Диссертация (1145296), страница 4
Текст из файла (страница 4)
Список работ приведён в Заключении.17Объём и структура работыДиссертация состоит из Введения, 5 глав и Заключения. Полный объём Диссертации составляет 298 страниц. Диссертация содержит списоклитературы из 247 наименований, не считая собственных работ.В начале каждой главы приведено её краткое содержание и указаныработы, в которых опубликованы вошедшие в неё результаты. Основныерезультаты, полученные в Диссертации, сформулированы в Заключении.18Глава 1Теория гравитации итеоретическая космология:вводный обзорВ первой главе мы даём краткое введение в теорию гравитации и теоретическую космологию.
Разумеется, столь краткое описание ни в коемслучае не может претендовать на полноту и глубину. В гравитационнойчасти наша основная задача заключается во введении обозначений и погружении общей теории относительности Эйнштейна в более широкийконтекст геометрических теорий с метрической и аффинной структурами, включая телепараллельный эквивалент.
В космологической частинашей основной задачей будет представить современную космологию какфизическую дисциплину со своими наблюдательными данными, а также мотивировать на этой основе изучение модифицированных теорийгравитации.Данная глава не содержит выносимых на защиту результатов.191.1Геометрические основытеории гравитацииКак известно, в современной теоретической физике гравитация описывается в рамках геометрической теории искривлённого пространствавремени.
На идею использования геометрических конструкций наводитфакт пропорциональности инертной и гравитационной масс. Пренебрегая сопротивлением воздуха, можно считать, что все тела падают наземлю с одинаковым ускорением. Соответственно, естественно предположить, что дело тут не в существовании дополнительной силы, а в поведении геодезических линий, по которым движутся свободные тела.С математической точки зрения пространство-время моделируется спомощью многообразия, то есть хаусдорфова топологического пространства, обладающего счётной базой топологии и локально гомеорморфного(псевдо)эвклидову пространству.
Аксиомы отделимости и счётности используются для исключения заведомо патологических вариантов, и мыих обсуждать не будем, поскольку соответствующие примеры обычновсё-равно не приходят на ум физику-теоретику (см. математические источники по топологии многообразий, например [1]). Локальные же гомеоморфизмы (или карты), по сути, вводят координатные системы в заданных областях на многообразии, а само многообразие, с топологическойточки зрения, локально не отличимо от эвклидова пространства.Поскольку законы физики записываются обычно в виде дифференциальных уравнений, приходится использовать гладкие многообразия.Иными словами, в атлас допускаются только такие карты, которые вслучае пересечения носителей на многообразии позволяют пересчитатьодни координаты в другие с помощью гладких функций.
Соответственно,гладкой функцией на многообразии называется функция, которая можетбыть записана как гладкая функция координат. Это и есть то свойство,которое важно для нас в практической работе.Для введения понятия вектора на гладком многообразии естественно положиться на интуицию, связанную с понятием скорости. Векторможно рассматривать как направление и "быстроту" бесконечно мало20го сдвига вдоль мноогобразия. Соответственно, касательный вектор вточке 0 на гладком многообразии ℳ можно определить как дифферен∑︀ цирование на ростке гладких функций в точке 0 ∈ ℳ.
Числа являются привычными компонентами вектора, и их привычный закон преобразования при заменах координат следует из правила заменыпеременных в дифференциальном операторе.Множество всех касательных векторов очевидным образом можетбыть наделено структурой линейного пространства размерности, равнойразмерности многообразия. Это касательное пространство к многообразию в заданной точке.
Линейные функционалы на этом пространствеобразуют двойственное пространство, известное как кокасательное пространство. Его элементы называются дифференциальными 1-формами.А дуальный базис может быть определен как ·≡ . Как каса-тельные, так и кокасательные пространства, можно рассмотреть одновременно в каждой точке многообразия, и получаемый при этом объектможет быть естественным образом наделён структурой гладкого многообразия удвоенной размерности – это касательное, или соответственнококасательное, расслоение многообразия ℳ.
На этом языке векторноеполе на многообразии рассматривается как сечение касательного расслоения (гладкий выбор одного из представителей в касательном слоенад каждой точкой многообразия).Аналогично можно построить линейные пространства тензоров болеевысокой валентности в любой заданной точке, а также и соответствующие расслоения. В частности, можно рассмотреть билинейные формы накасательном пространстве. Очевидно, что невырожденная симметричная∑︀билинейная форма · ⊗ на касательном пространстве может,рассматриваться как определение скалярного произведения касательныхвекторов, и тогда она называется метрикой.Название "метрика" оправдано тем, что она даёт возможность ин∫︀ √︂∑︀туитивно определить длину вдоль данной кривой как ,,а формальная подстановка = , оправдываемая определениемкривой как гладкого отображения (отрезка) вещественной прямой в рас21сматриваемое многообразие, превращает интуитивное выражение в корректно определённый интеграл по параметру кривой .Разумеется, можно рассматривать метрику также и как отображение из касательного пространства в кокасательное, поскольку билинейная форма всегда может быть рассмотрена как линейный функционал,зависящий от одного из аргументов и действующий на другой.
Для математика это не что иное, как утверждение о коммутативности диаграммы,в которой можно либо сразу применить симметричную билинейную форму к двум векторам на касательном пространстве, либо сперва преобразовать один из векторов в 1-форму (кокасательный вектор) действиемопределяемого отображения, а потом применить эту 1-форму ко второму вектору. Для физика же это просто привычное правило опускания иподнимания индексов с помощью метрики (ковариантные и контравариантные компоненты векторов).Поскольку установлено взаимно-однозначное соответствие между касательными и кокасательными векторами, можно задаться вопросом онахождении скалярного произведения кокасательных векторов, эквивалентного тому, что задаётся метрикой на касательном пространстве.Легко проверить, что соответствующая билинейная форма определяетсяматрицей, обратной к , её обычно обозначают .Рассмотренных выше понятий оказывается достаточно для анализагладких функций (скалярных полей) на многообразии.
