Диссертация (1145296), страница 35
Текст из файла (страница 35)
Наличие очень серьёзной нелинейности делает теориюдаже в нерелятивистском пределе весьма проблематичной. Вместе с теместь удивительный контраст этих сложностей с успехами в масштабахгалактической динамики, а также с потрясающим совпадением фундаментального ускорения МОНД с естественным масштабом ускорения врасширяющейся Вселенной, 0 ∼ 0 .Однако и для Тёмной Материи есть замечательное визуальное подтверждение в виде Скопления Пули (Bullet Cluster [195]), хотя и не исключено, что его можно тоже описать в рамках МОНД [196], а величина скоростей столкновения может быть проблематична для стандартнойкосмологии [197]. (Ныне также активно изучается другое скопление –Абель [198].)Поразительная универсальность закона МОНД, безусловно, требуетобъяснения, либо в рамках действительно универсального закона гравитации, либо как некий нетривиальный коллективный эффект, приводящий к рождению порядка из хаоса.
Сегодня есть попытки описатьфеноменологию МОНД на основе особого вида сверхтекучести [199].С нашей точки зрения, парадигма МОНД не может претендоватьна статус фундаментальной теории, но может стать неким стандартнымлекалом для проверки модифицированных теорий гравитации, которыеставят перед собой целью избавиться от необходимости вводить ТёмнуюМатерию, поскольку любой такой подход должен либо иметь эффективные тяжёлые частицы со всеми обычными проблемами стандартной космологии на малых масштабах, либо другим путём естественно описыватьфеноменологию галактик в ньютоновском пределе.
При этом все наширассуждения в данном разделе могут быть перенесены на соответствующие ситуации, включая необходимость самосогласованно принимать вовнимание все аспекты проблемы тёмной материи в космологии.2485.4О дополнительных потенциалахиз квантовой механикисо связями второго родаВ связи с моделями миров на бранах иногда высказываются идеи отом, что дополнительные квантовые потенциалы, возникающие от того,что теория квантуется на искривлённой поверхности, могут быть использованы при построении космологических моделей [168], включая возможное описание (части) тёмных секторов. При этом зачастую ссылаются наволновые уравнения для свободных частиц на поверхностях, или дажена нерелятивистскую квантовую механику систем со связями второгорода (частица на поверхности).
В этом разделе мы хотим отметить, чтопроцедуры такого квантования существенно неоднозначны, и поэтомуподобные предложения не выглядят как способные решить какие-либопроблемы.В нашей работе [17*] был представлен обзор разных методов квантования, показывающий, что абстрактная задача плохо определена.
Поиронии судьбы именно эта статья является одной из тех, на которые ссылаются авторы работы [168], предлагая применение квантового потенциала для космологии. Поэтому мы решили кратко рассмотреть здесь этотсюжет, который может показаться далёким по тематике от основной части Диссертации.5.4.1Квантование по ДиракуРазумеется, одним из мыслимых способов квантования являетсяквантование по Дираку [200].
Если в теории есть 2 связей , =1, 2, . . . , 2 , то они называются связями второго рода, если det{ , } ≠0 даже в слабом смысле (на поверхности связей). Поскольку такие связине образуют замкнутой алгебры относительно скобок Пуассона, их никакнельзя наложить на квантовом уровне, если скобки Пуассона замененына коммутаторы. Возможное решение было предложено Дираком. Вве-249дём новые скобки – скобки Дирака{, } = {, } −2 ∑︁2∑︁{, }∆ { , },(5.33)=1 =1где ∆ матрица, обратная к { , }. Теперь {1 , 2 } = 0, и можно провести квантование обычным способом, заменяя коммутаторами скобкиДирака.
Отметим, что скобка Дирака вырожденна и поэтому не определяет симплектической структуры на исходном фазовом пространстве, нов некотором смысле она является результатом факторизации по нефизическим направлениям, см. ниже (5.39).Например, свободное движение по сфере∑︀2 = 2 в эвклидовом=1пространстве можно представить [201] как систему с одной парой связей2−второго рода ({ , } = 2→ ̸= 0):121 ≡∑︁2 − 2 = 0,(5.34)=12 ≡∑︁ = 0(5.35)=1и гамильтонианом 21 2 , где – канонические импульсы.
