Диссертация (1145296), страница 36
Текст из файла (страница 36)
А именно, рассматривается частица,которая движется в бесконечно глубокой потенциальной яме со стенками, находящимися по обе стороны от поверхности на расстоянии → 0.Можно, разумеется, рассматривать и более сложные ограничивающиепотенциалы. Метод в общем виде, по всей видимости, появился в работах[205, 206], см. также более современное обсуждение в статьях [207, 208],но в силу присущей ему естественности элементы его для частных задач можно проследить и в более ранних работах, например для теориихимических реакций в работе [209]. Примеры использования подобногоподхода можно найти и при описании движения электронов в наноструктурах [210, 211], и в физике молекул [207, 212], и даже в более общемслучае квантовых графов [213].
Обсуждение математических аспектовможно найти в статьях [214, 215].Рассмотрим ( − 1)-мерную гиперповерхность в R с двумя бесконечно высокими потенциальными стенками на расстоянии → 0 по обестороны от поверхности. Пусть свободная квантовая частица движетсямежду этими стенками.Введём криволинейную систему координат, такую, что | | равно расстоянию от поверхности, а остальные координаты)︃ положения на(︃ задают 0.
Рассматриваповерхностях = , так что метрика ˜ =0 1ем гамильтониан~2 ˜˜=− ∆2c граничными условиями Ψ| = = Ψ| =− = 0, где оператор Лапласаравен˜ =∆ ∑︁∑︁(︁)︁˜−1/2 ˜1/2 ˜ = 2 + ˜−1/2 ˜1/2 + ∆ ,=1 =1а ∆ – оператор Лапласа-Бельтрами на поверхности = .256Рассмотрим касательный параболоид к нашей поверхности−11 ∑︁ 2 + (3 ), =2 =1где – её главные кривизны. Единичная нормаль равна = √︃1+−1∑︀+ (2 ) = + (2 ),2 2=1 = −1 + (2 ), а близлежащая поверхность = получается как′→−−−− −→ → =→ + →, и′ = (1 + + ( )) .Отсюда−1∏︀ (︀ ′= =1−1∏︀)︀1 + (′2 ) ′=(1 + (2 )) −1∏︁(1 + ) + ( ).=1=1В частности, на линии = 0 ∀ = 1, . . . , − 1 получаем⎛(︃)︃2 −1 ⎞−1∑︁∑︁1=1+ + 2 ⎝ −2 ⎠ + (3 ).2=1=1=1′−1∑︁(5.48)Конечно же, соотношение (5.48) верно в любой точке поверхности, ноглавные кривизны, вообще говоря, зависят от точки.Следуя работам [205, 206], введём новую волновую функцию√︂() = Ψ()257 ′,физический смысл которой ясен из соотношения∫︁ |Ψ()|2 =∫︁∫︁|()|2 .−| |≤На низшем уровне энергии по отношению к нормальному движению(1 , .
. . , ) = (1 , . . . , −1 ) cos 2 имеем⎛−1∑︁1˜∆Ψ()= ∆ () + 2 () + ⎝2(︃ −11 ∑︁2 −4=1)︃2 ⎞⎠ () + ( ).=1Беря предел → 0 и вычитая бесконечную постоянную энергию (пропорциональную 1/ 2 ), получаем гамильтониан⎛(︃~2~2 ⎝ˆ = − ∆ +28−1∑︁)︃2−2−1∑︁⎞2 ⎠(5.49)=1=1с квантовым потенциалом2 =⎛(︃~ ⎝8−1∑︁)︃2−2−1∑︁⎞2 ⎠ .=1=1Для двумерной поверхности в R3 воспроизводим тем самым результат2да Косты [206], = − ~8 (1 − 2 )2 , а для сфер в произвольной размерности ( =1)потенциал равен =~2 (−1)(−3).82Таким образом, методтонкого слоя приводит к совершенно другим квантовым потенциалам всравнении с методом Дирака.Разумеется, если бы толщина тонкого слоя менялась от точки к точке,получились бы дополнительные эффективные силы [207].О старших коразмерностяхОтметим, что ситуация несколько усложняется в старших коразмерностях.
Рассмотрим для начала случай кривой (одномерная поверхность). Задав кривую в виде 2 = 12 12 + (13 ); 3 , . . . , = (13 ), легко2582получить ответ с квантовым потенциалом = − ~8 2 , где – внешняякривизна кривой [206]. Однако, легко понять, что если кривая обладает кручением (в смысле внешней геометрии кривых), то репер Френевращается вокруг кривой, и если мы хотим получить описание в невращающейся системе координат, то появятся слагаемые в гамильтониане,связанные с вращением вокруг кривой [216].
Если поперечное сечениетонкого слоя инвариантно относительно вращений вокруг кривой, то локально картина будет эквивалентной, но могут появляться глобальныефазы типа фазы Берри.В случае поверхностей, у которых и размерность и коразмерностьбольше единицы, подобное описание вообще не всегда возможно. Препятствием является кривизна нормального расслоения.
