Диссертация (1145296), страница 24
Текст из файла (страница 24)
В случае же ̸= ,у матрицы A не может быть внедиагонального элемента. Это результат,хорошо известный, например, из квантовой механики – условие одновременной измеримости двух наблюдаемых.Квадратные корни из матрицТеперь мы можем вернуться к вопросу об извлечении квадратногокорня из матрицы. Предположим, нам дана произвольная невырожденная матрица(︃)︃⨁︁X = −1 ( ) ,и мы хотим решить квадратное уравнениеA2 = Xотносительно неизвестной матрицы A.Искомую матрицу тоже можно представить в виде прямой суммыжордановых клеток, причём без явлений расщепления, поскольку ′ ̸= 0для функций квадратного корня и возведения в квадрат на спектрахневырожденных матриц. Есть взаимно-однозначное соответствие междужордановыми клетками X и A, причём, очевидно, мы можем использо√︀√вать () вместо ( ) в спектральном разложении матрицы A:(︃A = −1)︃⨁︁ √︀ ( ) ,где – неопределённое пока преобразование подобия, с простейшим возможным решением = .Наше уравнение A2 = X можно записать теперь в виде(︃ −1)︃⨁︁ ( ) = −1(︃⨁︁157)︃ ( ) ,который легко преобразовать к форме уравнения коммутации −1(︃⨁︁)︃ ( )=(︃⨁︁)︃ ( ) −1 .Общее решение получается в виде утверждения о том, что −1 ком⨁︀мутирует с ( ).
Иными словами, является произведением и⨁︀произвольной матрицы, коммутирующей с ( ). Структуру последней мы уже описали в предыдущем пункте.Разумеется, новый (отличный от случая = ) квадратный корень⨁︀получается только тогда матрица −1 хоть и коммутирует с ( ),⨁︀ √︀ ( ).но не коммутирует сТеперь мы видим, что при извлечении квадратного корня в смыслерешения квадратного уравнения может появляться ещё и континуальная симметрия. Это происходит в тех случаях, когда у матрицы X естьсовпадающие собственные числа = в разных жордановых блоках.Для такой матрицы существует континуальное семейство коммутирующих матриц, вид , блоков которых мы выше определили, или, что тоже самое, существует континуальное семейство преобразований подобия,не меняющих данную матрицу. Если же мы для двух таких собственных√︀√чисел выберем разные ветви квадратного корня, = − , то по√лученная матрица X уже не будет оставаться инвариантной при этихпреобразованиях.
Тем самым получается континуальное множество корней. Отметим, однако, что хорошие аналитические свойства, связанныес определением в виде аналитической функции, при этом не гарантированы. Более того, как мы ниже увидим, их просто нет.3.5Новый метод в теории возмущенийВыяснив структуру квадратных корней, мы попробуем теперь обойтись без их явного нахождения. Как будет показано в следующем разделе, такой метод позволяет работать со случаями континуальной сим-158метрии, при которых теория в её стандартной формулировке просто неработает.
Этот способ был предложен в нашей работе [8*].3.5.1Соотношение междусимметрическими полиномамиЗаметим, что для записи действия массивной гравитации нам до√︀статочно знания лишь собственных значений матрицы −1 , а точнеедаже их симметрических полиномов. Можно надеяться тогда сформулировать теорию без явного нахождения матрицы квадратного корня,тем самым нивелируя проблему континуальной симметрии, описаннойв предыдущем разделе, которая, очевидно, не затрагивает собственныхчисел.Попробуем связать симметрические полиномы исходной матрицы иеё квадратного корня.
