Диссертация (1145296), страница 29
Текст из файла (страница 29)
Определим(пространственный) тензор как следующую комбинацию простран-199ственных метрик:√︃ ≡)︀ˆ 1 (︀ ˆ − + 2 .(4.12)Можно провести интегрирование по частям по следующей схеме:√(3 )√√√− ˙ −→ ˙ + ▽ − . (4.13)В результате становится динамической, но её скорость входит в действие только линейно, в произведении с другой скоростью – это в точности проблема духа, с которой мы встретились в предыдущем разделе.Используя соотношение (4.13), легко переписать лагранжиан (4.11) ввиде∫︁=[︃(3 )(3 )(3 ) (3 )√3 2 ▽ − ▽ − ▽ ▽ + ˙ (︃√︃(3 )ˆ (︃+ 2 ▽ +(︃(︃ √︃+где√)︃(3 )(︃√︃− 2 ▽ √︃ − ˆ − 2ˆ )︃ − )︃(3 ) √︃)︃ˆ ˆ )︃]︃ , (4.14)ˆ должна пониматься как функия независимых перменных , , и .
Заметим, что мы проитегрировали по частям некоторые слага(3 )емые, содержащие ковариантные производные ▽, чтобы избавиться отпроизводных внешних кривизн (это будет удобно для вычисления канонических импульсов), а также проделали некоторые несложные тождественные преобразования.Все временные производные от и оказались собраны в слагаемыес ˙ .
Соответственно, если принять за независимые переменные , , и , то и оказываются нединамическими. Однако же, действие200завиисит от них нелинейно, поскольку они нелинейно входят в величину(︀)︀√ˆ . В самом деле, ^ = det ˆ , и из определения (4.12) заключаем,√︁что ^ является решением нелинейного алгебраического уравненияˆ= det(︂√︂)︂ + − 2 ,ˆгде индексы поднимаются метрикой .Соответственно, вариации по отношению к и приводят к появлению связей в физическом секторе (проявление калибровочной инвариантности), в то время как нединамические переменные и производятлишь уравнения на самих себя. Соответственно имеем 12 переменных,входящих в действие со скоростями (6 компонент и 6 компонент ),и 4 калибровочные симметрии.
Общее число степеней свободы равно 8.Это и не удивительно для биметрической теории общего положения: двеполяризации безмассового гравитона и шесть степеней свободы от второго симметричного пространственного тензора.ГамильтонианВычислим также гамильтониан модели. Для этого надо найти канонические импульсы())︃√ (︃(3 )(3 )ℒ√= =≡▽ + ▽ − ˙ ˙ 2(4.15)и√ [︃ (3 )(3 )(3 )ℒ()≡=− ▽ + ▽ − ▽ + ˙ ˙ 2)︃(︃√︃)︃(︃√︃)︃(︃√︃(3 )(3)(3)ˆˆˆ+ ▽ + ▽ − 2 ▽ (︀)︀]︀+ + , (4.16)201где нами введена величина(︃ √︃ ≡ˆ − 2√︃)︃ − ˆ .Из уравнения (4.15) легко находятся скорости переменных ,(3 )(3 )2 ()˙ = ▽ + ▽ − √ ,или иными словами =()√1 .Аналогично можно найти ,˙ используяуравнение (4.16).
Мы не приводим здесь этого громоздкого выражения,и вместо этого запишем получающийся гамильтониан (опять выполненынекоторые интегрирования по частям, чтобы явно выделить переменныешага и сдвига в виде множителей Лагранжа):⎧ ⎡ ()⎨()() 3 √⎣ = () ˙ + ˙ − ℒ = − 2⎩√︃(︃(︃ √︃)︃)︃ () () ˆ ˆ+ − 2 − √︃√︃)︃(︃)︃(︃]︃()()(3)(3)(3)(3)(3)ˆ ˆ − ▽ ▽ + − ▽ √ − ▽ √ + 2(︃)︃(︃)︃}︃()() (3 )(3 )(3 ) ()− √ ▽ + 2 ▽ √ − 2 ▽ √. (4.17)∫︁Как и положено репараметризационно-инвариантной теории, гамильтониан оказывается линейной комбинацией связей. Однако, при изучении возмущений вокруг какого-либо фона, разумеется, приобретает разумный смысл эволюция во времени, а с нею и значения энергия. Приэтом энергия будет неограниченной ни снизу ни сверху, поскольку им()пульсы ()входят лишь в комбинации () – тот же самый эффект,что был виден и в лагранжевом подходе.2024.2.2Включение слагаемого Эйнштейна-ГильбертаИз соображений линеаризованной гравитации можно было надеяться,что избежать духов позволит действие∫︁=)︁√︀ (︁ˆ ˆˆ + 4при подходящем выборе коэфиициента .Однако, с учётом нелинейных эффектов ситуация становится толькохуже.
