Стратонович Р.Л. Избранные вопросы теории флюктуаций в радиотехнике (1961) (1141997), страница 65
Текст из файла (страница 65)
Точки Рь Рз теперь не будут лежать на оси аь Их положение определяется путем приравнивания нулю выражений (103) в предположении $~=$з=О. В разделе ! были вгяведены уравнения (11), (12), служашие для определения полярных координат г:=А,а,; ~р=~р, точки Рь Координаты второй точки ам <рз определяются из таких же самых уравнений.
Когда уравнение (12) имеет единственный корень, точка Р, не существует. В разделе 1 рассматривались радиальный и азиму. тальный коэффициенты жесткости (15) в точке Рп ь = — '"" (За,' — 1); 6' = — ',"' (а,' — 1) 2 Если вторая точка существует, то соответствующие радиальный и азимутальный коэффициенты для нее определяются аналогичными же выражениями 6, = —.' (За,' — 1); о,' = — ',",' (1 — а,'), совпадающими с (135).
При приближенном обобщении формулы (140) на случай ненулевых расстроек следует сначала найти новые значения аь ат и подставить в последние выражения. Разность уровней Уз — У, в (140) следует заменить на контурный интеграл от выражений, стоящих в правых частях (1ОЗ), который равен Р, (у(а„ря) — И(а„р,) + Ь ~ (азЖ, — а,гЬ,), где У(а о)= — ам,А, ~ — — 1~а — —,А,асов<~. 1 ~/аз ~ з,Е 4 ~ о ~ 2 ) 2 Точное решение задачи при ненулевых расстройках весьма затруднительно, что связано с непотенциальным характером поля скоростей (а,), (гД .
Минуя трудности, мы приведем лишь весьма приближенную оценку, достаточную для пракгнчсских целей. Хотя контурный интеграл зависит от пути интегрирования, положим тогда обобшенная формула (140) примет вид Р,= — [ ., ) е '*' сй(а аз«я — р +Е1)Р) Х /О "з з 1 — аал~Р) Х ехр ~ — — «(У(а„оз) — (У(а„р,)«) . С теми же прибляжениями для смешения средней ча стоты, вызванного срывами синхронизации, будем име1ь формулу 1 (и) — м,=2( ' ) е """ зп(а,а,«ч — р,+Е,«Р)Х Хехр( — —,, [(У(ам р,) — (У(ап е,)«).
2 й 1З. ПАРАМЕТРИЧЕСКИЕ КОЛЕБАНИЯ К параметрическим мы относим те явления и про. цессы, которые описываются дифференциальными ураг,- нениями с переменными параметрами. Последнее означает, что в указанных уравнениях некоторые линейные члены имеют коэффициензы, зависящие от времени. Уравнения в целом могут быть как линейными, так и нелиненными. Регулярные или нерегулярные колебания параметр1в могуг привести к возбуждению колебаний в счсзсме. Условия возбуждения таких коле танин удобнее исследовать на примере линейной системы, тогда как для вычисления амплитуды колебаний следует учитывать нелинейность, Даже линейная теория параметрического возбуждения по предмету и методам тесно связана с теорией нелинейных колебаний, Поэтому мы, следуя тради- ции, помещаем исследование параметрических явлений в глав>, посвященную нелинейным колебаниям.
Б качестве простейшсго примера электрической системы с переменным параметром укажем колебательный контур, изображенный на рис. 19.1, в котором емкость С или индуктивность Е меняется во времени Колебания в нем описываются уравнением у+2е(г) у+ й(1) у=О. (19.1) Здесь у — ток или напряжение на каком-либо эле- 1 Л менте, и (1) = —; 20 (~) = — переменные пара- АС ' Е метры, изменяющиеся во времени вследствие непостоянства емкости или индуктивности. с(с) Указанное непостоянство может быть обусловлено самопроизвольными флюктуациями, а Рис.
19Л. Кеаелателаимв также может быть вызвано спе- контур е переменными параметрами цнально путем подачи извне некоторого переменного напряжения, Для получения управляемого изменения параметров могут быть использованы различные специальные эффекты, например, за висимость межэлектродной емкости от потенциала на других сетках, зависимость магнитной проницаемости ферромагнетиков от напряженности магнитного поля и др. Параметрические системы с управляемым изменением частоты родственны системам, производящим частотную модуляцию, и отличаются от последних лишь быстротой изменения частоты, Обширную группу параметрических систем представляют механические системы. Примером может служить маятник, совершающий горизонтальные колебания при вертикальных перемещениях точки подвеса.