Однако многиефизические задачи связаны с написанием дифференциальных уравненийдля векторных (или других тензорных) полей. И в этом случае необходимо уметь сравнивать векторы, приложенные в двух разных (хотя бы ибесконечно близких) точках пространства. Это требует введения новойструктуры – связности. По сути, задав вектор в некоторой точке, мы хотим указать во всех остальных точках многообразия другой вектор (элемент соответствующего касательного слоя), который будет называтьсяпараллельным данному. Таким образом, задание параллельного переноса данного вектора вдоль многообразия является выбором некоторогосечения касательного расслоения.22Более того, если потребовать сохранения линейных соотношениймежду векторами в процессе параллельного переноса, то достаточно указать одно такое сечение.
Иными словами, мы рассматриваем расслоениесо структурной группой, которая действует на слоях транзитивно, и поэтому коммутативность некоторой диаграммы (сперва перенос, потомпреобразование, или наоборот) позволяет определить по одному горизонтальному сечению все остальные.Общая теория относительности имеет дело с многообразиями с метрикой и (вполне определённой, см. ниже) связностью. Отличие от, возможно, более часто встречающихся в математике задач заключается втом, что метрика выбирается не знакоопределённой, но с лоренцовой сигнатурой квадратичной формы: (+, −, −, −) или (−, +, +, +), в разныхработах по-разному.
Мы в дальнейшем номера координат на многообразиях с лоренцовой сигнатурой будем обозначать греческими буквами, икак обычно, условимся подразумевать суммирование по повторяющимсябуквам, если одна расположена сверху, а другая – снизу.Разумеется, при попытках построения модифицированных (расширенных) теорий гравитации также вполне естественно широко использовать геометрические идеи. Ниже мы кратко, в том числе с целью фиксации обозначений, приводим основные понятия, необходимые для дальнейшего, но уже в покомпонентной записи без обращения к фундаментальным математическим основам. (С математической точкой зрения надифференциальную геометрию можно познакомиться, например, по прекрасной монографии [2].)1.1.1Аффинная связностьИтак, как мы уже обсудили выше, для построения векторного анализа на многообразиях необходимо умение сравнивать вектора, находящиеся в различных точках.Разумеется, в эвклидовом пространстве существует естественное понятие параллельного переноса.
В координатном представлении оно выглядит просто тольно в случае использования декартовых координат:23компоненты параллельно перенесённого вектора численно совпадают скомпонентами исходного. В криволинейных системах координат это ужене так. Однако же легко убедиться, что для гладкой системы координат, и в первом пордяке малости по бесконечно малому параллельномупереносу , имеем = Γ , = −Γ ,где коэффициенты Γ называются коэффиентами связности или символами Кристоффеля.Тот факт, что формулы для ковариантынх и контравариантных компонент очень похожи, но отличаются знаком, связан конечно же с сохранением скалярного произведения при параллельном переносе.
Данное свойство, разумеется, хочется сохранить и в искривлённомпространстве для касательных векторов (дифференцирований гладкихфункций в заданной точке) и дифференциальных форм (кокасательныхвекторов).Если компоненты двух векторов в бесконечно близких точках многообразия отличаются ровно так, как указано выше (в соответствии с заданными значениями коэффициентов связности), то мы интерпретируемэто так, что один вектор получен из другого параллельным переносом,или, допуская известную вольность речи, что два вектора в разных точках многообразия равны. Отличие же от подобного закона преобразования будем связывать с непостоянством векторного поля, представленного в этих точках данными векторами. В соответствии с этим, определимковариантные производные как▽ ≡ − Γ ,(1.1)▽ ≡ + Γ .(1.2)Легко найти трансформационные свойства коэффициентов связности из требования, чтобы ковариантные производные были тензорными24объектами (уже по двум значкам):Γ =′ (︃′′2 ′ ′ Γ+ )︃.(1.3)Ясно, что симметричные связности, Γ = Γ , являются выделенными сточки зрения принципа эквивалентности, поскольку их можно обратитьв нуль преобразованием координат (локально инерциальная система отсчёта).
С другой стороны, антисимметричная часть является тензором,известным под именем кручения.Обратим внимание, что закон преобразования связности (1.3) содержит неоднородный член, и с точки зрения абстрактной алгебры он является не линейным, но только аффинным. Отсюда и наименование связности.Геодезические кривыев пространствах аффинной связностиПонятие аффинной связности позволяет ввести понятие геодезической линии, которое хорошо согласуется с интуитивным представлениемо геодезических. А именно, назовём линию ( ) геодезической, если итолько если вектор касательной ≡ковариантно постоянен вдолькривой.
Иными словами, взяв вектор в одной точке кривой и параллельно перенеся его в другую точку на кривой, мы получаем снова вектор в новой точке. Легко видеть, что такое определение приводит кследующему уравнению геодезической:2 + Γ= 0. 2 (1.4)Данное уравнение инвариантно по отношению к аффинным преобразованиям параметра . При более общих заменах параметра уравнениеусложняется, и это определяет предпочтительный класс параметризаций – параметризации аффинным параметром. В свою очередь, последнее позволяет естественным образом определить понятие светоподобнойбесконечности – в терминах аффинного параметра.251.1.2Кривизна и кручениеИмея некоторое искривлённое пространство, очень полезно знать,действительно ли оно искривлённое, или мы просто ввели криволинейные координаты в эвклидовом пространстве.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
