Диссертация (1145296), страница 17

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 17)

Для компоненты0 можно раскрыть неопределённость типа 00 и определить конечное значение, через которое она проходит в особой точке.Таким образом, эволюция отдельно взятой продольной моды проходит через особую точку гладко. Интересно, что тот же результат былполучен в работе [72] для векторного поля во фридмановской вселеннойс помошью численного моделирования. Однако это верно лишь в предположении пробного поля (пренебрежение реакцией метрики на присутствие векторного поля).

При изучении полной системы уравнений решение расходилось в некоторый момент времени. С точки зрения нашегоанализа этот результат может показаться несколько неожиданным, поскольку учёт флуктуаций метрики скорее размывает момент проходачерез особое значение, а особенность определяется обращением в нуль¨коэффициента при .Отметим, что ещё одна особенность решений была отмечена в работе [72].

Она возникает при выходе из инфляции. Однако эта особенность совершенно естественна, поскольку происходит переход от тахионной массы к обычной, а в самый момент перехода оказывается восстановленной калибровочная инвариантность, что делает плохо определённымчисло степеней свободы.1082.2.4Проблема дополнительной степени свободыОказывается, что у векторной инфляции есть ещё одна проблема –существование дополнительной степени свободы, которая при рассмотрении над пространственно однородным фоном находится в режиме сильной связи. Это связано с временными компонентами векторов.Наивный подсчёт числа степеней свободы дает 3 + 2, по 3 поляризации для каждого массивного векторного поля и 2 поляризации гравитона.

Однако же, поле неминимально взаимодействует со скалярннойкривизной (2 ), а скалярная кривизна содержит вторые производныеметрики по времени. В результате временные компоненты (2.2) уравнений движения векторных полей перестают быть связями. С другойстороны, при интегрировании по частям в действии для избавления отвторых производных появится производная от 0 . Если быть точным,∑︀ 2то появится производная от0 , где сумма берётся по всем векторнымполям.

Отсюда сразу можно сделать два заключения. Во-первых, дополнительная степень – одна для всех полей, и в этом смысле (а также попроисхождению) носит по сути гравитационный характер. Во-вторых, влинейном приближении вокруг решений с 0 = 0 (отсутствие продольных мод) она исчезает (сильная связь).Полезно обсудить эту же проблему и в эйнштейновской картине. Аименно, сделав конформное (или вейлевское) преобразование над метрикой ˜ = 2 , можно убедиться, что скалярная кривизна меняетсякак(︀)︀˜ = −2 − 6 − 6(∇)2 .Соответственно, оставляя компоненты векторов с нижними индексаминеизменными и выбирая конформный фактор в виде(︃1 ∑︁1 = ln 1 +26109=1)︃() ,преобразовываем исходное действие к виду с эйнштейновской гравитацией с минимально связанной материей:∫︁=(︃√ 14 − − + ∇ ∇ − V −22∑︁ 14)︃()() . (2.24)Вся сложность модели перенесена в сектор (векторных) инфлатонов ипроявляется в виде сложного кинетического слагаемого с переменной√︂=(︃1 ∑︁3· ln 1 +26)︃() ,а также в форме потенциала(︃V=1+1 ∑︁()6 ⎛(︃)︃2·∑︁1 ∑︁() ⎝ 1+6 )︃−1⎞· () ⎠ .Последний может быть существенно упрощён в частных случаях, такихкак инфляция на массовом слагаемом, но для текущего обсуждения егоформа вообще не важна.Рассмотрим материальную часть действия (2.24) с одним ( = 1)векторным полем в пространстве Минковского.

Канонические импульсынаходятся как обычно:0 = =40 2,−4 2,(︁(︁)︁˙˙0 0 − ,)︁˙˙0 0 − + ˙ − 0 .Рассматривая эти соотношения как уравнения на скорости, находим, чтодетерминант полученной системы равен(︀)︀3 (︀)︀− 42, 20 21 22 + 22 23 + 23 21 ,что отлично от нуля при 0 ̸= 0, и следовательно (в присутствии продольных мод) динамическая система является системой без связей (4степени свободы). Ни одна из компонент уравнений движения (или их110комбинаций)V() + ∇ + 2=0не является связью из-за присутствия величины .2(2.25)В случае произвольного числа полей легко убедиться, что новая модавсё-равно только одна. В самом деле, взяв два произвольных векторныхполя из имеющихся в действии (без нарушения общности назовём ихпервым и вторым), умножим уравнение движения первого из них на20(2) (2) , а второго – на 20(1) (1) , и вычтем одно из другого. Полученоуравнение связи.

Таких независимых связей можно получить − 1.Соответственно, если хоть одно из полей имеет 0 ̸= 0, появляетсядополнительная степень свободы. Поскольку фоновое космологическоерешение соответствует обращающейся в нуль временной компоненте всехполей, оно отвечает режиму сильной связи для этой моды, делая теориювозмущений ненадёжной.Заметим, однако, что если бы не было проблемы продольного духа, сэтой трудностью можно было бы бороться.

