Диссертация (1145296), страница 33
Текст из файла (страница 33)
(5.13). Строго говоря, это уже не телепараллельнаямодель. Гравитацию можно описывать как произвольную (по нашемужеланию) комбинацию кривизны и кручения. По-видимому, не подходитдля обобщений за пределами телепараллельного эквивалента, по крайней мере наивно.5.2Об одной модели (Mimetic Dark Matter)эффективной Тёмной МатерииВ работе [167] была предложена интересная модель, в рамках которойметрика в действии Эйнштейна-Гильберта была взята в виде = ˜ ˜ ( )( )(5.20)со вспомогательной метрикой ˜ и скалярным полем . Очевидно, чтообщий множитель (конформная мода) в метрике ˜ не несёт никакойсмысловой нагрузки, и его роль передана скалярному полю.Однако непосредственно из определения (5.20) следует, что помимоуравнения движения▽ (( − ) ) = 0,(5.21)скалярное поле подвержено действию связи ( )( ) = 1.(5.22)Подставляя это в уравнения Эйнштейна − − ( − )( )( ) = 0,(5.23)где и – тензор Эйнштейна и тензор энергии-импульса материисоответственно, а буквы без индексов обозначают следы, мы обнаруживаем, что следовая часть уравнения удовлетворена автоматически.236Соответственно, в системе имеется дополнительная свобода.
И эффективно присутствует вклад в тензор энергии-импульса вида˜ = ( − )( )( ),(5.24)который может быть интерпретирован как присутствие пылевидной материи, названной Mimetic Dark Matter, начальное распределение которойоказывается константой интегрирования [167].Следуя нашей работе [15*], мы объясним, как простое перенесениестепени свободы из одного сектора в другой повлияло на уравнения движения, а также предложим эквивалентную, но во многом более удобную,формулировку теории.5.2.1Структура вариационного принципаБез потери общности, предположим, что ˜ унимодулярна.
В такомслучае детерминант определяется четвёртой степенью множителяΩ() ≡ ˜ ( )( ).Чтобы получить стандартные уравнения Эйнштейна, надо вариироватьдействие∫︁−4 ((˜ , ))по отношению к метрике , включая множитель Ω, с тем лишь ограничением (будем считать, что поверхностные слагаемые со старшими производными выкинуты или введён член Гиббонса-Хокинга), чтобы вариацияобращалась в нуль на границах области интегрирования, и в частности– в начальный и конечный моменты времени.
Это, однако, несовместимос нашим определением Ω.Рассмотрим, для простоты, пространственно однородный случай,2−() = + () во фридмановской вселенной 2 = 2 − 2 ()→ .√Тогда ˙ = Ω. Требуя, чтобы = 0 при = и = , получаем∫︀ √ Ω = − для любой допустимой вариации. Соответственно,237вариирование производится в ограниченном классе функций.
Условиюстационарности действия оказывается проще удовлетворить, и динамика допускает большую свободу.Собственно, это совершенно общий эффект при подстановках в действии, содержащих производные. (Важное исключение – трюк Штюкельберга, поскольку он не меняет класса функций.) Положим, мы имеем∫︀действие = ˙ 2 , и заменяем ≡ ˙ прямо в нём. После этого уравнения движения становятся более высокого порядка, даже в терминахисходной переменной (), и требуется больше данных Коши для определения эволюции.
Причина та же самая, что и выше. Вариированиепроизводится в классе функций, для которых не только обращается в∫︀ нуль на границе, но ещё требуется дополнительно, чтобы() = 0.Отметим для полноты, что миметическую гравитацию можно понятьи в более общих терминах обратимости дисформных (а не только конформных) преобразований метрики [174].5.2.2Эквивалентная формулировкаПредложим теперь эквивалентную формулировку модели. В качествепервого шага введём множители Лагранжа и перепишем действиекак∫︁=−(︀(︀)︀)︀ √−4 .() + − ˜ ˜ ( )( )Мы игнорируем в нашем рассмотрении лагранжиан материи. Эффекты материи легко восстанавливаются во всём рассуждении с помощьювычитания из во всех формулах.Вариация по отношению к накладывает связь (5.20).
Вариация поотношению к даёт▽ ( ) = 0,(5.25)где ≡ ≡ . Используя (5.20), получаем уравнения Эйнштейна + = 0,238и видим, что (5.25) эквивалентно (5.21). Наконец, вариация по отношению к ˜ приводит к ˜ ( )( ) − ˜ ˜ ( )˜ ( ) = 0.Объединяя это с (5.20) получаем = ( )( ).(5.26)Подставляя полученный результат в уравнение Эйнштейна и отделяяследовую часть, находим эффективный тензор энергии-импульса (5.24).В частности, для пространственно однородного поля имеем = 0,а уравнение движения (5.25) воспроизводит обычное поведение тёмнойматерии ∝13 ,что не должно быть сюрпризом, поскольку правильносоответствует виду тензора .Очевидно, что полностью определяется своим следом. Поэтомуможно догадаться до более простого действия∫︁=−√(() + (1 − ( )( ))) −4 .(5.27)Мы утверждаем, что это эквивалентная формулировка. В самом деле,вариация по сразу дает связь (5.22).