К параметрическим явлениям относятся также поперечные колебания балок, шарнирно закрепленных по концам, н струн при непостоянных продольных усилиях. Изменение параметров может носить как регулярный, так и флюкт)ационный характер. Воза1охены также :омбинированные случаи, когда на регулирные, напрйчер, гармонические колебания накладываются флюктуацронные возмущения. Мы ограничимся рассмотрением тех случаев, когда изменения параметров имеют малую интенсивность, так 503 что колебания не теряют формы, близкой к синусоидальной.
Так, применительно к последнему члену уравнения (1) это означает, что Й(1) складывается из большой постоянной и малой переменной компонент: й (г) = я ~ + ойг (г). (19.2) Здесь г — малый параметр, присутствие которого позволяет применять ассимптотические методы, рассмотренные ранее. С их помошью может быть достигнута точность различных порядков относительно е. Первое приближение, учитывающее первый порядок по з, позволяег исследовать основной параметрический резонанс, при котором система откликается на те составляюшие в спектре ф~нкции А(1), которые имеют частоту 2гоо,,г(па исследования резонанса более высоких порядков нужно перейти к высшим приближениям.
Мы ограничимся, однако, изучением основного параметрического резонанса и рассмотрением уравнений первого приближения, которые совпадают с укороченными уравнениями (см. $ !3, раздел 3). 1. Линейные параметрические колебания. Основные уравнения Рассмотрим линейное уравнение (1). Совершая замену переменной р) = „р [ [ в о1 а[ ~ о), (1оз) о преобразуем его к виду х + [А (г) — Р(г) — 3 (1)] х = О, (19.4) Если й(1) — б'(1) — стационарный случайный процесс, то мы подбираем ооо= (й(() — б'(г) ), так что выполняется условие нулевого среднего значения (Ц =О. Учитывая (5), записываем уравнение (4) в виде «+ ыо'х = — во'х1 (~).
(19.6) Выделим из й(1) — 6'(1) — б(1) постоянную составляющую, которую обозначим сов'. Для остальной части введем обозначение охи(1); Ф(Г) — Р(1) — 6(1) =воя [1+1(1)]. (19.5) Применяя к нему тот же прием, что и в разделе, 3 $13, определяем амплитуду и фазу колебаний равенствами х = Асов (»о~+ <р); х= — в~оА з!и (во~ + р).
(19.7) Амплитуда и фаза удовлетворяют уравнениям (!3.31), которые в данном случае вследствие (6) приобретают вид А= А Е(г) т мо» Е(г) ° (19.8) После подстановки (7) имеем А — — = м,Е (т) ь!и (»,(+ ~) соз (»,1 + т); з = м,Е (1) соз» (в„~ + у). (19.9) Амплитуда А, входящая в последние равенства, является амплитудой вспомогательного процесса (3), отличающегося множителем ехр [ [ б(!) П() от исходного процесса у, имсюшего обычно прямой физический смысл.
«Физическая» амплитуда колебаний у(!) равна р [ — [В«')э] Ащ. а9лО) о Удобно ввести особое обозначение для ее логарифма .=1.А ~Е(~).~. о (19.11) Тогда уравнения (9) можно записать и = — 8 (~) + — ' Е (~) и!п (2в,~ + 2~), Е (1) + о Е (1) соз (2ео1+ 27) (19 12) (19.13) ЕИ) «1; Е (~) <<мо. Последние уравнения являются вполне точными; они справедливы при любых функциях $(() и б(() как случайных, так и неслучайных.
Нас интересуют, конечно, те задачи, когда они случайны, нли хотя бы содержат случайные составляющие. Будем предполагать, что выполняются условия малости В противном случае уравнения (12), хотя и сохра ияют смысл, но трудно поддаются решению. Кроме того, сами понятия амплитугы и фазы при этом становятся не. показательными для процесса х(1) илн у(1). Легко понять, что для ответа на вопрос, возбуждаются ли в системе колебания или нет, т.
е. устойчива ли система, следует проанализировать среднюю величину производной (и), которая определяется первым уравнением (!2). Усредняя его, получаем условие параметрического возбуждения колебаний в виде неравенства (6 (()) < —" (1 (1) з1п (2~вой + 2ч )) . (19.14) Если это неравенство не выполняется, то колебания, имеющиеся в системе, с течением времени неограниченно затухают и, следовательно, система устойчива.
Коэффициент затухания ~„а = —.' (1(1) з1п(2ш„1+2~)) (19.15) является критическим. При меньших затуханиях в системе происходит возбуждение, при больших — не происходит. Граница области возбуждения определяется совпадением затухания б с критическим. Тем самым исследование параметрической системы на устойчивость сводится к вычислению критического затухания (15). Для его вычисления, однако, следует обратиться ко второму уравнению (12), поскольку фаза ~р(1) находится в тесной зависимосТи от $(г).
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
