Диссертация (1145296), страница 20
Текст из файла (страница 20)
С современной точки зрения можно рассматривать его как один извозможных способов "спрятать" скалярную моду от детектирования вмодифицированной теории гравитации, наряду с хамелеоном [107] и симметроном [108]. Отличие механизма Вайнштейна в том, что он использует нелинейность в кинетической части действия. Разумеется, это весьманетривиальный механизм, полностью доказать наличие которого непросто, см. современный обзор [109]. Это одна из очень серьёзных проблем,связанных с применением (лоренц-инвариантной) массивной гравитациик реальным ситуациям, особенно с точки зрения квантования.По иронии судьбы, в том же самом году (1972), когда был предложенмеханизм Вайнштейна, Боулваром и Дезером было показано, что приучёте нелинейных поправок духовая степень свободы неизбежно возвращается обратно в теорию [110], и исследования по массивной гравитациина долгие годы утратили свою привлекательность.Прорыв произошёл в 2010 году, когда Клаудия де Рам и ГрегориГабададзе обнаружили [111] пробел в рассуждениях [110, 112], устанавливающих неизбежность духа.
Нелинейные поправки строились по теории возмущений, но авторам удалось, совместно с Эндрю Толли, обнаружить [113], что они складываются в ряд Тейлора для квадратного корняиз некоторой матрицы, см. ниже раздел 3.2. Разумеется, дать общее доказательство отсутствия духа во всех порядках теории возмущений быловесьма непросто, см. статьи [113, 114].В серии работ [115–119] Фавад Хассан, Рейчел Розен и другие дали общее непертурбативное доказательство отсутствия духа в дРГТ теории, атакже обобщили этот результат на случай произвольной опорной метрики (вместо метрики Минковского) и на биметрический случай (динамическая опорная метрика).
Это вызвало мощный всплеск исследований потеории массивной гравитации, включая космологические решения, Чёрные Дыры и т.д., см. обзоры [100, 101].Наша работа [7*] была написана на заре исследований по гамильтонову анализу массивной гравитации, и в ней был предложен новый метод127проведения анализа, со вспомогательными полями, но без явного извлечения квадратного корня из матрицы, который оказался полезен [120]для рассмотрения проблемы на языке полей Штюкельберга для нарушенных диффеоморфизмов.Работы [8*,9*] посвящены важному аспекту теории – проблеме существования и единственности квадратного корня из матрицы. Эти вопросы тесно переплетены со взаимоотношениями тетрадной и метрическойформулировок [121,122], с которыми пока ещё связано много неясностейи которые выходят за рамки данной Диссертации.Возможности использования необычных корней упоминались, в весьма частных случаях приложений к космологии, в статьях [123–125], носколько-нибудь общего рассмотрения до наших работ предложено не было.
Нами была полностью описана имеющаяся здесь неоднозначность, атакже предложен вариант теории возмущений (в терминах собственныхзначений вместо матриц), который позволяет рассматривать такие ситуации, когда стандартные методы терпят полное фиаско в силу плохойпоставновки задачи об извлечении матричного квадратного корня, см.раздел 3.6.Наконец, в статье [10*] мы обнаруживаем наличие духа в одном израсширений массивной гравитации – в расширенном квазидилатоне. Промотивы для рассмотрения этих теорий и актуальность данного исследования см. разделы 3.7 и 3.8.Отметим, что разделы 3.1, 3.2 и 3.7 являются обзорными и не содержат результатов, выносимых на защиту.
В них приведены необходимыесведения для понимания смысла наших работ и их места в текущей литературе. Раздел 3.4 также не является новым, ибо содержит математическое рассмотрение проблемы извлечения квадратных корней из матриц.Наши результаты приведены в разделах 3.3, 3.5, 3.6 и 3.8.3.1Теория Фирца-Паули и её проблемыОсобенность массивной гравитации заключается в том, что есть несоответствие ожидаемого числа степеней свободы после разрушения калиб128ровочной инвариантности общей теории относительности (2 + 4 = 6) иразмерности представления группы Лоренца, отвечающего массивномуспину 2 (5).
Печальная новость заключается в том, что лишняя скалярная мода оказывается духом.Опасность придания гравитону массы довольно таки ясна уже науровне линейной теории. В самом деле, рассмотрим линеаризованноедействие Эйнштейна-Гильберта (сигнатура (−, +, +, +))∫︁=(︂11 − ( ℎ )( ℎ ) + ( ℎ )( ℎ )42)︂11− ( ℎ )( ℎ ) + ( ℎ )( ℎ ) + (ℎ3 ) , (3.1)244в стандартных переменных космологической теории возмущений (см.первую главу) оно принимает вид∫︁=(︂11( )( )4 − ( ℎ )( ℎ ) + ( (˙ − ))242(︁)︁)︁223˙˙− 6 + 2( ) + 4 △ − + ¨ + (ℎ ) , (3.2)где, как обычно,ℎ00 = 2,ℎ0 = + ,( )ℎ = 2 + 22 + + + ℎпри ≡ 0, ≡ 0,( ) ℎ≡ 0,( )ℎ≡ 0.Как видим, в секторе гравитационных волн всё в порядке, они подчиняются безмассовому волновому уравнению.Два поперечных вектора отвечают четырём независимым параметрам, но только два из них, дающиеся вектором ˙ − , калибровочноинвариантны.Наконец, у скаляров тоже есть две калибровочно инвариантные комбинации, и − ˙ + ¨ .
