Диссертация (1145296), страница 28
Текст из файла (страница 28)
Выпишем относящиеся к делу части этого выражения (все слагаемые, квадратичные по скоростям, а также все слагаемые, содержащиенединамические переменные и Φ): 2 3 2 − 2 2 2 Φ − 3 Λ Φ222(−1 + ) (1 + )(︃)︃22˙1 (−1 + ) 0 ˙ 2 1 4 2 ˙1+ 3 + − + 4 3 ˙ 232312(︀)︀˙ ˙ + 2 2 2 + 63 Φ ˙ − 33 ˙ 2 + . . .
,−3 Φ(3.87)ℒ(2) = −где ≡ −2 ( − 1) + (Λ + 2 ( − 1)2 )и, только для упрощения выражений, мы положили функцию шага равной единице, = 1, а также опустили множители .Поля Φ и можно определить, решив алгебраические уравнения.Подставив соответствующие решения в квадратичное действие (3.87)),188мы получаем гессиан⃒⃒⃒⃒det ℋ ≡ ⃒⃒⃒⃒2ℒ ˙ 22ℒ ˙ ˙2ℒ( )˙ ˙2ℒ ˙ ˙2ℒ ˙ 22ℒ( )˙ ˙=−2ℒ˙ ( )˙2ℒ ˙ ( )˙2ℒ( )˙ 2⃒⃒⃒⃒⃒⃒⃒⃒ 4 13 (−1 + ) ˙ 2 ˙ 20. (3.88)23 (2 2 (−1 + )2 2 (1 + ) − 2 Λ )Легко видеть, что det ℋ ≠ 0, кроме случаев = 0 (простой квазидилатон), или в так называемом пределе позднего времени (ветвь = 0 [149]),который на самом деле никогда не достигается. Тем самым в теории естьдух.3.8.2Подход с использованиемполей ШтюкельбергаАналогично можно провести вычисления в терминах полей Штюкельберга, но удобнее оказывается работать в (эквивалентной) -картине[115], которой мы в основном и пользовались в данной Диссертации:=2 2∫︁√(︃4 − [] −гдеℳ4∑︁)︃ + 22 (ℳ) , (3.89)2 =0(︂√︁)︂= / −1 ˜.(3.90)В этом подходе рассмотрим только возмущения квазидалатона и по˙лей Штюкельберга.
Слагаемые квадратичного действия, содержащие 189и ˙ таковы:−3/Plℒ = 3 2 2 3 22 Pl ( + )(︂2× − 2 Pl 2 Pl ( + ) Θ ˙ ˙ ˙0 ˙0 (︁)︁3223 Pl 22 322 22 2Pl+( + ) ˙ Pl + Pl Θ − Θ ˙ (︁(︁)︁)︁ )︂42 ( + ) ˙0 2 2 − ˙0 2 Θ − 3 ˙ 2 Ξ+ . . . , (3.91)+ Pl 4 Pl(2)где23Θ = 3 1 + 32 2 + 3 3 + 4 ,2Ξ = 3 1 + 22 Pl 2 + Pl 3 .В обозначениях предыдущего подраздела имеемℒ(2)1=2 2(︃(︃˙ 25 4 2 ( − 1)2 ( + )(︁)︁44222˙˙ (−1 + ) 0 − 02 2˙ + 3 3+3˙ ˙ ˙ 0 ˙0 22 (−1 + )2 −2 3)︀ )︃)︃(︀22 2 22 22˙(−1 + ) − ˙ ++ .
. . , (3.92)4 2 3а соответствующий гессианℒ(2) 5 2 3 ˙ 2det=2 3 6 ( + )3 ̸= 0,{ ,˙ ˙ } (−1 + )5 Pl(3.93)откуда очевидно присутствие духа Боулвара-Дезера.3.8.3Заключительные замечанияТем самым мы подтверждаем присутствие духа Боулвара-Дезера втеории расширенного квазидилатона, и этот вывод на сегодня принима190ется основными специалистами по этому виду массивной гравитации. Отметим, что проблемой исходного "доказательства" отсутствия духа [151]было использование 0 = −− в качестве калибровки. Но, поскольку удвух скалярных полей поверхности постоянных значений вообще говоряне совпадают, то это конечно же не калибровка, в условие, уменьшающеечисло степеней свободы.Таким образом, скалярно-тензорные модификации не обеспечили возможности построения жизнеспособной космологической модели в рамкахчисто массивной (не полностью биметрической) гравитации, не говоряуже о решении космологических проблем и загадок. (Впрочем, можнорассматривать квазидилатон с расширением, но без собственного кинетического слагаемого [155].) Биметрические варианты выглядят болееперспективными, и с нашей точки зрения сама дРГТ структура взаимодействия несомненно заслуживает дальнейшего теоретического изучения.191Глава 4Другие биметрическиетеории гравитацииЗдесь мы рассматриваем более общие биметрические теории, не связанные с массивной гравитацией.