Простое вычисление даёт скобки Дирака{ , } = 0, { , } = − →2 ,−1{ , } = →2 ( − ).−(5.36)(5.37)(5.38)Нетрудно видеть, что полученной алгебре удовлетворяют обычныеоператоры координат, дающиеся умножением на переменные и импульсы, из которых вычтено радиальное дифференцирование(︂(︂ →)︂)︂→−−→−→−− →−̂− ~ ▽ −→ −~ ▽ − →·▽≡→.−→−|| ||250(5.39)Плохо, конечно, что импульсы ˆ не самосопряжённые, но, пожертвовавправилом Лейбница, можно их сделать таковыми:1 − 1 ˆˆ˜ = (ˆ + ˆ† ) = ˆ + ~·→2 .−22Первая связь (5.34) определяет тогда пространство физических состояний (имеющих дельта-функцию (2 − 2 )), а вторая связь стано∑︀ˆвится (5.35) тождеством 2 = (ˆ ˆ˜ + (ˆ ˆ˜ )† ) ≡ 0. Гамильтониан полу=1чается таким:ˆ ()~2~2 ( − 1)21 ∑︁ ˆ2˜ = − ∆ +,≡2 =1 282где ∆ - оператор Лапласа-Бельтрами на сфере, и он содержит типичный квантовый потенциал()~2 ( − 1)2=.82Вообще говоря, этот результат можно было бы получить и чисто алгебраически безо всяких операторных реализаций [201].Заметим, вместе с тем, что можно было бы отказаться от самосопряжённости (и следовательно "наблюдаемости") операторов импульса.В конце концов, они являются проекциями операторов из объемлющегопространства – нечто совсем эзотерическое для наблюдателя на сфере,а естественные операторы [ˆ , ˆ ] (генераторы () вращений) будутпри этом самосопряжёнными.
Тогда гамильтониан окажется просто опе2ратором Бельтрами-Лапласа − ~2 ∆ на сфере, в соответствии с давнейидеей Бориса Подольского [202] и без квантовых потенциалов.Произвольная поверхность коразмерности 1На самом деле, случай сферы оказывается несколько обманчивымв смысле однозначной определённости метода, поскольку у сферы естьвесьма естественное уравнение, которое практически однозначно хочетсяиспользовать.251⃒⃒⃒⃒→−⃒⃒⃒Рассмотрим поверхность () = 0, требуя чтобы ⃒ ▽ ⃒ ⃒⃒̸= 0, и =0проведём ту же процедуру, что и раньше. Связи принимают вид1 ≡ () = 0,2 ≡∑︁(5.40)( ) = 0,(5.41)=1а скобки Дирака оказываются равными{ , } = 0,(5.42)( )( ){ , } = − (︁,→− )︁2▽(5.43)∑︁(︀)︀122{ , } = (︁()()−()() .→− )︁2▽ =1(5.44)Заметим, что в правой части последней скобки Дирака есть проблемаупорядочения операторов.Можно использовать явные операторы импульса по аналогии спредыдущим случаем: несамосопряжённые (но настоящие дифференцирования)⎛ˆ = −~ ⎝( )⃒− ⃒⃒→⃒ ⃒−▽ ⃒∑︁=1⎞( ) ⎠⃒→⃒⃒− ⃒ ⃒ ▽ ⃒или самосопряжённые⎛⎛⎞⎞~ ∑︁ ⎜ ⎜ ( )( ) ⎟⎟ˆ˜ = ˆ +.⎝⎝ (︁→− )︁2 ⎠⎠2 =1 ▽252(5.45)Проблема упорядочения операторов принимает тогда следующие возможные решения)︀~ ∑︁ (︀22()()−()()ˆ ;[ˆ , ˆ ] = (︁)︁→− 2▽ =1⎛22 ) − ( )()~ ∑︁ ⎜ ( )(ˆˆ[˜ , ˜ ] =ˆ˜ +⎝(︁→)︁2−2=1▽⎞22 ) − ( )()⎟( )(ˆ˜⎠.(︁→− )︁2▽Вторая связь имеет вид тождества∑︁( )ˆ ≡ 0=1или (︁∑︁)︁ˆˆ( )˜ + ˜ ( ) ≡ 0,=1а первая связь даёт в качестве физического сектора Ψℎ = ()·( ()).˜ оператор Лапласа в объемлющем (эвклидовом)Обозначив через ∆→−→−⃒пространстве, а также введя вектор нормали = ▽ ⃒ , нетрудно вычис− ⃒⃒→⃒ ▽ ⃒лить гамиьтониан.
