Диссертация (1145296), страница 19
Текст из файла (страница 19)
Это совершенно разумное требование, поскольку в конце концов намнадо эволюционировать полную систему уравнений, описывающих вселенную.Отметим, что в работе [80] было наложено условие = 0, котороесправедливо только для квадратичного потенциала, или как калибровочное условие в безмассовом случае. Тогда легко видеть, что( ) = ′ + 4 ′′ ,а главный символ принимает вид() = ′ 2 + 4 ′′ |⟩ ⟨| ,где – единичная матрица, 2 ≡ и ≡ .Диагонализация даёт три матрицы = ′ · , которые отвечают очевидно гиперболическому оператору ′ с естественным условием ′ > 0. Однако, четвёртая ′ 2 + 4 ′′ ⟨|⟩ – более интересна = ′ · + 4 ′′ · .(2.31)Соответствующая матрица = ′ · + 4 ′′ · была изученав работе [80], и мы не будем повторять здесь несложных выкладок.
В120качестве окончательного результата получается, что эта матрица диагонализуема с двумя собственными значениями кратности два:√︁ = ′ + ′′ 2 ± ′′ ( 2 )2 + ( ˜ )2 ,(2.32)где ˜ – дуальный тензор напряжённости поля. Можно убедиться, что этисобственные значения всегда можно сделать отрицательными, вопрекинашим требованиям, с помощью подходящего выбора значений полевыхпеременных для любой нелинейной функции ( 2 ).В случае общего потенциала условием = 0 пользоваться нельзя, ибо настоящая связь устроена сложнее. Однако, результат остаётсясправедливым.
В самом деле, главный символ (2.29) имеет вид() = ′ 2 − ′ |⟩ ⟨| + 4 ′′ |⟩ ⟨| ,где ≡ , ≡ и ⟨|⟩ = 0 в силу антисимметрии .После диагонализации два оператора сохраняют тривиальный вид ′ ,один оператор снова отвечает эффективной метрике (2.31) с тем же ре(︀)︀зультатом для гиперболичности, а еще один равен ′ 2 − ⟨|⟩ = 0.Последний результат, естественно, просто соответствует существованиюсвязи (2.30) в модели.Можно было бы надеяться на улучшение поведения уравнений после разрешения связи (2.30), которую мы не приняли во внимание, сразурассматривая только главный символ.
Но, к сожалению, это не так. В самом деле, подставляя связь (2.30) в дифференциальный оператор (2.28),получаем для главного символа () = ( ) ]︂[︂(︂)︂′′′ ′′ + 4 · .= · + 2′121Теперь диагонализацию провести нетрудно. Главный символ оператора приобретает вид() = ′ 2 + 2 ′ ′′ ( ) |⟩ ⟨| + 4 ′′ |⟩ ⟨| ,′где и такие же, как раньше. Поскольку ⟨|⟩ = 0, сопряжённаяматрица имеет собственный вектор ⟨| с собственным значением, отвечающим эффективной метрике (2.31).
Следовательно, характер нарушениягиперболичности остаётся тем же.2.4.1Виды нарушенийПерейдём теперь к обсуждению конкретных видов нарушения гиперболичности в моделях с лагранжианом (2.26). Рассмотрим случай, похожий на векторную инфляцию: пространственно однородное векторное2−поле () во фридмановской вселенной 2 = −2 + 2 ()→ . Напряженность поля имеет только электрическую часть0 ≡ () = ˙ (),а временная компонента векторного поля 0 , как мы видели ранее, обращается в нуль. Для эффективной метрики (2.31) получаем)︂(︂)︂(︂21 . = − ′ − 4 ′′ 2 2 + 2 ′ − 4 ′′ 2В моделях, в которых ′ > 0 и ′′ < 0, гиперболичность вокруг такихкосмологических решений никогда не нарушается. Более того, скоростьраспространения (для фронта ударной волны – по виду главной частиволнового оператора) равна скорости света вдоль электрического поля,и субсветовая – поперёк.
