Диссертация (1145296), страница 22
Текст из файла (страница 22)
В ней присутствуют два аспекта. Есть дискретная неопределённость в выборе знаков собственных значений, аналогичная двум ветвям обычной функции квадратного корня. Но в некоторых случаях возникает и континуальная неопределённость. Причём связана она в первуюочередь с наиболее интересными симметричными ситуациями.
В частности, имеется бесконечноемножествокорней(︃)︃ квадратных(︃)︃ из(︃ единичной)︃3/5 −4/53/5 −4/51 0матрицы, например·=.−4/5 −3/5−4/5 −3/50 1Вместе с тем, для представленного выше вывода уравнений движения принципиально важно предположение о том, что существует мат√рица ℳ как гладкая функция матрицы ℳ, так что можно корректнопонимать все промежуточные действия.
Оказывается, что это предположение может нарушаться в случаях континуальной свободы.Касательно доказательств отсутствия духов, очевидно, что доказательство Хассана и Розен допускает, как минимум, некоторую свободувыбора квадратного корня, а в следующем разделе мы приведём подход,вообще избегающий явного выбора этой матрицы. Поэтому вопрос о значении нетривиальных квадратных корней приобретает особую актуальность. Мы ещё вернемся к этому важному аспекту теории в дальнейшем.3.3Анализ со вспомогательными полямиВ этом разделе мы изложим альтернативный подход к доказательству отсутствия духа Боулвара-Дезера, предложенный в нашей работе[7*]. Введём вспомогательные тензорные поля Φ в 1 модель дРГТ, изапишем потенциал в виде2 (︀ (︀ −1 )︀ 2 )︀ =Φ + Φ .143(3.30)Переменные Φ – нединамические.
Их уравнения движения чисто алгебраические: Φ2 = 2 −1 . Подставляя это соотношение в потенциал√︀(3.30), получаем знакомое слагаемое 22 Tr −1 в действии (3.4).Мы будем в дальнейшем предполагать опорную метрику Минковского = . При это можно потребовать от вспомогательных полейследующих свойств симметрии: Φ = Φ и Φ0 = −Φ0 .Если абсолютно последовательно выполнять все шаги гамильтоноваанализа, то в модели имеются следующие первичные связи (обращениев нуль импульсов переменных без временных производных): 1 = ,2 = ,3 = Φ .Их надо коммутировать (брать скобки Пуассона) с гамильтонианом. Очевидно, что связи 3 приводят к тому результату, который мы уже обсудили, то есть вторичным связям вида4 = Φ2 − 2 −1 ,а нас теперь интересует, что даёт коммутация с гамильтонианом связей1 и 2 .Для 2 несложным вычислением получаем6 =√(︃(3 )−2 ▽ + 2 (︀2)︃)︀Φ−1 ,причём производную матрицы в последнем слагаемом легко представитьв виде 2 = (︃0− − − 144)︃.Для связи же 1 имеем5 =√(︂1 −−(3 ))︂(︂ (︁ )︁)︂(︀)︀1 2− + 22 Φ−1 .2 На данном этапе получаем полную гамильтонову плотность в виде)︂)︂(︂(3 )1 1 (︁ )︁2√ − − 2 ▽ + 2 (︀(︀)︀)︀√+ 2 Φ + Φ−1 2 +(︀)︀√+ 1 + 2 + 3 Φ + 4 Φ Φ − 2 +(︂(︂)︂)︂(3 )(︀ −1 )︀ 1 1 (︁ )︁2√2− + 5 − −+ 2 Φ + 2 (︃)︃(3 )(︁(︀)︁)︀(︀)︀√.
(3.31)+ 6 −2 ▽ + 22 Φ−1 0 + Φ−1 √ℋ = − (︂(3 )Каждому нулевому импульсу соответствует некоторое (нелинейное)уравнение на переменные теории. В случае общего положения мы получили бы систему связей второго рода, вторая половина которых (вторичные) позволяет алгебраически определить значения нединамическихпеременных в терминах компонент пространственной метрики и их канонических импульсов.Однако же можно убедиться, что при выбранной нами форме потенциала существует определённая линейная комбинация (нефизических)импульсов, которая коммутирует с гамильтонианом. Это означает, чтополученные уравнения 4 , 5 , 6 не позволяют однозначно найти значения нединамических переменных.