Для несамосопряжённых импульсов получаетсяˆ ()~21 ∑︁ †ˆ ˆ = −≡2 =1 2(︃˜−∆(︂−→)︂2−− div(→)· →−а для самосопряжённых импульсов гамильтонианˆ ()1 ∑︁ ˆ2ˆ () + () ()≡˜ = 2 =1253)︃,содержит квантовый потенциал⎞2⎛~2 ∑︁ ⎜∑︁ ( )( ) ⎟=−⎝(︁− )︁2 ⎠ +8 =1 =1 →▽⎛⎞⎛⎞∑︁( )( ) ⎟ ⎜∑︁ ( )( ) ⎟~2 ∑︁ ⎜ −+, (5.46)⎝(︁→(︁→− )︁2 ⎠ ⎝− )︁2 ⎠4 =1 =1=1▽▽()который можно также представить в следующем виде:⎛ (︃⎞)︃2∑︁~ ⎝ 1 ∑︁1 ∑︁2 ⎠ .= + ( ) +4 222(),,,(5.47)К сожалению, ни кинетическая ни потенциальная части не являютсяоднозначно опеределёнными, но зависят от выбора функции , причёмдаже для сфер. В самом деле, любую поверхность можно в данной точкеприблизить касательным параболоидом−11 ∑︁ () = − 2 + (3 )2 =1(в декартовых координатах объемлющего пространства).
Тогда из (5.46)получаем⎛(︃⎞)︃2−1−1∑︁~2 ⎝ ∑︁ = + 22 ⎠ + ( )8=1=1−в окрестности точки касания → = 0. Для сферы все главные кривизны = 1 , и мы получаем~(2 − 1) =,82что отличается от нашего предыдущего результата.Метод можно доопределить, потребовав, чтобы функция зависелатолько от расстояния до поверхности: = (distance from the surface),254что, разумеется, соответствует обычному уравнению сферы.
В этом случае можно убедиться, что квантовый потенциал(︃ −1 )︃2~ ∑︁=8 =12()воспроизводит предыдущий результат для сферы, а кинетическое слагаемое становится равным˜−∆(︂−→)︂2−− div(→)· →= ∆−оператору Лапласа-Бельтрами на поверхности. Это, конечно, вполнеестественный рецепт, но очевидно, что абстрактная задача не определена корректно.В принципе, все эти рассуждения можно обобщить на старшие коразмерности, но явные формулы становятся довольно громоздкими.***Из (всевдо)канонических методов можно также отметить абелевуконверсию связей, предложенную в работе [203] для случая аномалий вкалибровочных симметриях, то есть для тех случаев, когда связи первогорода после квантования становятся связями второго рода, а калибровочная симметрия, соответственно, не выдерживает квантования.
Очевидно,этот метод можно применить и к связям, которые исходно были второгорода. Идея состоит во введении новой пары канонических переменных,удовлетворяющих паре связей первого рода с абелевой алгеброй, то естьсо скобкой Пуассона, сильно обращающейся в нуль. При этом, если жёстко положить новую пару канонических переменных равными нулю, тотребуется, чтобы новые связи переходили в пару старых связей второгорода (или в связь и калибровочное условие).
В работах [201, 204] такимобразом был получен нулевой квантовый потенциал на сфере, но в болееобщем случае уравнения становятся весьма громоздкими и непрозрачными, см. нашу работу [17*].2555.4.2Метод тонкого слояВ методе тонкого слоя используется более физический подход к квантованию движения на поверхности.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