Вот главное наблюдение:∑︁(︀)︀(−2 ) − · (ℳ2 ) = det ℳ2 − 2 I=0= det ((ℳ − I) · (ℳ + I)) = det (ℳ − I) · det (ℳ + I))︃(︃ )︃ (︃ ∑︁∑︁= − · (ℳ) . (3.32)(−) − · (ℳ) ·=0=0Сравнивая степени с обеих сторон, получаем как тривиальное соотношение∑︁(−1) (ℳ) (ℳ) = 0,+=2+1так и то, что нам надо:∑︁(−1) (ℳ) (ℳ) = (−1) (ℳ2 ).+=2159(3.33)Мы связали элементарные симметрические полиномы произвольной матрицы ℳ и её квадрата ℳ2 . В частности, в четырёхмерном случае имеем1 (ℳ2 ) = 21 (ℳ) − 22 (ℳ),(3.34)2 (ℳ2 ) = 22 (ℳ) − 21 (ℳ)3 (ℳ) + 24 (ℳ),(3.35)3 (ℳ2 ) = 23 (ℳ) − 22 (ℳ)4 (ℳ),(3.36)4 (ℳ2 ) = 24 (ℳ).(3.37)Корни из единичной матрицыВ конечном счёте нас интересует случай ℳ2 = −1 , причём длямногих задач мало отличается от .
Поэтому рассмотрим для началапростой случай ℳ2 = I. Уравнения (3.34) – (3.37) принимают вид√√4 = 21 ( I) − 22 ( I),√√√√6 = 22 ( I) − 21 ( I)3 ( I) + 24 ( I),√√√4 = 23 ( I) − 22 ( I)4 ( I),√21 = 4 ( I).Их довольно просто проанализировать и получить перечисленные нижерешения.Одно решение совершенно очевидно:√1 ( I) = ±4,√2 ( I) = 6,√3 ( I) = ±4,√4 ( I) = 1,оно отвечает тривиальному квадратному корню⎛√1 0 0 0⎞⎜⎟⎜0 1 0 0 ⎟⎟I = ±⎜⎜0 0 1 0 ⎟ .⎝⎠0 0 0 1Почти всегда именно оно и используется, но им возможности не исчерпываются.160Другое решение имеет вид√1 ( I) = 0,√2 ( I) = −2,√3 ( I) = 0,√4 ( I) = 1,представляя квадратный корень⎛1 0 0⎜√⎜0 1 0I = ±⎜⎜0 0 −1⎝0 000⎞⎟0⎟⎟,0⎟⎠−1а также все его преобразования подобия, поскольку(︁·√I·−1)︁2√= · ( I)2 · −1 = Iдля любой невырожденной матрицы .Наконец, существует и третье решение:√1 ( I) = ∓2,√2 ( I) = 0,√3 ( I) = ±2,√4 ( I) = −1.Оно представляет корень⎛√1000⎞⎜⎟⎜0 −1 0 0 ⎟⎟I = ±⎜⎜0 0 −1 0 ⎟⎝⎠0 0 0 −1и все его преобразования подобия.Можно убедиться, что в стандартном подходе возмущения вокругвторого и третьего решений плохо определены.
В самом деле, легкопро(︃)︃I Oверить, что, если прибавлять малое вомущение к матрице,O −Iто в линейном приближении ее квадрат никогда не получает ненулевых элементов во внедиагональных блоках. Соответственно, любое скольугодно малое возмущение единичной матрицы, не уважающее блочнодиагональную структуру этого корня, приводит к невозможности так161извлечь квадратный корень из полученной матрицы, чтобы он был малым возмущением исходного.Причина очень проста. Единичная матрица не имеет никаких предпочтительных направлений в своём векторном пространстве.
Извлечениеже квадратного корня необычного вида предполагает необходимость выбрать два взаимно дополнительных подпространства, которые будут собственными для матрицы квадратного корня, и при этом с разными знаками собственных значений. Но если мы вводим возмущение, не коммути√рующее с I, то тем самым оно определяет фиксированные собственныевектора для возмущённой матрицы, не уважая при этом произвольныйвыбор собственных подпространств, сделанный при записи квадратного корня. И несоответствие может отвечать сколь угодно большим углам. Поэтому и гладкое изменение такого квадратного корня становитсяневозможным (не говоря уже о том, что от континуальной свободы выбора корня возмущение оставляет лишь дискретную).Новая формулировка теорииИтак, мы записываем действие теории в обычном виде∫︁=(︃√4 − + 24∑︁)︃ e ,(3.38)=0но при этом определяем величины e как решения алгебраических уравнений1 ( −1 ) = e21 − 2e2 ,(3.39)2 ( −1 ) = e22 − 2e1 e3 + 2e4 ,(3.40)3 ( −1 ) = e23 − 2e2 e4 ,(3.41)4 ( −1 ) = e24 ,(3.42)√︀нигде явно не вводя матрицы −1 .Заметим, что это принципиально отличается от нашей работы совспомогательными полями из раздела 3.3, поскольку вспомогательные162поля в последней – по сути, и есть компоненты матрицы квадратного корня.