Полученные в данной главе результатыопубликованы в наших работах [11*], [12*], [13*].С современной точки зрения работа с биметрическими теориями запределами дРГТ версий может вызывать недоумение, поскольку естьаргументы в пользу того, что общая теория относительности является единственным жизнеспособным кандидатом на роль кинетическогослагаемого для частиц спина 2. С точки зрения массивной гравитацииподобные аргументы представлены в [156, 157].Тем не менее, любые no-go теоремы хороши ровно настолько, насколько и принятые при их доказательстве предположения. Часто в таких работах неявно предполагается, что гамильтонов анализ проходитобычным образом с нединамическими переменными шага и сдвига, итак далее.
Вместе с тем, различные биметрические формализмы находятинтересные приложения, вплоть до биметрической реализации парадигмы МОНД [158], которая, кстати, недавно получила интересное развитие [159].Кроме того, вообще говоря, нет никаких причин, почему метрическаяи аффинная структуры (грубо говоря, мера и параллельный перенос)на многообразии должны быть связаны друг с другом условием Леви192Чивита. Связность может быть независимой переменной, или переменной, которая связана с метрикой каким-нибудь другим способом.
Однойиз интересных идей в этом направлении стало использование вспомогательной метрики для порождения связности [160] в форме Леви-Чивита.В наших работах [11*] и [12*] эта идея была развита, причём оказалось, что при наличии совершенно независимой второй метрики широкий класс возможных теорий действительно оказывается содержащимдухи. Однако наложение дополнительных условий на связь двух метрикможет приводить к жизнеспособным моделям.
Также в работе [13*] мырассмотрели с этой точки зрения интересный класс теорий [161] c соотношением между метриками, зависящим от кривизны. Оказалось, чтоэтот класс, стого говоря, нуждается в доопределении, но может иметьинтересные связи с нелокальными теориями гравитации.4.1Биметрический вариационный принципВ этом разделе мы рассматриваем теории, заданные действием∫︁=√¯ + (, .
. .),4 − (4.1)¯ – тензор Риччи независимой метрики ¯ , которая определяетгде свою аффинную связность, а метрика определяет меру интегрирования, способ перемещения значков, а также взаимодействие с материей.(В принципе, можно рассмотреть даже возможность наличия антисимметричной части у ¯ , и это описано в нашей работе [11*], но здесь мыопустим эту возможность, поскольку она выглядит геометрически менеемотивированной.) Подобная модель была названа в нашей работе [11*] ,биметрическим вариационным принципом.Для изучения спектра теории рассмотрим предел, в котором обе метрики близки к метрике Минковского.
При этом нам будет удобнее рассматривать не флуктуации обеих метрик, а флуктуации физической мет-193рики и отклонения вспомогательной метрики от нее:¯ = + ℎ̄где ℎ̄ рассматривается как малое возмущение.Заметим, что обратная (вспомогательная) метрика может быть найдена как¯ =[︁(︀[︃ ∞]︃]︁∑︁)︀−1 ]︁ [︁(︀)︀(︀)︀−1 + ℎ̄= I + −1 ℎ̄ =− −1 ℎ̄ ,=0(4.2))︀0где − −1 ℎ̄ ≡ I, а требование того, чтобы степенной ряд был сходя(︀щимся, придаёт точный смысл малости ℎ̄.Находим теперь коэффициенты связности1Γ̄ = ¯ ( ¯ + ¯ − ¯ )2]︃[︃ ∞(︀)︀)︁1 ∑︁ (︀ −1 )︀ (︁ =− ℎ̄2Γ + ℎ̄ + ℎ̄ − ℎ̄ .2 =0В нулевом порядке по ℎ̄ получается, конечно же, Γ .
