Диссертация (1145296), страница 23
Текст из файла (страница 23)
Легко видеть, что вариирование слагаемого(︀)︀ (︀)︀ (︀)︀Φ Φ−1 −1 − −1 ,воспроизводящего 2 -потенциал, по отношению ко вспомогательным полям Φ определяет последние только с точностью до общего (несущественного) множителя. Это очень напоминает конформную инвариантность вдействии для струны по Полякову, и, по-видимому, должно говорить оналичии дополнительных структур, связанных с 2 -моделью. И действительно, именно с чистой 2 -моделью связывались надежды на нелинейную реализацию частично безмассовой гравитации [131], хотя они и неоправдались [132].3.4Квадратные корни из матрицВ этом разделе мы кратко обсудим избранные разделы теории матриц(см., например, книгу [133]), которые важны для понимания особенностей непертурбативной теории массивной гравитации. Разумеется, новыхрезультатов здесь не представлено. Однако эти факты были существенноиспользованы в нашей работе [9*].
И поскольку они часто оказываютсяза пределами математического кругозора физика-теоретика, мы считаем150необходимым обсудить их здесь. Всюду в этом разделе мы имеем в видуквадратные матрицы над полем комплексных чисел.Спектральная теоремаВ конечномерном случае можно дать полную спектральную классификацию линейных операторов, описав все классы эквивалентностипо отношению к преобразованиям подобия с помощью жордановой нормальной формы. А именно, любая квадратная матрица X может бытьзаписана как блочно-диагональная с блоками из жордановых клеток,X −1 = 1 (1 )⨁︁2 (2 )⨁︁...,где – невырожденная матрица преобразования подобия (описывающаязамену базиса в векторном пространстве), ( ) – жорданова клетка ссобственным значением и размером :⎛ 1 0⎜⎜0 1⎜⎜() ≡ ⎜. .
. . . . . . .⎜⎜0 0 0⎝0 0 0···00⎞⎟0⎟⎟⎟. . . . . . . . .⎟ .⎟... 1 ⎟⎠··· 0 ···0Каждая такая клетка прибавляет для своего собственного значения 1 кгеометрической и – к алгебраической кратности. В компонентах жорданов блок можно определить так: , = и ,+1 = 1, остальные матричные элементы равны нулю. Если все жордановы блоки одномерны,то матрица, конечно же, диагонализуема.Приведём набросок одного из возможных вариантов доказательства.1) У любой × матрицы всегда есть собственный вектор. В самомделе, характеристическое уравнение () = det(X − I) = 0 является условием разрешимости системы уравнений X = , где – векториз того пространства, где действует линейный оператор X.
По основнойтеореме алгебры, оно всегда имеет решение. Выберем любой собственныйвектор в качестве последнего элемента базиса (иными словами, выпол151ним соответствующее преобразование подобия), тогда получаем X, = 0при < .2) Теперь проделаем то же самое с ( − 1) × ( − 1)-мерным минором в левом верхнем углу, и так далее.
Получаем верхнетреугольнуюматрицу. Очевидно, что на диагонали стоят корни характеристическогомногочлена, то есть собственные значения. Без ограничения общностиможно считать, что одинаковые собственные значения стоят рядом другс другом.3) Выберем теперь одно из собственных(︃)︃значений, пусть это 1 . То˜ ˜ невырожденна, агда можно записать X − 1 I =, где O 00 нильпотентна.
Матрицу X − 1 I, а с ней и X, можнопривестик(︃)︃I блочно-диагональному виду преобразованием подобия, если оноO I˜ − 0 = . Последнее имеет решениеудовлетворяет уравнению ∑︀ ˜ −−1 = 0 , являющеяся хорошо определённой конечной сум>0˜ невырожденна, а 0 нильпотентна. Таким образоммой, поскольку можно привести матрицу к блочно-диагональному виду, причём у каждого конкретного блока все собственные значения равны друг другу, ноу любых двух различных блоков они отличаются.4) Теперь нам надо установить структуру матрицы 1 , все собственные значения которой равны некоторому фиксированному числу 1 . Очевидно, достаточно изучить нильпотентную матрицу 0 = 1 − 1 I заданного размера ×. На самом деле, то, что мы хотим сейчас доказать,не зависит даже от приятных свойств комплексных чисел.
А именно, поотношению к любому нильпотентному оператору всякое конечномерноевекторное пространство может быть разложено в прямую сумму циклических подпространств.5) Возьмём такое минимальное число 1 6 , что 01 = 0. Тогда существует вектор, для которого 01 −1 0 ̸= 0. Этот вектор вместе со всемивекторами 0 0 порождает инвариантное подпространство 0 , в которомматрица 0 принимает в так построенном базисе вид жорданова блока152с = 0, а 1 – аналогичного жорданова блока со своим собственнымчислом.6) Если 1 = , то всё доказано.
В противном случае возьмём подходящий вектор 1 из линейного дополнения к подпространству 0 . Под подходящим мы понимаем такой, который требует максимально возможнойстепени 0 для перехода внутрь 0 , включая нуль. (Альтернативно можно также рассмотреть факторпространство по 0 . Поскольку последнееявляется инвариантным подпространством, то на факторпространствекорректно определено действие 0 , и можно заново провести построение предыдущего шага.) Построим новое подпространство, натянутое навектора 0 1 .7) У нас не получится блочно-диагональной формы, если окажется,что 0 ̸= 02 1 ∈ 0 .