Вместе с тем, представленный здесь метод позволяет обойтиименно проблематичную континуальную симметрию, которая столь женепосредственно относится и к определению вспомогательных полей. Нодля начала мы хотим показать как он работает в обычном случае.3.5.2Предел Фирца-Паули в рамках нового методаПрименим уравнения (3.39) – (3.42), чтобы вопроизвести действиеФирца-Паули. Используя определения (3.7), (3.8), (3.9), и если угодно(3.10), получаем для левых частей наших уравнений степенные разложения:1 ( −1 ) = 4 − ℎ + ℎ ℎ + (ℎ3 ),512 ( −1 ) = 6 − 3ℎ + (ℎ )2 + ℎ ℎ + (ℎ3 ),22−1 23 ( ) = 4 − 3ℎ + (ℎ ) + 2ℎ ℎ + (ℎ3 ),114 ( −1 ) = 1 − ℎ + (ℎ )2 + ℎ ℎ + (ℎ3 ).22√Нас сейчас интересуют возмущения вокруг тривиального решенияI = I, и поэтому мы кладёмe1 = 4 + e1 ,e2 = 6 + e2 ,e3 = 4 + e3 ,e4 = 1 + e4 .Конечно же, уравнение (3.42) может быть легко разрешено относительно e4 с любой необходимой точностью, и мы имеем111e4 = 1 − ℎ + (ℎ )2 + ℎ ℎ + (ℎ3 ),284естественно воспроизводя формулу (3.16).163Рассмотрим оставшиеся три уравнения с точностью до первого порядка:ℎ = 2e2 − 8e1 ,2ℎ = 8e1 + 8e3 − 12e2 ,9ℎ = 2e2 − 8e3 ,откуда легко находим1e1 = − ℎ ,23 e2 = − ℎ ,23 e3 = − ℎ .2Подставляя найденные решения обратно, получим для поправок второго порядка:1(2)(2)ℎ ℎ − (ℎ )2 = 8e1 − 2e2 ,41(2)(2)(2)2ℎ ℎ − (ℎ )2 = 12e2 − 8e1 − 8e3 ,27(2)(2)5ℎ ℎ + (ℎ )2 = 8e3 − 2e24с очевидным решением(2)e1(2)e2(2)e3=3ℎ ℎ ,81= ℎ ℎ + (ℎ )2 ,871= ℎ ℎ + (ℎ )2 .84Как видим, формулы (3.13) – (3.16) успешно воспроизведены.
Подстановка в действие (3.38) даёт теорию Фирца-Паули.1643.5.3Об уравнениях движенияСделаем несколько замечаний о применении нового метода в болееобщих ситуациях. Для краткости обозначим ( −1 ) ≡ , а симметрические полиномы квадратного корня будем теперь обозначать простойбуквой , что дает∑︁(−1) = (−1) ,(3.43)+=2или более явно в четырёх измерениях:21 − 22 = 1 ,(3.44)22 − 21 3 + 24 = 2 ,(3.45)23 − 22 4 = 3 ,(3.46)24 = 4 .(3.47)∑︀ , а вариацию можноЛагранжиан взаимодействия имеет видвыполнить как(︃)︃∑︁(︀)︀√√1 − =− − + 2.2(3.48)В случае, когда корректно определена теория в терминах матриц, этиуравнения очевидно эквивалентны уравнениям (3.27) в теминах Y.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