Аккуратное рассмотрение следующих слагаемых показывает, что∞1 ∑︁ (︀ −1 )︀= Γ +− ℎ̄2 =0[︃Γ̄]︃(︀)︀ ∇ ℎ̄ + ∇ ℎ̄ − ∇ ℎ̄ ,(4.3)где ковариантные производные относятся к леви-чивитовской связностиметрики . Как видим, получается интересное свойство, что(︀)︀1Γ = ¯ ∇ ℎ̄ + ∇ ℎ̄ − ∇ ℎ̄ ,2которое, впрочем, как нетрудно убедиться прямой проверкой, справедливо и без предположения о сходимости степенного ряда для обратнойметрики.
Из полученного выражения в частности получаем1Γ = ¯ ∇ ℎ̄ .2194Заметим, что если оборвать ряд для обратной метрики на некоторомконечном порядке , то сумма ряда не будет симметричной по перестановке индексов. Однако, антисимметричная часть всегда имеет следующий порядок малости по ℎ̄. В самом деле,[︃∑︁(︀]︃)︀− −1 ℎ̄=0[︃[︃ =[︁(︀)︀ +1= I − − −1 ℎ̄]︁[︃∞∑︁(︀=0∞∑︁(︀]︃)︀− −1 ℎ̄∞∑︁(︀[︃−]︃]︃ ]︃)︀− −1 ℎ̄ = +1[︁]︁)︀ −1(︀)︀ +1− −1 ℎ̄ = I − − −1 ℎ̄ .=0Далее, необходимо найти тензор Риччи¯ = Γ̄ − Γ̄ + Γ̄ Γ̄ − Γ̄ Γ̄ .Подставляя Γ̄ = Γ + Γ , получаем¯ = + ∇ Γ − ∇ Γ + Γ Γ − Γ Γ .Слагаемые с ковариантными производными могут быть отброшеныпри подстановке в действие, ибо дадут лишь поверхностные члены.
Впрочем, при необходимости они тоже могут быть учтены в замкнутой форме,если принять во внимание, что[︃∇∞∑︁=0]︃(−h)[︃=−∞∑︁]︃(−h)=0(︀где матрица h обозначает поле ℎ̄ .195[︃ ∞∑︁)︀∇ ℎ̄=0]︃(−h),В результате получается действие∫︁(︀(︀)︀)︀√√ = 4 − + Γ Γ − Γ Γ = 4 −[︃ ∞]︃[︃ ∞]︃√∫︁∑︁∑︁)︀)︀(︀(︀−+ 4 − −1 ℎ̄ − −1 ℎ̄ ×4=0=0(︂(︀)︀∇ ℎ̄ 2∇ ℎ̄ − ∇ ℎ̄)︂)︀)︀ (︀(︀− ∇ ℎ̄ + ∇ ℎ̄ − ∇ ℎ̄ ∇ ℎ̄ + ∇ ℎ̄ − ∇ ℎ̄ . (4.4)∫︁При разложении вокруг двойного пространства Минковского в квадратичном приближении в действии для ℎ̄ достаточно заменить метрику метрикой Минковского. Тем самым в этом секторе квадратичное действие уже получено (надо лишь выкинуть лишние слагаемые в степенных рядах). Квадратичное же действие для ℎ получается стандартнымобразом (общая теория относительности).
Для полноты напомним, какэто происходит.Квадратичное действие для общей теории относительности вокругпространства Минковского может быть получено как(2)∫︁=4[︁√]︁√(1)− ( ) + ( ( − ))( ) .(2)(1)(4.5)Первое слагаемое равно (2) = Γ Γ − Γ Γ + surface termsи по форме совпадает с квадратичным действием для ℎ̄, а второе слагаемое принимает вид(︂)︂)︀11 (︀ 2 22 −ℎ + ℎ ℎ + ℎ − 2 ℎ − ℎ22196и, на самом деле, после интегрирований по частям становится равнымпервому слагаемому, умноженному на −2,)︁1 (︁ − ℎ ℎ − 2 ℎ ℎ + 2 ℎ ℎ − ℎ ℎ .2Собирая оба вклада вместе, можно получить квадратичное действие дляобщей теории относительности(2)1=−4∫︁4(︁ ℎ ℎ− 2ℎ ℎ+ 2 ℎ ℎ− ℎ ℎ)︁.В результате для биметрического вариационного приниципа получается следующее квадратичное действие:(2)(︂(︁∫︁)︁1 4= ℎ̄ ℎ̄ − 2 ℎ̄ ℎ̄ + 2 ℎ̄ ℎ̄ − ℎ̄ ℎ̄4(︁)︁)︂− ℎ ℎ − 2 ℎ ℎ + 2 ℎ ℎ − ℎ ℎ.