В самом деле, без ограничения общности можносчитать, что электрическое поле направлено вдоль первой оси = 1 .Тогда получаем(︂)︂(︂)︂22111 = − ′ − 4 ′′ 2 2 + 2 ′ − 4 ′′ 2 12 + 2 ′ 22 + 2 ′ 32 .122Напротив, если ′′ > √︂0 (при ′ > 0), то скорости вдоль осей 2 и 31– сверхсветовые, равные ′′ 2 в единицах скорости света. Отметим,1−4 ′2что собственные значения (2.32) к этому нечувствительны. Но как только22поля становятся слишком большими,>′4 ′′ ,временная координата ипространственная координата вдоль электрического поля меняются местами, приводя к двум отрицательным собственным значениям матрицы . Разумеется, к тому же выводу можно было придти, просто рас2сматривая формулу (2.32) при ˜ = 0 и 2 = −2 2 .Рассмотрим теперь чисто магнитное поле вдоль оси 2 : 31 = ,соответственно 1 = 32и 3 = − 2 1 с некоторой константой . Втаком случае легко видеть, что =− ′ 21+ 2(︂′ +2′′ 4 2)︂1211+ 2 ′ 22 + 2(︂)︂2′′′ + 4 2 32 .При ′ > 0 и ′′ > 0 каузальных патологий в смысле работы [80] необнаруживается, хотя скоростисверхсветовые в направлениях, попереч√︁′′2ных к магнитному полю ( 1 + 4 ′ 2 в единицах скорости света).Если же положить ′′ < 0, то патологий не возникает до тех пор, пока22′< − 4 ′′ , а скорости распространения при этом субсветовые.
При боль-ших магнитных полях гиперболичность нарушается, или в более привычных терминах: система оказывается гиперболичной по отношению ккоординате 2 в роли переменной времени.Наконец, можно исследовать скрещенные конфигурации электрического и магнитного полей.
Положим 01 = и 31 = , а в качествеметрики возьмём для простоты пространство Минковского, тогда в волновом операторе получаем (2.31):(︀)︀(︀)︀ = − ′ − 4 ′′ 2 2 − 8 ′′ 3 + ′ + 4 ′′ 2 32(︀)︀+ ′ + 4 ′′ ( 2 − 2 ) 12 + ′ 22 .При любом знаке ′′ вдоль направления 1 могут возникать проблемы скаузальностью, что подтверждает общий вывод работы [80].1232.4.2Космологические векторные поляРассмотрим теперь выводы, которые можно сделать для космологиина основе картины нарушения гиперболичности для векторных полей.Будем предполагать, что потенциальная энергия подавлена по сравнению с кинетической (можно даже думать о чистой ℒ = − ( 2 ) модели,но нам не хочется обсуждать проблемы калибровочной инвариантности).Будем рассматривать динамику пробного пространственно однородноговекторного поля в расширяющейся Вселенной.Следуя логике работы [80], будем для начала искать режимы с мед2ленно меняющимся электрическим полем 2 .
Для этого требуется ∼ или ˙ ≈ , в то время как уравнение движения (2.27) в пренебрежениимассой дает(︂ 2 ′′1−4 2 ′)︂(︂)︂2 ′′˙ + 1 + 4 2 ′ ≈ 0.(2.33)2 ′′Ясно, что нам необходимо, чтобы отношение24 2 ′ +12 ′′4 2 ′ −1было близко к еди-′′нице, а следовательно 4 2| ′ | ≫ 1.Мы уже видели, что при ′′ > 0 в случае таких больших полей возникает нарушение гиперболичности (а ещё раньше появляются сверхсветовые скорости распространения).Случай ′′ < 0 выглядит более обнадёживающе, хотя и надо заботиться от том, чтобы не перейти в область ′ < 0 (мы считаем поля2уменьшающимися, но 2 = −2 2 растёт у уменьшением ).Рассмот-2рим, например, функцию ( 2 ) = 1 − − с некоторой постоянной22 > 0.