В самом деле, теперь мы имеем лагранжеву плотность(︁)︁√︀√︀ˆ−ˆ ˆ + = ˆ(︃(3 ))︃(︀ )︀ˆ + ˆ ˆ − ˆ ˆ ˆ ˆ √︃ [︃(︂)︃)︂ (︃(3)(3)(︀)︀ˆ1 √˙ − − ▽ ▽ − + ·ˆ − + ℒ→)︃(︃(3 )(3 ))︀ (3 ) (︀ ˆ − + 2 ▽ − ▽ +(︂)︂]︂)︀ )︀ 1 (︀ 2 (︀ +ˆ − − −ˆ − . (4.18)Важное отличие от действия (4.11) заключается в том, что метрикаˆ с самого начала имеет независимые кинетические слагаемые.
Поэтомускорости величин и нельзя поглотить в производную по времени отполя . Поля и становятся четырьмя новыми степенями свободы,причём их скорости входят в лагранжиан линейно (в произведениях надругие скорости). Тем самым в модели присутствуют духи. Заметим, чтоэто заведомо не чистая калибровка, поскольку, например, для решенийс ˆ = имеем = 1 и = 0 при любом выборе координат. Полноечисло степеней свободы получается равным 6+6+4−4 = 12.
Вычислениегамильтониана оказывается довольно громоздким, и мы опускаем его.***Рассмотроим также (эквивалентное) действие из предыдущего разде[︀∑︀∞ (︀ −1 )︀ ]︀ ла, просуммировав в нём бесконечный ряд = ℎ ˆ=0 −ˆ203для обратной метрики. В наших обозначениях оно принимает вид{︂)︁(︁)︁√︀1 [︁(︁ ˆˆˆˆ▽ ℎ ˆ2▽ ℎ − ▽ ℎ = −ˆ + 4(︁)︁(︁)︁]︁}︁ˆˆˆˆˆˆ− ▽ ℎ + ▽ ℎ − ▽ ℎ ˆ▽ ℎ + ▽ ℎ − ▽ ℎ(4.19)∫︁4где ℎ ≡ − ˆ , но можно смело подставить вместо ℎ , посколькуˆ .ˆ ковариантно постоянна по отношению к производной ▽Очевидно, что ℎ̇200 , ℎ̇00 ℎ̇0 и ℎ̇0 ℎ̇0 выпадают из действия, но ℎ̇00 ℎ̇и ℎ̇0 ℎ̇ (и конечно ℎ̇ ℎ̇ ) остаются. Явное вычисление показывает, чтоесть только следующие два слагаемых в кинетической функции для ℎ00и ℎ0 :)︀1 (︀ 00 0 02 ˆ + 00 ˆ00 − 00 00 ˆ − 2 0 0 ˆ00 ℎ̇00 ℎ̇ ,4)︀1 (︀ 00 04 ˆ + 2 00 0 ˆ − 2 0 ˆ00 − 4 0 ˆ00 ℎ̇0 ℎ̇ .4Когда ˆ = , эти кинетические слагаемые пропадают в полном согласии с линейным анализом, который нашёл только две моды спиральности два.
С другой стороны, есть также хорошее соответствие с АДМанализом, в котором ˙ и ˙ тоже вошли в действие линейно.Может показаться странным, что простоеотносительного(︁ )︁изменение2ˆкоэффициента при части со слагаемыми ▽ℎв действии (4.19) приводит к такому потрясающему эффекту – появление новых степеней свободы, как было описано выше, ведь это действие выглядит как простополе ℎ , взаимодействующее с общей теорией относительности. Однако для симметричного тензора эта точки зрения слишком наивна. Егоковариантные производные содержат производные от метрики ˆ в коэффициентах связности, и поэтому в них имеется сложное кинетическоесмешивание двух метрик.2044.2.3Обобщения с нелинейными функциямиСледующая по сложности возможность – попробовать нелинейнуюфункцию смешанной скалярной кривизны,∫︁=4 √︀−ˆ (ℛ) ,(4.20)где ℛ ≡ ˆ .
Эта идея проваливается весьма замечательным образом.Применим стандартный для () гравитации трюк и перепишем действие (4.20) в эквивалентной форме∫︁=√︀ [ˆ ′ () + () − ′ ()] ,4 −ˆ(4.21)со вспомогательным скаляром . Как обычно, решение алгебраическогоуравнения движения для и подстановка полученного ответа в действие(4.21) приводит к исходному действию (4.20).Множитель ′ () при кривизне можно поглотить в переопределениеметрики ˆ .