И, следовательно, среди этих уравнений есть комбинация, которая порождает нетривиальную связь в физическом (пространственном) секторе вместо определения заведомо нединамических переменных. Тем самым, число степеней свободы оказывается строго меньшим шести. Ниже мы приводим некоторые техническиедетали.1453.3.1Технические подробностиНам надо явно вычислить скобки Пуассона полного гамильтониана снефизическими импульсами.
Причём, поскольку требуется обращение внуль только в слабом по Дираку смысле, то есть на поверхности связей,то коммутирование с первыми слагаемыми гамильтониана новой информации не даёт, ибо оно уже породило вторичные связи. Соответственно,мы находим(︀)︀1√ {1 , } = −24 + 25 2 Φ−1 ,(︀)︀1√ {2 , } = −24 0 + 24 + 22 6 Φ−1 ,)︀ (︀1√ {3 , } = 24 Φ + 22 5 Φ−1 Φ(︁(︀)︀(︀ −1 )︀ )︁2 −1 + 2 6Φ 0+ Φ ,Φгде была использована симметрия вспомогательных полей и отвечающихим множителей Лагранжа: 4 = 4 и 4 0 = −4 0 . Число уравнений вэтой системе совпадает с числом неизвестных (множителей Лагранжа), ив случае общего положения можно ожидать, что все множители Лагранжа будут определены (а коммутирование гамильтониана со вторичнымисвязями точно так же определит множители Лагранжа при нефизических импульсах), и на этом анализ закончится, оставив шесть степенейсвободы (по числу компонент ) и четырнадцать нефизических переменных, ограниченных четырнадцатью связями второго рода.Однако, используя связь 4 и элементарное соотношение(︀Φ−1)︀ (︀ −1 )︀(︀ −2 )︀ (︀ −1 )︀Φ=−Φ Φ , Φ146из последнего коммутатора легко получить)︀1 (︀4 = √ Φ−1 {3 , }2 (︃)︃(︁(︀)︁(︀)︀)︀(︀)︀6 5Φ−1 +Φ−1 0 + Φ−1 + 2,2)︀1 (︀4 0 = √ Φ−1 {3 0 , }2 (︂(︁(︀)︁)︂ (︀)︀)︀(︀)︀56+ 2Φ−1 +Φ−1 0 + Φ−1 .2Мы видим, что комбинация множителей Лагранжа 4 0 − 4 определяется при этом только коммутатором с 3 , в то время как 5 и 6выпадают.
Используя теперь коммутатор с 2 , получаем (в слабом смысле, разумеется)22 6(︀)︀Φ−1 }︁(︀ −1 )︀ (︀ −1 )︀ 1 {︁= √ 2 + Φ 3 0 − Φ 3 , .С другой стороны, можно вычислить величину 4 и сравнить скоммутатором {1 , }. Это тоже позволяет (в слабом по Дираку смысле) определить множители 6 :22 6(︁(︀)︀Φ−1 0+(︀)︀Φ−1 )︁}︁1 {︁ 2 (︀ −1 )︀ = − √ Φ 3 + 1 , .Полученные два результата должны быть согласованы друг с другом,и исходя из этого, мы получаем комбинацию импульсов(︀)︀ + Φ−1 Φ(︀ −1 )︀ (︀ −1 )︀ ⎛(︃ (3 ) )︃−1 ⎞Φ 0+ Φ ⎝ Φ−1⎠ ×+(︁)︁(︀ −1 )︀(︀ −1 )︀ + Φ Φ0 − Φ Φ ,147которая слабо коммутирует с гамильтонианом вне зависимости от значений множителей Лагранжа. Это и есть та особенность дРГТ потенциала,которую мы хотели выявить нашим методом.
