Диссертация (1145296), страница 27
Текст из файла (страница 27)
Если бы рассматри181валось возмущение, коммутирующее с выбранным корнем из единичнойматрицы (ℎ = 0 для 6 2 и > 3 и наоборот), то получилось бы два∑︀∑︀∑︀∑︀слагаемых типа Фирца-Паули,ℎ ℎ − ( ℎ )2 иℎ ℎ − ( ℎ )2 .,6262,>3>3То же самое воспроизводит в этом случае и наша формула.В целом же имеется шесть возможных ветвей решения, по числу выборов двух чисел из четырёх. При этом алгебраическая сложность выражений не превосходит таковой для корней уравнения четвёртого порядка, поскольку всё определяется собственными значениями матрицы4 × 4. Напомним, кстати, что решение общего уравнения четвёртого порядка сводится к решению кубического и квадратного уравнений.Отметим также, что подобный квадратный корень можно тоже пытаться использовать в космологии, но для регуляризации теории возмущений необходим уже пространственно анизотропный фон. В противномслучае космологическая теория возмущений в стандартных терминах вообще не будет корректно определена (ср.
опять с работой [125]).3.6.6ОбсуждениеТаким образом, мы описали структуру квадратных корней из матриц,лежащих в основе современных теорий массивной гравитации. Это определённо не самый простой и приятный объект для работы из тех, чтовстречаются в теоретической физике. При этом оказывается, что дискретная свобода в выборе корня не приводит к принципиальным трудностям, хотя технически работа может оказаться веьма непростой. Континуальная же свобода делает вообще модель плохо сформулированной,и описание возмущений становится невозможным.Наш метод работы с элементарными симметрическими полиномамипозволяет обойти обе эти сложности, хотя во втором случае в теории возмущений появляются неаналитичности неприятного вида.
Однако онинеразрывно связаны со свойствами тех величин, что входят в действие,и от них нельзя избавиться в рамках этой модели. По крайней мере,новый метод позволяет хотя бы в принципе обсуждать эти ситуации.182Свойства новой теории возмущений вокруг нестандартных корней мыустановили на низкоразмерных примерах (впрочем, включающих физическую размерность). Однако, кажется вероятным, что за ними могутстоять интересные математические структуры, которые ещё предстоитустановить. В частности, представляется правдоподобным, что в любойразмерности, если обозначить через ℐ− и ℐ+ множества индексов, отве√чающих отрицательным и положительным собственным значениям Iсоответственно, то квадратичный потенциал вокруг пространства Минковского примет вид суммы двух слагаемых типа Фирца-Паули:1 ·∑︁∑︁ + 2 ·<; ,∈ℐ− .<; ,∈ℐ+Интересной задачей на будущее будет установить, как это всё соотносится с тетрадным формализмом в массивной гравитации [102].3.7Проблемы и обобщениямассивной гравитацииНа самом деле, одновременно с большим прогрессом в построениибездуховых моделей массивной гравитации [100], стало понятно, что, каквсегда, у теории есть множество трудностей.
Было много обсуждений влитературе, связанных с проблемой нарушения причинности [135], которую, впрочем, вообще не так легко определить в биметрических картинах. Отметим однако, что в современной теории гравитации вообщене так редко рассматривают модели с нарушением причинности [136].Существуют также аргументы в пользу того, что квантовые поправкидолжны охранять наш мир от нарушений причинности [137].
Мы не будем далее обсуждать вопросы причинности и квантования [138].С нашей точки зрения более важной задачей является построениекосмологических моделей. К сожалению, оказалось, что массивная гравитация, хоть и является очень интересной возможностью, но не оправдала всех возложенных поначалу на неё надежд. В частности, оказа183лось очень сложно построить жизнеспособные космологические модели.При опорной метрике Минковского не существует однородных космологических моделей [139], кроме случая отрицательной пространственнойкривизны [140], который всё равно оказывается неустойчивым (дух ввекторном секторе, поскольку действие для векторных возмущений начинается с третьего порядка; это не дух Боулвара-Дезера) [141].
Переходк биметрической теории улучшает дело [142], но не решает всех проблем.И самым надёжным вариантом оказывается космология, в которой вторая метрика почти отключена значением своей массы Планка [143].Вместе с тем массивная гравитация является теоретически очень интересной моделью, которая, по крайней мере в некоторых биметрическихрежимах [143], не противоречит наблюдательным данным, обладает потенциально очень многообещающей динамикой, и даже, вполне возможно, массивный партнёр гравитона мог бы взять на себя роль ТёмнойМатерии [144]. Отказываться от такой возможности было бы явно преждевременно. Но, с другой стороны, хочется выяснить, можно ли построить космологическую модель, не обращаясь к полностью биметрическойконструкции с подавленными эффектами второй метрики [143].Поэтому рассматривалось множество возможностей расширить модель, от переменой массы гравитона, параметризованной некоторым скалярным полем [145] до модификаций типа () [146].