Однако отличие от обычной () гравитации заключаетсяв том, что скалярное поле не приобретает при этом кинетического слагаемого, поскольку нам не приходится пересчитывать тензор Риччи, зависящий от другой метрики. Итак, вводя новую метрику ˆ˜ ≡ ′ () · ˆ ,получаем действие∫︁=)︂√︁ (︂′()−() −ˆ˜ ˆ˜ +, ′ 2 ()4(4.22)в которое должно быть подставлено значение поля в минимуме потенциала () = ()− ′ ().
′ 2 ()Таким образом, мы получили исходную теориюс добавлением космологической постоянной. Заметим, что если (0) = 0,то возможно решение с = 0, которое полностью эквивалентно исходноймодели (без добавления космологической постоянной). Для простейшейже функции () = + 2 это вообще единственное решение.Отметим, правда, что описанная выше эквивалентность в точностисправедлива при отсутствии полей материи.
После конформного преобразования в гравитационном секторе материя будет взаимодействовать205с той же метрикой, что и раньше, но в новых переменных это^˜ ′ () .Впро-чем, учитывая, что в данной модели поле принимает постоянное значение в минимуме потенциала, этот эффект лишь перенормирует гравитационную постоянную.Можно надеяться на использование более сложных моделей, например, комбинируя теперь уже нелинейное действие (4.20) с членомЭйнштейна-Гильберта для метрики ˆ . Это приведёт, разумеется, к тому, что поле станет динамическим, и вообще действие (4.18) будетмодифицировано.
Однако легко видеть, что это не изменит присутствияпроблематичных динамических полей и .Также возможно использование следующих (смешанных) инвариантов кривизны, таких как ˆ ˆ . Однако, как хорошо известно, иочевидно из АДМ анализа, подобные слагаемые содержат квадратичныепо ˙ члены, неминуемо приводя к духам Остроградского.4.2.4Один класс (скалярно-тензорных) моделейКак видим, оказывается невозможным построить жизнеспособныйбиметрический вариационный принцип, опираясь на совершенно произвольную вспомогательную метрику.
Однако можно пытаться строить аналогичные формализмы, ограничивая допустимый класс вариацийэтой метрики, или можно рассматривать другие типы связности.Построим пример успешной модели такого сорта. Рассмотрим вспомогательные коэффициенты связности видаΓ = Γ̂ + Γ ,(4.23)где(︀)︀]︀1 [︀(, ) + − (, )ˆ 2при ≡ ( )( ) со скалярным полем .Γ =(4.24)Учитывая, чтоˆ + ∇ˆ Γ − ∇ˆ Γ + Γ Γ − Γ Γ .
= 206(4.25)можно написать действие (4.1) в виде∫︁=[︂]︂22√︀3−12+3ˆ+ 4 −ˆˆ ( )( ) .4(4.26)Случай = при зависимости только от , но не от , отвечает конформному преобразованию метрики некоторой функцией поля . Приэтом получается скалярно-тензорная теория с каноническим скалярнымполем, а сама модель может рассматриваться как биметрическая в нашем смысле, но с ограничением, что две метрики отличаются друг отдруга конформным преобразованием. В общем же случае мы получаем аналогичную теорию типа -эссенции, которая обладает здоровымзнаком при кинетическом члене при условии ( − )2 < 2.
(Впрочем,свойства устойчивости зависят ещё и от того, как устроены функции и по своему аргументу .) Тем самым возможен новый взгляд на модели-эссенции.Можно также обобщить модель, рассмотрев при нашей связности(4.23, 4.24) нелинейную функцию ℛ в действии (4.20). Положим дляпростоты = (︁ = 1 (обычное конформноепреобразование). Подставляя)︁ˆ − 3 ( )( ) в действие (4.21) и преобразовываяˆ = ˆ 2метрику, получаем∫︁=√︁ (︂ˆ˜ − 3 ( )( ) −ˆ˜ 2)︂′3()−(),− ( log ′ ()) ( log ′ ()) +2 ′ 2 ()4причём материя будет взаимодействовать с ˆ =˜^ ′ () .Получается, посути, обычная теория типа (), но с дополнительным (скрытым) безмассовым скаляром, который при желании можно пытаться связать стёмным излучением (dark radiation).***Использование скаляров при модификации связности – это один изсамых удобных способов получения новых степеней свободы, поскольку207естественная запись (4.24) всегда содержит производные от поля, и оностановится динамическим, и при этом, как правило, существуют необременительные условия, позволяющие избежать появления духов.
Это общая ситуация, так же бывает не только с неметричностью, но и с кручением. Векторные поля сложнее, поскольку в простейшем виде, приΓ = + − , они оказываются нединамическими. Тем неменее, их тоже можно использовать, см. работу [162].4.3Пример нелокальной гравитациииз биметрического подходаВ этом разделе мы рассмотрим пример ограниченных биметрическихтеорий, но с условиями, которые сами зависят от кривизны.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