В таком случае всегда ′ = − > 0 и ′′ = −2 − < 0.24 2 −1˙· , откуда следует ˙ ≈ Из уравнения (2.33) получаем =224 2 +1если 4 2 ≫ 1.Казалось бы, возможен режим медленного качения. Но, именно поскольку функция выбрана чрезвычайно крутой, это не совсем то, что нам2нужно. Можно убедиться, что решение имеет вид 2 4 22 =4и отве-чает медленному качению электрического поля только за счет экспоне-124нициально сильной зависимости в левой части. Тензор энергии-импульса2доминируется слагаемым − , которое быстро убывает (хотя ис сохранением относительной анизотропии).
Соответственно, характерная плотность энергии убывает, и такое поле не может быть источникоминфляции.Соответственно, этот пример учит нас, что может быть лучше искатьфункции с большой второй производной ′′ , но малой ′ , для которыхнет такого усиления качения в сравнении с аргументом.Ясно од-нако, что малость первой производной при большой второй требует ещебольшей подстройки параметров. К тому же, заведомо опасная область ′ < 0 оказывается совсем рядом.Разумеется, остаётся ещё возможность вообще не гнаться за медленностью изменения электрического поля, а просто рассмотреть предельно(экспоненциально) плоскую функцию , которая будет давать практически постоянную плостность энергии несмотря на быстрый бег аргумента.Однако это мало отличается от простой космологической постоянной, когда в тензоре энергии-импульса доминирует член .Можно подтвердить выводы работы [80] о том, что жизнеспособныеинфляционные режимы возможны только в результате тонкой подстройки параметров или выбора экспоненциально плоского потенциала, хотяпоследний вариант, с нашей точки зрения, не обязательно должен считаться неестественным.
Однако рассмотрение в терминах невозможностимедленного каченияи0не вполне точно для моделей с очень силь-ной зависимостью функции от аргумента, поскольку медленное качение данных величин оказывается не тем условием, которое обеспечиваетправильное уравнение состояния.***Снова отметим, что в последнее время также стало интересно рассматривать поля типа векторных галилеонов [98]. Примечательно, чтонаши условия гиперболичности очень похожи на условия устойчивостив работе [98] с заменой фоновых конфигураций векторного поля на геометрические величины.125Глава 3Массивная гравитацияВ этой главе исследуются особенности теорий массивной гравитации, результаты опубликованы в работах [7*,8*,9*,10*].
В литературесуществуют прекрасные обзоры по данной теме: написанный на заредРГТ теорий общий обзор Курта Хинтербихлера [99], подробный обзорпо дРГТ теориям и их приложениям, написанный с точки зрения эффективной теории поля, от Клаудии де Рам [100], а также обзор [101] побиметрическому варианту теории с упором на гамильтонов формализм.Поэтому мы ограничимся лишь теми аспектами, которые важны для наших собственных работ [7*,8*,9*,10*]. В частности, мы полностью игнорируем тетрадную формулировку [102], которая является очень важнойсоставной частью теории.История массивной гравитации восходит к классической статье Фирца и Паули 1939 года [103], в которой, в рамках линеаризованной теории,была найдена форма потенциала, обеспечивающая наличие только пятистепеней свободы (за счёт пары связей второго рода).
Через некотороевремя (в 1970 году) было замечено [104,105], что в теории нет непрерывности предела при стремлении массы гравитона к нулю: скалярная модане отщепляется при → 0, увеличивая притяжение массивных тел, ноне меняя отклонения лучей света, что противоречит экспериментальнымданным.Однако же, очень скоро было выяснено [106], что чем меньше масса, тем больше область, в которой скалярная мода находится в режимесильной связи (при учёте нелинейных поправок в действии Эйнштейна126Гильберта), и можно рассчитывать на восстановление непрерывностипредела → 0 в полной нелинейной теории – это механизм Вайнштейна.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