Очень интересной возможностью оказался вариант расширения с помощью квазиди√︀латона [147], в котором матрица −1 умножена на экспоненциальнуюфункцию от значений дополнительного скалярного поля (квазидилатона), а когда и такие космологии столкнулись с проблемами устойчивостивозмущений [148], был предложен расширенный квазидилатон [149].Большинство работ по квазидилатону написано на языке матрицы√︀√︀I − −1 вместо −1 (напомним, что это исторически первая записьтеории [113], которая удобна для исследований в рамках теории возмущений). Действие расширенного квазидилатона в этой картине выглядит184так:2 =2∫︁√)︂4 − [] − 2 + 22 (2 + 3 3 + 4 4 ) , (3.75)(︂где под -ыми подразумеваются элементарные симметрические полиномы от матрицы = / −(︂√︁)︂ −1 ˜(3.76)с новой опорной метрикой, равной˜ = −−2/ .22 (3.77)Именно изменение опорной метрики отличает расширенный квазидалатон от обычного: обращение в нуль приводит к модели обычного квазидилатона.В качестве основной опорной метрики , как правило, берётся пространство Минковского: = .
Однако же часто при этом формально восстанавливают калибровочную инвариантность введением полей Штюкельберга : = ,(3.78)которые по своему смыслу описывают преобразование координат от тех,в которых метрика имеет вид Минковского.3.7.1Космологические решенияс расширенным квазидилатономДля целей следующего раздела кратко опишем космологии в моделях с расширенным квазидилатоном. При этом нас будет интересоватьпространственно плоский случайd2 = − 2 () 2 + 2 () ,(3.79)d2˜ = −2 () 2 + (3.80)185с пространственно однородным квазидилатоном = (). На языке полей Штюкельберга можно написать0 = 0 (), = ,2 = ˙ 20 + 2 2 −2/ ˙ 2 .Pl (3.81)(3.82)Уравнения движения при этом принимают вид (см., например, [150])3 2 = Λ + ˙ 2,22 22˙(1 − )Λ̇ ˙ 2=− 2 2,3 − 3/˙ (︂)︂1 2 2 4 ( − 1) ˙ 0 = 0,(3.83)(3.84)(3.85)2 3 (3( − 1)(−2 + 3 ( − 1)) + (−3 + (−1 + 4)))= (3 2 ˙ + ¨ − ˙ ),˙(3.86)где введены следующие стандартные обозначения:() ≡() ≡() ≡() ≡/ ,˙,,3 + 3(1 − ) 3 + (1 − )2 4 ,Λ ≡ 2 ( − 1)[ + ( − 1)(3 ( − 1) − 3)].3.8Космологические возмущения в моделис расширенным квазидилатономМы теперь хотим показать, что теории с квазидилатоном не просто космологически неустойчивы, но и страдают от присутствия духа186Боулвара-Дезера (на примере космологических возмущений).
К сожалению, речь здесь пойдёт об очень громоздких, но весьма прямолинейныхвычислениях, который проводились с использованием вычислительнойтехники. Даже явное выписывание квадратичного действия может занимать несколько страниц, поэтому мы ограничимся формулировкой наиболее важных результатов без вычислительных деталей.Отметим, что история этого вопроса запутанна. В первой версии препринта Мукоямы [151] содержалось утверждение об отсутствии духа идаже было приведено непертурбативное доказательство, основанное нанекорректном выборе калибровки, которое однако подверглось критикев работе [152], впрочем тоже не вполне убедительной.
В работе [150] были сделаны утверждения об устойчивости возмущений, но в таких приближениях, которые на самом деле не позволяют сделать уверенногозаключения (вырожденность гессиана, полученная в ультрафиолетовомпределе, может просто указывать на разную скорость роста ненулевыхсобственных значений с импульсом). И наконец, когда мы уже готовилик печати нашу работу [10*], появилась статья [153] с независимым исследованием космологических возмущений, в которой (наряду с другими результатами) был сделан вывод о присутствии духа Боулвара-Дезера, подтверждающийся и нашими более обстоятельными вычислениями. Вскорепосле появления работы [153] вышла вторая версия препринта Мукоямы [154], в которой уже доказывалось, что дух в модели есть.3.8.1Духовая мода в космологических возмущенияхРассмотрим космологические возмущения в моделях с расширеннымквазидилатоном.
Поскольку мы интересуемся скалярным сектором, содержащим дух Боулвара-Дезера, мы игнорируем векторные и тензорныевозмущения метрики. Мы использовали следующую стандартную пара-187метризацию возмущений метрики:Φ, = ,(︂)︂]︂[︂ 2+ − ,= 2 3Pl00 = −2 20которая, с точностью до переобозначений и принятого в этих исследованиях явного выделения обезразмеривающих масс Планка, отличается отрассмотрений из раздела 1.2.6 только удалением следовой части из ,что часто бывает удобно.Рассмотрим квадратичное действие вокруг описанных выше космологических решений, в пространственном фурье-образе с импульсом .Полное выражение чрезвычайно громоздко. Однако нас интересует лишьгессиан кинетического слагаемого после удаления нединамических переменных.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
