Диссертация (1145296), страница 31
Текст из файла (страница 31)
Так бывает всегда. Если мы делаем замену переменных → в действии с некоторым оператором , то уравнениедвижения()−1= −1 умножается на .Заметим, что при вариировании действия (4.35) вместо (4.40) мы получили бы еще одну степень нелокального оператора:( − 2)1 + 2( − 1),1 2 · ℎ = 0 .(2 + ,1 ) · (1 + ( − 1),1 )благодаря общему множителю1(1+(−1),1 )(4.52)в действии.
Это ещё одно про-явление того факта, что надо уважительно обращаться с классами функций, в которых происходит вариирование, и с полными дивергенциями,когда имеем дело с подобными моделями.4.3.5"Игрушечный" пример и обсуждениеПроиллюстрируем встретившиеся сложности на примере простой модели с двумя скалярными полями () и ():∫︁=(︀)︀ · (1 + ()) () − (())2220при наложении дополнительного условия(︀)︀ = + ,1 − ()2 + ,1 + ,2 ()2 + . . . ,которое моделирует -соотношение в применении к "метрикам" 1 + и1 + .Для получения квадратичного действия в -картине, достаточно найти в линейном приближении. Подставляя = − ,1 + .
. . ,получаем∫︁=−(︀)︀ · 2()2 + ,1 ()2 ,что даёт уравнение движения2 − ,1 2 = 0,в котором старшие производные возникли из-за производных в соотношении между полями.Если нельзя отбрасывать поверхностные слагаемые, то противоположный переход требует определить с квадратичной точностью:=11 − ,1 (︃(︃ + ,1 1 − ,1 (︂+ 221)︂2 )︃1 − ,1 )︃(︂)︂2+ ,2 + ...
.1 − ,1 Квадратичное действие при этом равно∫︁=(︃(︂)︂2 − 1 − ,1 1 − ,1 (︃(︃(︂)︂2 )︃ + ,1 + +1 − ,1 1 − ,1 1 − ,1 )︂2 )︃)︃(︂+ +,2.1 − ,1 4Пренебрегая же поверхностными членами и производя наивную вариацию, получаем уравнение движения(︂)︂+ = 0,(1 − ,1 )2 1 − ,1 которое легко превращается в1(2 − ,1 2 ) = 0.1 − ,1 Разница между картинами чётко соответствует тому оператору, который осуществляет переход между и . Так у нас получилось и вгравитационной модели. Если же разрешить зависимость типа , ∝1,то очевидно, что даже ,2 -слагаемое в -действии не может быть отброшено.***Эквивалентность между картинами оказывается зависящей от тонких вопросов, связанных с граничными условиями и определением нелокальных операторов.
Взятые как таковые, - и -модели, на самом деле, плохо сформулированы и нуждаются в доопределении. Но с другойстороны, в перспективе они могут давать новый подход к нелокальныммоделям гравитации.222Глава 5РазноеВ этой главе собраны различные результаты, которые не подпадают под конкретные темы предыдущих трёх глав, но тоже служат общейбольшой цели. Результаты данной главы опубликованы в статьях [14*],[15*], [16*], [17*], [18*]. Наиболее важные с нашей точки зрения результаты содержатся в работах [14*] и [15*], и мы их выносим в положенияна защиту.В разделе 5.1 мы изучаем обобщения теории относительности, формулируемые на телепараллельном языке с точки зрения локальной лоренцинвариантности и роли спин связности.
В наши дни такие теории являются очень популярными при построении космологических моделей( ( ) гравитация). Однако в основаниях теории до сих пор царит путаница, которую мы проясняем в нашей работе [14*].В разделе 5.2 рассмотрен вариант модифицированной теории гравитации, который моделирует эффекты тёмной материи, – миметическаягравитация. Это очень молодое направление, возникшее в статье [167], инаша статья [15*] была второй в ряду работ по mimetic dark matter.В разделе 5.3 случай парадигмы МОНД [47] использован для обсуждения задач, стоящих перед моделями модифицированной гравитации,имеющих своей целью объяснить эффекты тёмной материи.Разделы 5.4 и 5.5 – единственные, в которых наши исследования непосредственно касаются квантовой теории.
Поскольку в работе [168] быловыдвинуто предложение использовать в космологиях миров на бранахквантовые потенциалы, возникающие от квантования свободной части223цы, живущей на искривлённой поверхности, мы показываем в разделе5.4, что подобная абстрактная задача плохо определена, и потенциалзависит от метода квантования и от способа задания поверхности (интересно, что авторы статьи [168] ссылаются на нашу работу [17*], основнойцелью которой было как раз показать эту неоднозначность).По всей видимости, для последовательного описания таких квантовых эффектов потребуется лучшее понимание квантовой гравитации(впрочем, при переходе к минисуперпространству в квантовой гравитации, наоборот, могут возникать подобные модели [169]).
В разделе 5.5 мыобсуждаем информационный парадокс в физике Чёрных Дыр как наиболее перспективный на сегодня путь подступиться к проблемам квантования гравитации.5.1Телепараллельные теории гравитацииОчень интересную возможность для модификации гравитации даёттелепараллельная формулировка [170]. В частности, весьма популярными являются ( ) модели. Однако многие аспекты, связанные с локальной лоренц-инвариантностью в пространстве тетрад, были плохо поняты,из-за чего возникало множество ложных ожиданий и надежд.
