Диссертация (1145296), страница 6
Текст из файла (страница 6)
Пространственные индексы следует поднимать и опускать с помощью метрики . Иными словами, мы положили(︀)︀00 = − 2 − ,0 = , = .Весьма несложно найти и обратную матрицу:001= − 2, = 2,034 = −.2Сравнив этот результат с правилом Крамера для вычисления 00 , получаем полезное соотношение для детерминантов√√− = .Веведём единичный вектор нормали(︂ ≡1,−)︂к поверхностям постоянноговремени(легко проверить, что он соответ(︁)︁→−ствует 1-форме ≡ −, 0 , принимающей нулевое значение на касательных к гиперповерхности векторах). Внешние кривизны гиперповерхности = определяются как ≡ − ▽ = Γ = − Γ0 ,(1.26)где ковариантные производные ▽ ≡ − Γ и символы Кристоффеля1Γ = Γ = ( + − )2относятся к метрике .(3)(3)Очевидно,что Γ = Γ , где Γ – символы Кристоффеля для метрики .
Кроме того, получаем Γ0 = 21 ( + − ˙ ), и соответственно1 = − Γ0 =2(︃(3)(3)▽ + ▽ − ˙ )︃(1.27)для внешних кривизн (1.26) нашей гиперповерхности. Отметим, чтотрёхмерные ковариантные производные соответствуют метрике . Кстати, отметим также, что(︃ −1 =000 −135)︃− × .(1.28)Для применения АДМ анализа к некоторой гравитационной теориинеобходимо выразить компоненты тензора кривизны (1.6) в АДМ переменных (1.25). В случае леви-чивитовской связности это задача упрощается в связи с соотношениями симметрии = − = − = .По сути, требуется найти три величины: , 0 и 00 . Тензор кривизны другой связности на многообразии с метрикой часто бывает удобно выразить через метрический с поправкой, квадратичной по разностисвязностей.Коэффициенты связностиВычисление кривизны для данной метрики методом грубой силы оказывается весьма громоздким, поэтому удобно начать с получения коэффициентов метрической связности.
Нам потребуются в дальнейшем следующие формулы, которые легко можно проверить, всегда заменяя ˙ навнешние кривизны по формуле (1.27):(3)Γ0 = Γ0 = − + ▽ ,(1.29)(3)Γ = Γ ,)︁1 (︁ ˙ 0 + − ,Γ00 =)︀1 (︀Γ00 = Γ00 = − ,(︂)︂(3) Γ0 = Γ0 = −− − + ▽ ,21Γ0 = − ,(3)Γ = Γ + .36(1.30)(1.31)(1.32)(1.33)(1.34)(1.35)Компоненты тензора РиманаИспользуя формулы (1.29) – (1.35), легко получить компоненты тензора Римана (1.6).
Во-первых: = Γ − Γ + Γ Γ − Γ Γ)︂)︂(︂(︂(3)1= − + Γ +(︃)︃)︂(︂(3)(3)(3)1 − ( ↔ )− − + ▽ + Γ Γ +(3)= + − . (1.36)Далее проще вычислить величины = 1= 0 −(1.37)вместо 0 . Получаем(︀)︀(︀)︀ = − Γ0 + Γ0 Γ + Γ0 + Γ0 Γ= +(3)Γ − ( ↔ ) ,или окончательно (3)(3)= ▽ − ▽ .(1.38)Наконец, после простых алгебраических преобразований, имеем 0(3) (3)(3) (︀(3))︀˙= + ▽ ▽ + − ▽ − ▽ .Используя (1.38) и (1.37), последнее соотношение легко приводится кболее симметричному виду =1(︃)︃(3) (3)− ˙ + ▽ ▽ + − ℒ→37(1.39)где производная Ли определена как− ≡ + + ,ℒ→а частные производные можно заменить ковариантными, не меняя значения выражения.Скалярная кривизнаи действие Эйнштейна-ГильбертаПолученные формулы позволяют анализировать любую теорию сосвязностью Леви-Чивита.
В случае же общей теории относительностивоспользуемся формулой (1.28), свойствами симметрии тензора Римана(1.7, 1.9, 1.16, 1.17), а также очевидным соотношением ˙ = 0 + ˙ вместе с определением (1.27), чтобы получить = = − 2 2 ˙ (3) 4 (3)2 (3)+ ▽ + 2 ▽ − △(3)2 (3)2 (3)= + + − ˙ + 2 ▽ − △(3)= + − 3 −√Наконец, используя 0 =√ ˙ 2 и исключая ˙ с помощью фор-мулы (1.27), получаем лагранжеву плотность для действия ЭйнштейнаГильберта:√− =√(︂(3) + − )︂(︀ )︀√√ (3)− 2 − ▽ − 2 △(︀)︀(︀√)︀)︀√√ (3) (︀где −2 − ▽ ≡ −20 + 2 ▽ .38Пренебрегая поверхностными членами и откидывая полную производную по времени, получаем окончательно действие общей теории относительности в АДМ переменных∫︁=1.1.6√3 (︂(3) + − )︂.(1.40)Гравитация в терминах тетрадВ тетрадном представлении (которое необходимо, например, для введения спинорных полей) метрика задаётся с помощью базиса касательных векторов или отвечающих им дифференциальных форм, гладко заданных в каждой точке: = .(1.41)Очевидно, что поле тетрад определено с точностью до локальных преобразований Лоренца.