Для этого нам не пришлосьявно извлекать квадратный корень из матрицы.В нашем методе это определяет направление в пространстве нединамических переменных, вдоль которого пока не получено никаких ограничений. В стандартном подходе это соответствует тому, что четыре связи,обобщающие обычные эйнштейновские связи, не зависят от переменнойшага, если их выразить в терминах нового вектора сдвига. Далее следуетпрокоммутировать гамильтониан со связями 4 , 5 , 6 для определениямножителей Лагранжа 1 , 2 , 3 . Однако мы знаем, что есть комбинацияпервичных связей, которая без всяких дополнительных условий прокоммутирует со всеми вторичными связями, а следовательно система уравнений не позволит определить всех искомых множителей Лагранжа, ивместо этого возникнет новая (для нас уже третичная) связь.
Посколькув системе нет калибровочной свободы, то следует ожидать, что, в паре сфизической комбинацией вторичных связей, они будут связями второгорода, уменьшая число степеней свободы до пяти.3.3.2Дополнительные замечанияПолнота рассмотренияРазумеется, хотелось бы, чтобы гамильтонов анализ был явно проведён до конца. И действительно, в результате утомительных вычисленийможно убедиться, что третичная связь возникает, но выражения оказываются чрезвычайно громоздкими, и довести эти вычисления до полного логического завершения с определением всех связей (второго рода) имножителей Лагранжа оказывается очень сложно. Насколько мы знаем,никто этого не сделал. В стандартном подходе это было тоже проделаноотнюдь не сразу, наиболее полное рассмотрение представлено в работеХассана и Розен [119].Нашим методом оказывается сравнительно просто установить фактпоявления одной связи в чисто пространственном секторе, поскольку не148приходится явно извлекать квадратный корень из матрицы, но при этомполный последовательный анализ усложняется в силу появления большого числа вспомогательных переменных.
Тем не менее, наш метод анализа оказался полезным и удобным для обсуждения отсутствия духана языке полей Штюкельберга [120]. С теоретической же точки зренияважно, что наше рассуждение не привязано к конкретному способу извлечения квадратного корня.Произвольная опорная метрикаМы использовали опорную метрику Минковского. Известно, что отсутствие духа можно доказать и для произвольной опорной метрики[117]. Вычисления при этом становятся более сложными, изменяется виданзатца (3.22) для квадратного корня.Если для опорной метрики тоже использовать АДМ разложение ввиде(︃ =)︃(︀)︀− 2 − ,то требуется извлекать квадратный корень из матрицы⎛ = ⎝В 2 − ( − )22 ( − ( − ))−+2нашемподходе возникающие −2 − 2− усложнения⎞⎠.относитель-небольшие: в(︁ связи 5 возникает)︁ более сложное слага(︀(︀)︀)︀√0емое22 Φ−1 + Φ−1 вместопростого)︀√ (︀22 Φ−1 , и в связи 6 происходят аналогичные измененония.
Однако, все изменения соответствуют скорее некоторому поворотув пространстве параметров, чем усложнению по существу.В принципе, так оно и должно было быть. Ключевое свойство – линейность потенциала по одной комбинации нединамических параметров.Она устанавливается в каждой точке пространства-времени без участияпроизводных. Вместе с тем, в заданной точке опорная метрика может149быть приведена к виду Минковского подходящей заменой координат (разумеется, физическая метрика при этом тоже преобразуется).За пределами 1Как мы уже ранеее упоминали, для произвольного дРГТ потенциала отсутствие духа легко доказывается, если уже доказано, что 1 потенциал может быть представлен в виде (3.22). Дело в том, что первоеслагаемое в правой части (3.22) сохраняет свою форму при возведениив квадрат, и можно убедиться, что из 2 и 3 членов выпадают старшиестепени1.Однако, в принципе, нашим методом можно рассмотреть про-извольный потенциал и напрямую, по той же самой схеме.Интересная особенность возникает при этом для случая чистой 2 модели.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