Это проявляетсяв том, что не удаётся избавиться в гамильтониане от смешанных (нормальных и тангенциальных) вторых производных [217]. Однако можнопроверить, что они собираются в операторы, описывающие вращениев поперечных сечениях тонкого слоя [207, 208, 218, 219], как и в случаекривой. Если по каким-либо причинам рассматриваемый энергетическийуровень поперечного движения вырожден, это может приводить к появлению калибровочных структур [207, 208, 218–221].***Таким образом, абстрактная задача квантования систем со связямивряд ли может служить средством введения и обоснования тех или иныхквантовых потенциалов для космологии на бране.
Здесь проявляется общая неоднозначность квантования, не позволяющая, конечно же, восстановить теорию по ее ~ → 0 пределу. Мы привыкли к гораздо большейопределённости в квантовой теории поля, где для придания разумногосмысла всем величинам приходится действовать вполне определённымобразом, в частности переходя к нормальному упорядочению операторов. Возможно, обсуждение на языке эффекта Казимира было бы болееосмысленным [222].Но, строго говоря, для обсуждения подобных вопросов может потребоваться лучшее понимание квантовой гравитации, о которой мы пока259знаем мало, и которая может сильно изменить наше понимание основквантовой теории.
Как показал опыт квантования бозонной струны методами петлевой квантовой гравитации [223, 224], представление о том,что теория в слабой связи должна допускать описание на языке (квази)частиц и пространства Фока, – это уже довольно сильный принцип,отказ от которого может радикально изменить общую форму теории.5.5Замечания о Чёрных Дырахи информационном парадоксеПо всей видимости, у нас слишком мало данных для обсуждения проблем квантовой гравитации за пределами чисто абстрактной постановкизадачи.
Однако есть один класс систем, которые позволяют получать интересные результаты на основе самых общих принципов квантовой механики и теории гравитации. Это Чёрные Дыры и процессы их квантовогоиспарения.Применение квантовой механики к Чёрным Дырам сразу же привело к удивительному заключению о том, что Чёрные Дыры должныизлучать [225]. Излучение получается с хорошей точностью тепловым,и предполагая, что в конечном счёте Чёрная Дыра испарится полностью, приходим к парадоксальному выводу о том, что практически всяинформация, проглоченная Чёрной Дырой за время её жизни (и приобразовании тоже) полностью исчезла вопреки унитарному характеруквантовомеханической эволюции.Стандартным решением стало предположение о существовании растянутого горизонта (stretched horizon) планковской толщины, которыйможет поглощать, термализовывать и переизлучать информацию [226].Разумеется, в силу принципа эквивалентности, падающий наблюдательне должен вообще ничего особенного заметить при пересечении горизонта, поскольку кривизна горизонта Чёрной Дыры макроскопическоймассы очень мала.
Однако, обнаружив сей замечательный факт отсутствия физической мембраны, падающий наблюдатель уже не будет иметь260шанса передать эту информацию удалённому коллеге, и таким образом мы можем избежать противоречия, приняв точку зрения принципа дополнительности [226] и отказавшись от глобального описания всегопространства-времени в рамках одной эффективной теории привычногонам вида.Нетрудно установить характерные для процесса испарения масштабы времён.
В самом деле, Чёрная Дыра массы имеет температуруХокинга~3,k =8зависящую от значения постоянной Планка ~ ≡ℎ2 ,скорости света , гра-витационной постоянной , и в температурных единицах также, конечно,содержащую постоянную Больцмана k . По закону Штефана-Больцманаповерхностная яркость определяется величиной 4 ∝ 1 4 , и при поверхности горизонта ∝ 2 имеем ˙ ∝ 1 2 для скорости потерь энергии.Соответственно, характерное время определяетсякубом массы 3 , или(︁ )︁3явно вводя планковские единицы: ∼ .Отмеченная недавно проблема с принципом комплементарности (дополнительности) проявляется [227] (см. также [228, 229]), когда ЧёрнаяДыра излучает половину своей энтропии. Возраст Чёрной Дыры на этотмомент времени мы, по сути, оценили выше(︂P ∼ )︂3· ,он называется временем Пейджа [230].
Можно показать из общих принципов [231], что на этот момент практически вся информация, котораябыла поглочена Чёрной Дырой, должна содержаться в излучении, покинувшем Чёрную Дыру. В таком случае, поскольку новой информациивзяться неоткуда, всё излучение, уже удалившееся от Чёрной Дыры назначительное расстояние (раннее излучение) должно быть в максимально квантовомеханически запутанном состоянии с тем излучением (позднее излучение), которое сейчас покидает Чёрную Дыру и находится снаружи горизонта, но в непосредственной близости от него ("зона").261С другой стороны, для падающего наблюдателя окрестности горизонта весьма мало отличаются от пространства Минковского, и в силу принципа эквивалентности, он должен наблюдать обычный вакуумв пространстве Минковского.
Но вакуумное состояние – весьма упорядоченно, и это проявляется в том, что две половины почти пространства Минковского (внутренность Чёрной Дыры и зона) должны бытьмаксимально запутанны друг с другом. Однако же невозможно для одной системы (зоны) быть максимально запутанной с двумя различнымисистемами (моногамность запутывания). Таким образом, мы получилипротиворечие. Это и есть парадокс АМПС [227].
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