Дело в том, что степень свободы появляется из-за старших производных метрики (на самом деле, ньютоновского потенциала ). Если заставить эти производные "работать"вне зависимости от векторных полей (в том числе при всех 0 = 0), топроблему сильной связи можно устранить. Сделать это несложно, хотябы с помощью поправки типа 2 в действии.2.2.5О возможностях модификации лагранжианаЕстественно возникает вопрос о том, сколь серьёзные модификациитребуются для того, чтобы сделать векторную инфляцию более стабильной.

Как мы видели, для векторных полей типа Прока треубуют решения проблема изотропии и отсутствие медленного качения. Если первуюможно успешно решить, по крайней мере в моделях с малыми полями,то предпринятая попытка решения второй с помощью неминимального взаимодействия с гравитацией оказалась неудачной в силу духовойнеустойчивости. В этом разделе мы, следуя нашей работе [5*], рассмотрим данный вопрос, не переходя ко многокомпонентным полям, таким111как в теориях Янга-Миллса, и считая калибровочную симметрию нарушенной.Если обратиться к старой работе [63], то там было рассмотрено дваварианта решения проблемы медленного качения.

Одна идея состояла виспользовании большой тахионной массы. Однако она должна быть тонко подстроена к значению константы Хаббла. В этом смыле использование неминимального взаимодействия со скалярной кривизной позволяетобойти проблему неестественности, но к сожалению не духовую степеньсвободы.Вторым примером из работы [63] было использование чрезвычайно,экспоненциально плоского потенциала для векторного поля, так чтобывесьма быстрое качение аргумента потенциальной энергии приводило былишь к очень медленному изменению последней. При всей возможнойнеестественности подобной идеи, даже она не всегда позволяет избавиться от неустойчивостей.2Например, можно попытаться использовать потенциал = − |2 |1−с очень малым > 0 (нас интересуют лишь большие отрицательныезначения 2 ). Однако в таком случае продольная мода, хоть и не является духовой, но развивает градиентную неустойчивость.

В самом деле,рассмотрим фоновое решение в виде = 1 ℬ() и чисто продольноевозмущение = . Тогда разложение потенциала в ряд по степенямвозмущения принимает вид−ℬ 2 − 2ℬ1 + ( )( )(ℬ 2 + 2ℬ1 − ( )( ))1−(︂)︂21 ( )( )22 (1 )3=ℬ−1 − 2++ (2 − 2 )+ ( ) .ℬℬ2ℬ2− =Разумеется, коэффициенты сильно зависят от времени, но при малых значениях продольная мода явно страдает градиентной неусточивостью. Для стабильности требуется > 12 , но тогда потенциальнаяэнергия будет убывать уже быстрее 1 .112пример можно построить с потенциалом =(︁Работоспособный)︁√ 2 | | − 1 .

Градиентная неустойчивость не возникает, поскольку(︀)︀− = 1 − ℬ(︂ 2)︂)︂(︂( )( ) −−(1 )2+ ℬ −1 +2ℬ22ℬ+ (3 ),и знак при (1 )2 всегда правильный.В общем случае имеем− = − ′ (2ℬ1 + ( )( )) − 2 ′′ ℬ 2 (1 )2 + (3 ),а для стабильности надо ′ < 0 и′. >2ℬ 2′′(︁В частности, легко проверить, что потенциал из [63], = 1 − устойчив по отношению к градиентной нестабильности, если ℬ 2 > 2)︁122 .***Можно ли построить более элегантные решения, если перейти к более сложным лагранжианам? Путеводной нитью может служить задачапостроить теорию с векторным полем, которое не растворяется при расширении Вселенной.

Причем следует иметь в виду, что конечно же речьдожна идти об энергии этого поля. Нельзя добиться физически интересных следствий, просто сделав замену переменных типа = (A2 ) · Aтак, чтобы величина A2 убывала бы медленно. В работе [5*] мы приводимаккуратный гамильтонов анализ так получающейся модели, чтобы показать, что она действительно эквивалентна исходной.

За очевидностьюрезультата (при удручающей громоздкости выкладок) в Диссертации мыэти рассмотрения опускаем.113Легко убедиться, что форма кинетического слагаемого, даже для поля с нарушенной калибровочной инвариантностью, выбрана неслучайно.Она определяется желанием иметь три степени свободы. Если рассмотреть все возможные квадратичные лагранжианы для вектор-потенциала,то в случае общего положения они приводят к четырём степеням свободы, одна из которых получается духовой в силу знаконеопределённостиметрики на группе Лоренца.

Исключением является лишь максвелловское слагаемое 2 , да неинтересный лагранжиан ( )2 с одной степенью свободы.Таким образом, кирпичиками для конструирования теории являются обычные инварианты 2 и 2 . Рассмотрим лагранжианы типаℒ = − ( 2 ) − (2 ) с двумя нелинейными функциями и . В работе [79] было построено ускоренно расширяющеяся решение с функцией ( 2 ) =24−2,у которой есть весьма проблематичная для динамикиточка ′ = 0. На самом деле, легко проверить [80], что для ограниченности гамильтониана снизу необходимые условия ′ > 0 и ′ < 0. Ксожалению, в рамках этих условий невозможно построить инфляционной модели, если только не рассматривать чрезвычайно плоские функции как в работе Форда, поскольку в статье [80] было показано, что приэтих условиях ни одна из величини0не может находиться в режимемедленного качения.

Характеристики

Список файлов диссертации