В частности, поскольку ( ) модель не содержит старших производных в действии, можно было надеяться на сохранение числа степеней свободы припереходе от телепараллельного эквивалента общей теории относительности к этому обобщению. Однако, это не так [171] из-за особенностей,связанных с локальными преобразованиями Лоренца в пространстве тетрад.Наша задача – разобраться с этими тонкостями.5.1.1Ковариантная формулировкателепараллельного эквивалентаКак мы уже обсуждали в первой главе, исходная формулировка телепараллельной гравитации, полагая спин-связность равной нулю (связ224ность Вайтценбёка), нарушает локальную лоренц-инвариантность. Вэтом разделе мы обсудим, как можно сделать теорию ковариантной.Для этого следует ввести явную спин-связность в формализм.
Ясно, чтоковариантным условием будет требование инерциальности этой спинсвязности. Как было отмечено в работах [172, 173] её введение меняетдействие лишь на полную производную. Однако всегда надо иметь в виду, и это не всегда достаточно чётко подчеркивается в цитированныхвыше статьях, что спин-связность должна быть инерциальной. Мы переходим к подробному обсуждению соответствующих деталей, которогоне было в литературе до появления нашей работы [14*].Вариация по отношениюк независимой спин-связностиМы рассматриваем действие телепараллельной гравитации и все входящие в него величины, но явно включаем в них ненулевую спинсвязность.
Вариации по отношению к коэффициентам спин-связностимогут быть найдены точно, поскольку = − ,(5.1)является точным соотношением при ≡ . Имеем = = − ,(5.2) ( ) = −2 + · ,(5.3) ( ) = 2 ( − ) − ( − 3 ) · , (5.4) ( ) = 4 + 2 ( − ) · ,(5.5)где мы использовали то, что, благодаря свойствам симметрии, есть только две независимые свертки и , а именно и , ианалогично для свёрток двух .225Рассмотрим теперь ковариантизованное действие телепараллельнойгравитации∫︁4 ‖‖ · T(, ),=−(5.6)но не будем учитывать, что спин-связность должна быть инерциальной.Провариируем независимо по и .Используя вариации (5.3) – (5.5) и соотношение (1.52), получаем∫︁ = −4 ‖‖ · ( + 2 ) .Уравнение движения выходит очень простое + − = 0.После взятия следа (в размерности ̸= 2) получаем = 0, и в конечномитоге = 0.Теория оказывается тривиальной, и это не то, чего мы хотим.Телепараллельное действиес инерциальной спин-связностьюБудем действовать аккуратнее, и потребуем, чтобы спин-связностьбыла инерциальной: = −(Λ−1 ) Λ(5.7)где Λ – произвольная матрица из группы Лоренца.
В некоторой системе отсчёта данная спин-связность обращается в нуль, тем самым этоковариантный способ задать геометрию Вайтценбёка. В результате мырассматриваем действие∫︁W′ = −4 ‖‖ · T(, (Λ))с независимыми переменными и Λ.226(5.8)Ясно, что модель должна быть эквивалентна обычной телепараллельной гравитации. Формальная причина весьма проста.
При вариации поотношению к полю лоренцевых матриц имеем в силу соотношения (1.50)(0)Λ T = Λ () − 2 ▽ (Λ ),где Λ (...) = (...) · Λ . Поскольку при этом ((Λ)) ≡ 0 по определению инерциальной связности, получаем, что W′ является чистоповерхностным слагаемым и не приводит к нетривиальным уравнениямдвижения. Вариация же по отношению к тетраде проводится при фиксированной (инерциальной) спин-связности, и в системе отсчета, в которойоная обращается в нуль, даёт в точности обычные уравнения движениятелепараллельной гравитации.
Однако же при личном общении с некоторыми специалистами по телепараллельной гравитации выяснилось, чтоэто утверждение не представляется им очевидным и, даже более того,вызывает сомнения. Полностью разрешить вопрос удалось с помощьюприводимых ниже рассуждений.Заметим, что вариация Λ в классе инерциальных спин-связностейпроизводится применением к матрице Λ произвольного бесконечно малого преобразования Лоренца: Λ → (exp ) · Λ и Λ−1 → Λ−1 · exp(−),где матрица Λ принадлежит алгебре Ли группы Лоренца (Осторожно! Это не то же самое преобразование, которое соответствует поворотутетрад матрицей exp .), = − для ≡ .
В первом порядкеимеем = −(Λ−1 ) ( )Λ .(5.9)В вайтценбёковской картине, где Λ = I, получаем просто =− . В противном случае можно посмотреть на вариацию (5.9) с другой точки зрения:(︀)︀˜,− = (Λ−1 ) Λ − ( (Λ−1 ) ) Λ − (Λ−1 ) ( Λ ) = D 227˜ ≡ (Λ−1 ) Λ – преобразование Лоренца матрицы к другойгде системе отсчета, а D – лоренц-ковариантная производная с плоской спинсвязностью (5.7).Посмотрим теперь на вариацию дивергенции вектора кручения(︃(0))︃(︂)︂)︀(︀= (‖‖ ) = − ‖‖ .‖‖ ▽ Можно явно применить производную в правой части, и используя ‖‖ = ‖‖ · , и = − , а также аналогично для ,получить)︀(︀− ‖‖ · (︂)︂ = ‖‖ · ( ) + ( − ) − ,где ≡ .
Благодаря антисимметрии и определению вайтWценбёковского кручения = − получаем отсюда(︂‖‖ ·W +W2 )︂ (︀)︀(︀)︀= 2 ‖‖ · + ‖‖ · − . (5.10)Это тождество. Предположим теперь для простоты, что мы находимся в вайтценбёковской системе отсчете с = 0, Λ = , и = − .Тогда в левой части (5.10) получаем вариацию W′ , а правая частьобращается в нуль, если подходящие граничные условия наложены на.Конечно, это должно быть справедливо в любой системе отсчета, поскольку действие было явно лоренц-инвариантно. Явно это можно проверить, подставивW = + − в соотношение (5.10) и получив слагаемые вида · в левой части.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