Поскольку метрика должна быть невырожденна,предполагается, что матрица невырожденна (имеем базис касательных векторов), и обратная тетрада определяется как обратная матрица: ≡ и ≡ , а обратная метрика при этом равна = .Обратную тетраду можно рассматривать как поле систем отсчета(frame field), задаваемых базисом касательных векторов. Это базис, в котором метрика как квадратичная форма принимает свой каноническийвид: = . Разумеется, локально такой базис всегда существует,хотя глобально могут иметься топологические препятствия.Будем с помощью латинских индексов из начала алфавита обозначать компоненты тензоров, отнесённые к базису тетрад:,..., 11 ,...,1 ,...,≡ 11 · · · 11,...,1 · · · .Это можно также интерпретировать как построение вспомогательной копии касательного пространства в каждой точке с метрикой Минковско-39го.
При этом тетрада осуществляет изоморфизм двух линейных (псевдо)нормированных пространств: → = .В принципе, можно ввести два типа коэффициентов связности – длятензоров с разными типами индексов. Для латинских индексов обозначим связность через и будем называть её спин-связностью.
Геометрически это компоненты дифференциальной 1-формы, принимающейзначения в алгебре группы Лоренца.Однако, естественно потребовать, чтобы две связности описывали посути один и тот же процесс параллельного переноса. Это означает, чтооперация ковариантного дифференцирования (с Γ для греческих индексов и для латинских) должна коммутировать со сменой типа индексапри помощи тетрады.
Иными словами, мы требуем обращения в нуль"полной ковариантной производной" тетрады: + − Γ = 0.(1.42)Теперь мы можем ковариантно дифференцировать любые тензоры сосмешанными наборами индексов, например▽ = + Γ + ,и свободно менять природу этих индексов прямо под знаком ковариантного дифференцирования. Легко проверить, что ценой такого соглашения является невозможность ввести неметричность в теорию:(︀ (︀)︀)︀▽ = − Γ − Γ = − ( + ) = 0.В последнем равенстве мы учли, что принимает значения в алгебрегруппы Лоренца.Условие (1.42) легко разрешается и даёт для связи двух связностей(︀)︀Γ = + ≡ D 40(1.43)или = Γ − ,где D – лоренц-ковариантная (по отношению только к латинскому ин(0)дексу) производная. В частности, можно найти спин-связность , ко(0)торая отвечает связности Леви-Чивита Γ () заданной на многообразииметрики .Как уже обсуждалось выше, условие (1.43) означает, что связностиΓ и представляют собой один и тот же математический объект вразных одеяниях.
Разумеется, это подтверждается также и вычислениемтензора кривизны: дифференциальной 2-формы () = − + − (1.44)для спин связности и стандартного метрического объекта (1.6) (Γ) = Γ − Γ + Γ Γ − Γ Γ .Простые вычисления показывают, что (Γ) = ()(1.45)в соответствии с общим правилом замены типа значка у тензора.1.1.7Телепараллельный эквивалентТелепараллельная гравитация основана на использовании кручения ≡ Γ − Γ вместо кривизны. Итак, мы рассматриваем геометрию,в которой нет кривизны и неметричности, но существует кручение.Предполагая ▽ = 0, легко убедиться, чтоΓ(0)= Γ ()41+ ,(1.46)(0)где Γ () – леви-чивитовская связность метрики , а тензор конторсииопределён посредством =11( + + ) = ( + − ) .22(1.47)У него есть очевидное свойство антисимметрии = − .(1.48)В соответствии с тем, что уже обуждалось ранее, тензор кривизнысвязности отличается от обычного римановского на квадратичное по конторсии выражение: (Γ)=(0)(0)(0) ( Γ )+▽ −▽ + − ,(0)(0)где ▽ – ковариантная производная связности Γскалярную кривизну ().(1.49)Отсюда получаем(0)(0)(Γ) = ( Γ ) + 2 ▽ + T,(1.50)где вектор кручения определён как = = − ,(1.51)а скаляр кручения может быть записан в нескольких эквивалентныхформах:1 − 21= 211= + − 42T =42(1.52)с "суперпотенциалом" ≡ + − ,(1.53)удовлетворяющим тому же свойству антисимметрии = − , чтои само кручение.В телепараллельной гравитации традиционно используется связностьWВайтценбёка, опеределяемая как = 0 илиWΓ = ,(1.54)Wкривизна которой, очевидно, обращается в нуль, ( Γ ) = 0.Разумеется, условие обращения спин-связности в нуль не являетсялокально лоренц-инвариантным.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
