1.21)где - постоянная Всемирного тяготения, Λ - космологическая постоянная, про чью тяжёлую судьбу мы пока умолчим, а - скорость света,которую мы почти всюду будем полагать равной единице.***Существует удивительно простое действие, вариированием котороговыводятся уравнения Эйнштейна:∫︁=√4 −(︂)︂1 + Λ + matter16(1.22)где – детерминант матрицы (выбранный нами знак при гравитационной части действия соответствует выбору сигнатуры метрики(−, +, +, +) при условии положительности кинетической энергии гравитонов). Отметим, что тензор энергии-импульса материи определён как2 = √matter .− (1.23)Мы не будем останавливаться на хорошо известных способах вариирования детерминантов.
Отметим лишь, что по ходу вывода уравненийдвижения из действия Эйнштейна-Гильберта необходимо убедиться, чтовариация тензора Риччи не даёт вклада. Её можно записать (в точномвиде) как(︀ )︀ = Γ; − Γ; + Γ Γ − Γ Γ = Γ; − Γ; + Γ2 ,(1.24)33где точками с запятой обозначены ковариантные производные (напомним, что вариация коэффициента связности, как и любая разностьдвух коэффициентов связности, является тензором), например ; ≡▽ . Ковариантные производные были получены комбинированиемпростых частных производных Γ с членами вида ΓΓ. Таким образом,данная вариация сводится к чисто поверхностному слагаемому.Отметим, что это общий факт. Если дана вариация коэффициентовсвязности, то вариацию тензора Римана легко вычислить точно, причём она квадратична по вариации связности. А если исходная связностьбыла леви-чивитовской, то линейная часть вариации является полной ковариантной (по отношению к метрике g) производной.
Это бывает оченьполезно иметь в виду при изучении модифицированных теорий гравитации, как мы ещё неоднократно увидим.1.1.5Основы АДМ формализмаДля получения гамильтоновой формулировки уравнений Эйнштейна,изучения свойств начально-краевых задач, построения численных методов, а также и при выяснении свойств модифицированных теорий, оченьполезной является формулировка в АДМ переменных [4].В АДМ подходе используется следующее (3+1)-разложение метрики:(︀)︀2 = − 2 − 2 + 2 + (1.25)где и известны как шаг (lapse) и сдвиг (shift) соответственно.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
