Диссертация (1145296), страница 18
Текст из файла (страница 18)
(Там же указано, что введение дуального тензоранапряжённости в слагаемом типа ˜ не приводит к успеху.) К разговоруо "тонко подстроенных" моделях мы еще вернёмся в последнем разделеэтой главы.Остаётся ещё одна разумная возможность - кинетическое самодействие другой формы: (2 ) 2 . Рассмотрим для простоты теорию с массивным членом в потенциале11ℒ = − (2 ) + 2 2 .42114Канонические импульсы равны = 0 и 0 = 0 (первичная связь).Гамильтонова плотность легко вычисляется( )211ℋ=− 0 + − 2 2242и порождает вторичную связь( )2 ′1 ′− = 0 +− 0 ,0222которая позволяет записать гамильтониан в виде( )2ℋ=2(︂)︂(︂)︂)︀′ 21′ 21 (︀1 + 2 0 + 1 − 2 0 + 2 20 + 2 .42Из вида первых двух слагаемых очевидно, что он никогда не бываетограниченным снизу для непостоянных функций .Более того, рассмотрим уравнение движения1▽ ( ) − ′ 2 + 2 = 0.2Поле имеет эффективную массу ˜2 =2− ′ 22 ,причём 2 ≈ 2 2 ,если динамика Вселенной доминируется векторным полем.
Поскольку 2 < 0 и > 0, то для отрицательности квадрата массы (а тем болеедля его близости к −2 2 ) требуется ′ < 0 и | ′ 2 | > 22 . Очевидно,что квадратичное действие для продольной моды(︂ℒ=)︂1 ′ 2 1 2− + ( )( )42в этом случае описывает дух.В нашей работе [5*] показано, что и более сложные нелинейные функции от нескольких аргументов не приводят к желаемому результату.Конкретные рассуждения нагоняют тоску, не вознаграждая при этомприятными сюрпризами, поэтому мы их опускаем.115Замечания о нарушенной лоренц-инвариантностиРазумеется, все сложности, порождаемые духовыми степенями свободы, так или иначе связаны с лоренц-инвариантностью. Если от неёотказаться, то можно вообще рассмотреть модель только с пространственными компонентами ℒ =12( ) ( ) − 12 2 2 (в космологиче-ской системе отсчета).
Конечно, этого не хотелось бы делать, посколькулоренц-инвариантность на фундаментальном уровне проверена очень хорошо.Однако нарушение инвариантности не обязано быть фундаментальным, оно может быть спонтанным, за счёт взаимодействия с какимнибудь нетривиальным фоном (например, эйнштейновский эфир). Этивозможности остаются за рамками нашего рассмотрения, но хотелось бызаметить, что даже при отказе от лоренц-инвариантности, если этот отказ не столь радикален как полное исключение временной компоненты,избавиться от неустойчивостей не так то просто.В самом деле, простейшей идеей может стать введение разных массдля разных компонент поля: (2 ) = −(21 20 − 22 2 )без изменения максвелловского кинетического слагаемого.
Такое отличиенепросто ввести ввести во время инфляции взаимодействием с тензоромРиччи, ибо он почти пропорционален метрике – потребуются коэффици(︀ )︀енты порядка 1 , но эйнштейновский эфир мог бы работать.В этом случае временная компонента определяется из уравнения(︀)︀− △ +21 0 + ˙ = 0без проблем с нулевыми модами, если её масса имеет нормальный знак.Однако в пространственной части уравнения движения(︂)︂22¨ + 22 − △ + 1 − 2 = 01116обнаруживается градиентная неустойчивость продольной моды (что, конечно, сразу очевидно в картине Штюкельберга) в случае тахионногохарактера второй массы.
В принципе, эту проблему можно решать вмешательством в кинетическое слагаемое, но мы оставляем такие возможности за кадром.2.3Краткий обзор современного состоянияинфляции с векторными полямиНаша статья [1*] породила очень большой отклик в сообществе. Возник интерес к построению моделей инфляции с необычными для этойцели полями, вплоть до спиноров [81, 82].
Спинорные модели, конечно,весьма плохо мотивированы, поскольку трудно объяснить физическийсмысл макроскопически (и даже астрономически) большого классического спинорного поля. Однако другие варианты могут быть интересны,как с позиций построения новых моделей инфляции, так и с фундаментальных точек зрения, таких как организация устойчивого анизотропного расширения, что, как известно, нетривиально [83].Одно из интересных обобщений – инфляция на дифференциальныхp-формах при > 1 (антисимметричных тензорах) [84, 85].