Уравнения Эйнштейна принимаютвид + ( )( ) = 0(5.28)как и раньше. Наконец, вариация по даёт уравнение движения (5.25).***Наша формулировка (5.27) стала использоваться почти во всех исследованиях по миметической гравитации. Отметим, что были предложеныразные модификации миметической гравитации – () такого типа [175],старшие производные ( в действии) для поля [176]...
Но с нашейточки зрения было бы интересно попытаться сделать полноценное динамическое поле из множителя Лагранжа.2395.3Замечания о парадигме МОНДКак уже обсуждалось в первой главе, одной из основ современнойкосмологической картины мира является представление о Тёмной Материи. Её история началась в 30-е годы XX века, когда применение известной из механики теоремы вириала к скоплениям галактик привело кпроблеме. Рентгеновская светимость горячего межгалактического газа, сточки зрения соответствия средней кинетической и средней потенциальной энергий, потребовала гораздо более глубокой потенциальной ямы,чем могла обеспечить только видимая материя.Полвека спустя при изучении кривых скоростей вращения звёзд вспиральных галактиках выяснилось, что скорости периферических звёздвыходят на плато, а не следуют спадающей кривой ньютоновского типа: ∼√1 .В наши дни Тёмная Материя является важным ингридиентомдля понимания процессов образования крупномасштабной структуры воВселенной, а также необходима для правильного предсказания флуктуаций реликтового фона и барионных акустических осцилляций.Как мы тоже уже обсуждали, современная космология, органическивключая в себя гипотезу о Тёмной Материи, прекрасно описывает наблюдательные данные, по крайней мере когда речь идёт о реликтовом фонеи крупномасштабной структуре Вселенной.
Вместе с тем есть целый рядсложностей на "малых" масштабах [45, 177, 178]. Это, например, проблема малого количества карликовых спутников у больших галактик, такихкак Млечный Путь или Туманность Андромеды, галактические профилиплотности с гладким кором вместо сингулярного каспа...Впрочем, эти проблемы связаны с малыми масштабами, на которыхтеория становится сильно нелинейной. Предсказания делаются с помощью численного моделирования, в котором не учитывается множествофакторов, связанных с "барионной" физикой. Возможно, проблема просто заключается в недостаточно аккуратном моделировании. Тем более,что последние улучшенные численные модели показывают лучшее согласие [46], возможно, объясняя все расхождения.240С другой стороны, и сама гипотеза Тёмной Материи, возможно, излишне проста и должна быть дополнена самодействием в тёмном сектореи/или переходом к тёплой [179] или нечёткой (fuzzy, сверхлёгкие аксионоподобные частицы, например, из теории струн [15]) Тёмной Материи(вместо холодной).Впрочем, существуют аргументы в пользу того, что некоторые проблемы (такие как существование дисковых систем без центрального балджа) могут быть и нечувствительны к модификациям в "барионном"секторе взаимодействия звёзд и газа [178].
А некоторые предсказываемые стандартной картиной спутники представляются слишком большими, чтобы "барионные" эффекты отдачи могли их сдуть, не разрушаявсей структуры в целом (too big to fail).С другой стороны, часто в качестве серьёзных проблем предъявляются такие проблемы (например, слишком большие пекулярные скорости,или тёмный поток, dark flow [180]), которых, по всей видимости, и вовсев реальности не существует [181, 182].Таким образом, стандартная ΛCDM космология прекрасно работает в тех масштабах, в которых предсказания делаются надёжно (линейный и почти линейный режимы), но по-видимому, испытывает серьёзныетрудности в меньших масштабах, где, впрочем, уверенные предсказаниязатруднительны.Что такое МОНД?Модифицированная ньютоновская динамика (МОНД) была предложена как средство описания плато в кривых скоростей вращения в периферических частях галактик.Цель достигается модификацией закона, который связывает притягивающую массу с центростремительным ускорением на круговой орбитезаданного радиуса.
Эта идея обсуждалась как на языке модифицированной силы притяжения, так и на языке модифицированной инерции– изменённого второго закона Ньютона, но последний вариант очевидно приводит к нарушению сохранения импульса при взаимодействии телнеравных масс.241Оказывается, что широкий круг данных можно описать в рамкахчрезвычайно простой модификации. Вводится некоторая новая фундаментальная константа природы размерности ускорения0 ≈ 1.2 · 10−8cms2и постулируется, что если в рамках ньтоновской динамики центростремительное ускорение получается ≫ 0 , то это и есть правильный ответ,однако же в случае ≪ 0 ускорения убывавают как 1 вместо 12 , что√можно описать правилом = 0 , где – ускорение, получающеесяпо Ньютону.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