Но в таком случае вектор 02 1 является линейнойкомбинацией базисных векторов 0 0 подпространства 0 , причём только с > 2 , поскольку в противном случае оказалось бы, что 01 1 ̸= 0.Следовательно, существует такой вектор ˜ ∈ 0 , что 02 ˜ = 02 1 . Тогдапри построении нового циклического подпространства мы можем взять в вместо 1 , и проблема будет разрешена.роли старшего вектора ′1 = 1 −˜8) Описанную процедуру можно при необходимости повторить, разбив в конечном итоге каждый блок из совпадающих собственных чиселна отдельные жордановы блоки. Спектральная теорема доказана.Аналитические функции матрицПоскольку матрицы можно складывать и умножать, то с самого начала корректно и однозначно определены полиномиальные функции отматриц.
Заметим, что полиномиальные функции уважают отношениеэквивалентности, задаваемое преобразованиями подобия, в том смысле,что (X −1 ) = (X) −1 ,или преобразования подобия сохраняют полиномиальные соотношения.Разумеется, определение функции от матрицы можно непосредственнообобщить на любые функции, задающиеся сходящимися степенными ря153дами.
При этом удобно пользоваться жордановой нормальной формой:(︃ −1(︃⨁︁)︃ )︃ ( ) (︃= −1)︃⨁︁ ( ( )) ,поскольку степени жордановой клетки легко вычисляются, приводя кпростому ответу:⎛⎜⎜ 0⎜⎜ ( ()) ≡ ⎜ . . .⎜⎜ 0⎝0⎞1 ′′2 ()′··· ()···1(−2)()(−2)! 1(−3)()(−3)! ............00... () ′ ()00···0 () () ′ () ()1(−1)()(−1)! ⎟1(−2)⎟()⎟(−2)!...⎟⎟.⎟⎟⎠Пользуясь полученным соотношением, можно распространить определение функции от матрицы на все функции класса −1 (U), где –максимальный размер имеющихся жордановых клеток, а область U ∈ Rдолжна содержать в себе весь спектр матрицы.√В частности, поскольку функция () = является гладкой при ̸= 0, мы получаем корректное определение функции квадратного корня для любой невырожденной матрицы. Поскольку квадратный кореньявляется многозначной функцией, появляется дискретная свобода в вы√боре ветви квадратного корня из матрицы – выбор знака числа длякаждого из имеющихся жордановых блоков.
(Ниже мы увидим, что естьещё дополнительные тонкости в случае, если квадратный корень определяется не как гладкая функция, а как решение уравнения A · A = X.)√︀Легко убедиться, что матрица () относится к классу эквивалентно√сти (± ) при ̸= 0.Замечание о вырожденных матрицахСлучай вырожденных матриц нас интересовать не будет (хотя вырождения и встречались в литературе при исследовании массивных космологий [123,124]), но для полноты отметим, что здесь появляются новыеинтересные явления.154Возведём, например, вырожденную трёхмерную жорданову клетку вквадрат:⎛⎞ ⎛⎞ ⎛⎞0 1 00 1 00 0 1⎜⎟ ⎜⎟ ⎜⎟⎜0 0 1⎟ · ⎜0 0 1⎟ = ⎜0 0 0⎟ .⎝⎠ ⎝⎠ ⎝⎠0 0 00 0 00 0 0Простой перенумерацией элементов базиса находим, что (3 (0))2 экви⨁︀валентно 2 (0) 1 (0) в смысле преобразований подобия.
Жордановаклетка расщепилась. Легко понять, что это явление связано с тем, чтодля функции возведения в квадрат ′ = 0 в точке спектра данной матрицы. Можно доказать, что расщепление жордановых блоков может произойти только при этом условии [133].Отметим теперь также, что (2 (0))2 = O. Поскольку корень из 3 (0)может состоять только из вырожденных жордановых блоков, то очевидно, что его просто не существует. Иными словами, не существует такой3 × 3 матрицы A, что A2 = 3 (0). В случае вырожденных матриц квадратные корни существуют не всегда, даже над полем комплексных чисел.Теорема Гамильтона-КэлиПусть () – характеристический полином матрицы X. ТеоремаГамильтона-Кэли утверждает, что (X) = O. Она легко следует из того,что мы уже обсудили.
В самом деле, если в жордановой форме матрицыесть клетка ( ), то число является корнем многочлена порядкане меньшего, чем . Следовательно, ( ( )) = O для любой жордановой клетки в спектральном представлении матрицы X.Коммутирующие матрицыДля решения матричных квадратных уравнений оказывается чрезвычайно полезным сперва научиться решать уравнение коммутацииAX = XA,где требуется найти все возможные матрицы A, если дана матрица X.155Выберем базис, в котором X принимает жорданову нормальную формуX=⨁︁ ( ).Это блочно-диагональная форма, поэтому рассмотрим матрицу A в блочном виде: состоящую из × матриц , , где – размеры жордановыхклеток матрицы X. Тогда уравнение принимает вид (нет суммирования), ( ) = ( ), .При ̸= получаем( − ), = (0), − , (0).Матрицы (0) в правой части нильпотентны. Можно умножить это уравнение на − столько раз, сколько потребуется, пока не получим, = 0.В случае = уравнение принимает простой вид, () = (), .Учитывая, что жордановы блоки тоже очень простые, нетрудно найтипри каких условиях на компоненты , это уравнение будет удовлетворено.
При этом получается континуальное семейство решений.При = (например, в диагональном блоке) получаем решение ввиде (, ),+ = , где – произвольные числа, = 0, 1, . . . − 1.(︃)︃(︁)︁˜,,Если же ̸= , то имеем либо , = O ˜, , либо , =Oгде ˜, – верхнетреугольная матрица описанного выше вида и размераmin( , ) × min( , ).***Заметим, что для диагонализуемых матриц мы просто получаем, чтоони должны быть диагонализуемы одновременно. При = матрич156ный элемент , может быть произволен: в этом подпространстве Xкратна единичной и коммутирует с чем угодно, а матрицу A можно прижелании диагонализовать, не меняя матрицы X.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