Так, например, для 2-форм имеем антисимметричный тензорный потенциал с двумязначками , а напряжённость поля имеет три значка . При этомнеминимальное взаимодействие с гравитацией может содержать как слагаемые вида , так и .Оказывается, что (при аккуратном подборе коэффициентов во взаимодействии с кривизной) существует дуальность [84,86]: 2-формы дуальны векторам, а 3-формы – скалярам. Надо кстати отметить, что и длявекторной инфляции можно было бы ввести взаимодействие не толькосо скаляром кривизны, но и с тензором Риччи ( ) – это по очевидным причинам мало меняет динамику инфляционного режима.Правда, эти преобразования дуальности содержат кривизну, а с ней ивторые производные от метрики, которые приводят к третьим производ-117ным в тензоре энергии-импульса в дуальной картине, которые исчезаютвокруг однородных фоновых решений.
Это является любопытным отражением найденной нами дополнительной степени свободы.Инфляция на 2-формах подвержена всем сложностям, что и векторная: духи [84] и катастрофический рост анизотропии [87]. Интересно однако, что, если не пытаться абсолютно точно воспроизвести фоновуюдинамику скаляра (позволить поправки к эффективной массе порядка˙ то инфляцию на 3-формах можно иметь без неминимального взаи),модействия с гравитацией и духовых степеней свободы [88, 89].Ограничиваясь только векторными полями, существует другая интересная возможность, свободная от типичных проблем векторной инфляции, но она скорее содержит векторную примесь к скалярной инфляции (что само по себе интересно как успешное построение расширениясо стабильной анизотропией) [90–92].
Плотность энергии доминируетсяскалярным инфлатоном, но векторное поле не убывает за счёт кинетического взаимодействия вида () . Такие модели продолжают активно исследоваться [93]. Важной особенностью является возможностьсохранения калибровочной инвариантности, что позволяет избежать появления любых проблем с продольными модами.Другое интересное направление [94–96] – модели инфляции с неабе(︁)︁2˜левыми полями, которые используют добавку вида к действиюЯнга-Миллса. Калибровочная инвариантность сохранена, поэтому такиемодели также не подвержены проблемам с продольными компонентамивекторных полей. Изотропную триаду обычно записывают, преполагаякалибровочную группу (2), – один генератор из базиса алгебры Лина одно пространственное направление.
Естественность такого подходаможет (справедливо) вызывать вопросы. Однако, это даёт возможностьполучать интересные результаты, и модель продолжает активно исследоваться [97].В последнее время также интерес представляют "векторные галилеоны" [98] – векторные поля, обладающие уравнениями движения второгопорядка, несмотря на старшие производные в действии, не сводящиеся118к поверхностным слагаемым.
Этот вопрос остаётся пока недостаточноразработанным.2.4О гиперболичностиуравнений движенияПоскольку рассмотрение обобщённых вариантов векторной инфляции и родственных ей моделей предполагает использование нестандартных лагранжианов векторных полей, интересно выяснить более детальноих динамические свойства. В работе [80] было указано, что для лагранжианов видаℒ = − ( 2 ) − (2 )(2.26)с нетривиальной функцией всегда наступает нарушение гиперболичности (чуть ниже мы укажем в каком смысле) уравнения движения(︀)︀ 1▽ ′ ( 2 ) · = ′ · 2(2.27)хотя бы где-нибудь в фазовом пространстве теории.Обсудим этот вопрос подробнее. Легко найти главную (второго порядка) часть дифференциального оператора в уравнении (2.27):[︀(︀)︀]︀D ≡ ′ · − + 4 ′′ · .(2.28)Гиперболичность системы уравнений можно обсуждать на языке спектральных свойств главного символа ее дифференциального оператора, внашем случае[︀(︀)︀]︀ () ≡ ( ) ≡ ′ · − + 4 ′′ · .(2.29)Если удаётся диагонализовать ( ) по отношению к индексам и, ( ) → должна иметь одно(=) · , то каждая из матриц отрицательное и три положительных собственных значений.119Строго говоря, в нашем случае D заведомо не гиперболичен, поскольку уравнения движения содержат хорошо известную связь▽ ( ′ · ) = 0,(2.30)которая уменьшает количество независимых компонент до трёх.
На самом деле мы требуем, чтобы матрицы для этих независимых компонент были гиперболической природы.Кроме того, следуя работе [80], мы позволим себе ещё одну вольность– мы потребуем, чтобы матрица была положительно определённой. Это означает, что отрицательное собственное значение матрицы имеет времениподобный собственный вектор (по отношению к метрике).
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