(4.6)Как видим, независимо от выбранной сигнатуры (или общего знака переддействием) есть два типа гравитонов, один номальный, другой – дух.Это и не удивительно. Опуская тензорную структуру, наш лагранжиан имеет вид (¨ + ˙ 2 ), вторая переменная при этом оказывается динамической за счёт интегрирования по частям, которое приводит к лагранжиану −˙ ˙ + ˙ 2 . Легко видеть, что подобная квадратичная форма (гдеодна из скоростей входит лишь в виде произведения с другой) всегда (внезависимости от конкретных коэффициентов) оказывается после диагонализации знаконеопределённой, то есть содержит и нормальные частицыи духи.Основываясь только на квадратичном действии, можно надеяться наисправление ситуации с помощью подходящей линейной комбинации сдействием Эйнштейна-Гильберта для проблематичной метрики. В следующем разделе мы увидим, что эта надежда не оправдана.1974.2АДМ анализ для биметрических теорийИтак, мы хотим проверить, могут ли более сложные формы биметрического вариационного принципа оказаться более жизнеспособными.Однако для ответа на этот вопрос полезно уже построить полноценныйАДМ формализм.
В этом разделе мы покажем, как это может быть сделано, следуя нашей работе [12*].4.2.1Простейшая формабиметрического вариационного принципаИз формы действия очевидно, что нам потребуются компоненты тензора Риччи ≡ в АДМ переменных, даже для анализа простей-шей модели предыдущего раздела. Используя соотношения (1.36)–(1.39)из первой главы, легко получить(3 ) = −1 (3 ) (3 )11 ˙− , (4.7) − ▽ ▽ + − 2 + ℒ→(3 )(3 ) = ▽ − ▽ ,(4.8)11 (3 )1 ˙− .
= + △ + − ℒ→(4.9)Нам теперь будет удобнее обозначать метрику, определяющую связность, буквой (без черты наверху). Обозначим поэтому физическую метрикубуквой ˆ (со шляпкой), для более явного отличия от предыдущего раздела.Предполагая, что обе метрики допускают (3 + 1)-разложение в однихи тех же координатах, мы можем вычислить величину ˆ , обозначивАДМ переменные метрики ˆ , например, через , и ˆ . Для этогопотребуется в формулах (4.7)–(4.9) перейти к явным компонентам тензора Риччи (вместо сверток с вектором единичной нормали), используя0 = + ,00 = 2 + 2 + .198Подставляя результаты в интересующее нас действие, получаем для√лагранжевой плотности −ˆ ˆ (︃[︃)︃2(3)√︀1 ˙11− + + △ − ℒ→= ˆ − 2(︃)︃(3)(3)+ 2 2 ( − ) ▽ − ▽ (︃(︀ )︀ (︀ )︀ )︃−−+ ˆ −×2(︃)︃]︃(3 )1 ˙1 (3 ) (3 )1− , (4.10) − − ▽ ▽ + − 2 + ℒ→где по договорённости индексы тензоров внешней кривизны опускаютсяи поднимаются с помощью метрики .Вводя новые переменные ≡и ≡ − и приводя подобныеслагаемые в уравнении (4.10), получаем√︀−ˆ ˆ √︃ [︃(︂)︃)︂ (︃(3)(3)(︀)︀ˆ1 √˙ − − ▽ ▽ − = ·ˆ − + ℒ→)︃(︃(3 )(3 ))︀ (3 ) (︀ + 2 ▽ − ▽ +ˆ − (︂)︂]︂)︀(︀)︀1 (︀ 2+ˆ − − −ˆ − , (4.11)где мы явно вынесли общий множитель√, чтобы упростить, когда этопотребуется, интегрирование по частям в слагаемых, содержащих кова(3 )риантные производные ▽ .Мы видим, что вторая производнаятолько√︁ (︀ по времени появляется)︀√в одном месте, а именно − ^ 1 ˆ − + 2 ˙ .
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