Разумеется, все эти переменные получаются из129космологических инвариантных потенциалов при стремлении константыХаббла к нулю, см. раздел 1.2.6.У величин и нет производных по времени в действии, а производная от может быть устранена интегрированием по частям. Такимобразом, эти четыре переменные не являются динамическими. И, более того, они служат множителями Лагранжа, накладывающими четыресвязи (первого рода, отвечающие калибровочной инвариантности).Легко видеть, что тем самым скалярный и векторный сектора лишаются динамических гравитационных степеней свободы и полностьюопределяются связями. Очевидно, что это обстоятельство спасительнодля теории, поскольку в скалярном секторе действия (3.2) мы видимнеправильный знак кинетической энергии.
Следовательно, вводя массугравитона, которая гарантированно разрушит калибровочную симметрию, следует убедиться, что мы не возвращаем дух в теорию.Вообщя говоря, можно было бы думать о двух способах добавить массовое слагаемое к действию (3.1), ℎ ℎ или ℎ ℎ . Заметим однако, чтоизбавиться от неправильной кинетической энергии удавалось благодаря тому, что поле (по сути – ℎ00 ) входило в действие (3.2) линейно. Попытка сохранить это свойство приводит нас к слагаемому Фирца-Паули:)︀2 (︀ℎ ℎ − ℎ ℎ . =4(3.3)При этом остается множителем Лагранжа квадратичного действия ипорождает связь, а точнее – пару связей второго рода.***Другая поучительная точка зрения на массовый член Фирца-Паулизаключается в использовании трюка Штюкельберга. В линейном приближении калибровочное преобразование метрики при замене координат −→ + () выглядит следующим образом:ℎ → ℎ + + .130При подстановке этой замены в массовое слагаемое (3.3) полученное выражение обладает тем замечательным свойством, что лагранжиан штюкельбергова поля совпадает с максвелловским( − ) ( − ) ,единственно возможным, свободным от духа.
Если бы мы имели другоемассовое слагаемое, то при выделении уже из векторного поля продольной компоненты c помощью нового трюка Штюкельберга, → + ,последняя получила бы старшие производные в действии – дух Остроградского.3.2Нелинейная бездуховаямассивная гравитацияКак мы уже обсуждали выше, необходимо выйти за рамки линейногоприближения, хотя бы для того, чтобы не противоречить экспериментампо проверке общей теории относительности. В принципе, можно пойти по прямолинейному пути и искать поправки следующего порядка.
Аименно, если мы учли, например, третий порядок в действии ЭйнштейнаГильберта, какие поправки надо добавить к слагаемому Фирца-Паули?Так можно поступить в каждом порядке теории возмущений и получитьцелый ряд для потенциала в полностью нелинейной теории массивнойгравитации [111].
Отметим, во избежание недоразумений, что при работе на языке полей Штюкельберга придётся выйти за рамки линейногоприближения при записи преобразования метрики.Однако, довольно рано было замечено, что ряд подозрительно похожна ряд Тейлора для квадратного корня. И действительно, оказалось, чтобездуховые потенциалы представимы с помощью квадратного корня изматрицы [115]:√︀1 = Tr −1 ,(︁ √︀)︁2(︁√︀)︁2−1−12 = Tr − Tr ,131)︁3(︁ √︀)︁ (︂ (︁√︀)︁2 )︂(︁√︀)︁3√︀−1−1−1−13 = Tr − 3 Tr Tr + 2Tr .(︁Следует заметить, что у этих выражений есть замечательный математический смысл: это элементарные симметрические полиномы соб√︀ственных значений матрицы −1 .
(На самом деле, в качестве фоновойметрики можно взять любую другую метрику вместо метрики Мин√︀ковского и иметь дело с матрицей −1 .) В частности, можно былобы взять и четвёртый полином, но он равен детерминанту, и поэтому,√будучи умножен на −, просто сдвигает действие на константу (про√порциональную − в случае произвольной вспомогательной метрики– добавка к её космологической постоянной в биметрической теории).Отметим, что при использовании потенциала Фирца-Паули (с почтилюбыми нелинейными поправками) теория возмущений перестаёт рабо(︀)︀1/5тать на масштабе Λ5 = 4 , который соответствует классическому радиусу Вайнштейна, внутри которого скалярная мода становится сильно связанной.
Это масштаб обрезания для эффективной теориимассивного гравитона [112]. Потенциал массивной гравитации дРГТ получается последовательным сокращением лидирующих взаимодействий,самодействий скаляра. Можно убедиться, что он позволяет отодвинуть)︀1/3(︀обрезание до масштаба Λ3 = 2 , на котором уже важна и векторная мода [126], и выше которого, по-видимому, масштаб обрезанияподнять невозможно при сохранении лоренц-инвариантности (см.
однако [127]).Интересно отметить, что хотя старшие производные и не исчезаютиз действия скалярной моды, они принимают вид галилеонов, обладающих уравнениями движения второго порядка. В этом можно убедитьсяв пределе отщепления → 0, → ∞, Λ3 = , в котором остаётсятолько скалярная мода [126].Мы не будем повторять всех подробностей, хотя это и очень красивая тема, поскольку главной задачей данной главы является непертурбативный гамильтонов анализ. Для нас важно, что действие массивной132гравитации можно записать в виде [115]∫︁=(︃√ − + 2∑︁)︃(︁√︀)︁ −1 ,(3.4)=0где – размерность пространства-времени с метрикой , – скалярная кривизна данной метрики, а – элементарные симметрические полиномы собственных значений той матрицы, что стоит у них в аргументе (в исходных пертурбативных работах [113] использовалась матрица√︀√︀I − −1 вместо −1 , но это неважно, поскольку симметрическиеполиномы можно, конечно же, легко пересчитать).Опишем более подробно понятие симметрических полиномов.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
