Стратонович Р.Л. Избранные вопросы теории флюктуаций в радиотехнике (1961) (1141997), страница 60
Текст из файла (страница 60)
(18.28) Корреляционные функции действительного и комплексного процессов связаны соотношением (7.16) (хх,) = —, Ке [ (ЕЕ,*) е '~'], (18.29) а их спектральные плотности Б [х м] 4 8 [Е ю вс] + 4 84 [Л е + ес] 1 1 4 = 4 Я[У, и — а,] при м>0, 1 т. е. Я [х, в] — ха([м[ — м,). 1 (18.30) Принимая во внимание (28) и найденные ранее результаты (18), (20), определяем статистические характеристики комплексного процесса (7Е,") =А,'+ (уу,) + (аа,) — 1(уг,— ау,); кв(м) =2яА,46(ю) + х (м)+х,(м) — 1(~с,— ~* ) = э.а Ь Ьо 4-М -~- "а~ 4- 4ва =2ЯА16(м)+ (ам+аз ш2)а+шз(э+май К, (18.3 ) 466 ляционная функция зависит не только от разности времен т, но и периодически изменяется при одинаковом сдвиге обоих моментов по оси времени.
Для некогерентных операций и устройств можно произвести дополнительное усреднение по неопределенной начальной фазе, которую можно считать случайной и равномерно распределенной. Такой процесс со случайной начальной фазой является уже стационарным, и его корреляционная функция зависит лишь от разности времен. В этом случае для отыскания корреляционной функции проще всего применить описанный в $7 прием, основанный на рассмотрении комплексного случайного процесса которые затем следует подставить в (29), (30). Так, для спектральной плотности имеем Я [х, а) =яА,ай(а — м,)+ 1,а (!ш! — <о~+а)а + —,йи +Р) + рм ч аа 0„~ „„а,а т(1~~ ~ )а(а.~ ь)аК (18 32) Наличие корреляций между амплитудными и фазовыми флюктуациями здесь, как и в $15, приводит к не- симметрии спектральной плотности относительно основной частоты в, (числитель второго члена симметричен относительно а,— Л, знаменатель — относительно ыа).
Полагая т. = 0 в (29) и первом равенстве (31), а также используя (21), находим (ла> = —,(Аа'+ (у'>+ (яа>) = = —.А '+— -т ам-~ аа ' (18.33) откуда следует, что мощность флюктуаций, имеющих непрерывный спектр, описываемый вторым выражением в правой части (32), составляет лишь К та.~ аа — ° 100% тлр м'-гаа (18.34) (18.35) Необходимыми условиями применимости меточа линеаризации являются условия малости флюктуацион.
ных отклонений (оАа>/А,', (бяг'> по сравнению с единицей. Но эти условия еще не являются достаточными, особенно в отношении фазы при больших расстройках, от мощности дискретной спектральной линии на частоте синхронизации. Это составляет всегда малую часть в рамках применимости метода линеаризации. С большой степенью условности ширину непрерывной спектральной полосы в (32), обусловленной флюктуациями, можно оценить как равную 21=ею,(2а,а — 1) нли даже 2аа,а,а. Тогда отношение ширины непрерывной части спектра к ширине полосы синхронизации — будет равно Ь, а, близких к границе полосы синхронизации. В этом случае для срыва синхронизации достаточно значительно меньшего отклонения фазы от синхронного режима, чем и, Если Лэ — такое отклонение, то обязательным условием справедливости полученных выше результатов является неравенство (йр') « д,'. (18.36) Выполнение последнего условия затрудняется еще зем, что с приближением к границе полосы синхронизации происходит уменьшение жесткости по фазе и следовательно, увеличение фазового разброса.
Итак, мы видим, что даже при малом уровне флюк- туаций метод линеаризации делается неприменимым, если становится малой амплитуда синхронизирующего воздействия (26) или расстройка приближается к гра- нице полосы синхронизации (нарушается (36)). Для рас- смотрения этих случаев требуется привлечение нелиней- ной теории.
В приближении линеаризации оказывается, кроме того, совсем обойденным вопрос о возможности переско. ков фазы на целое число периодов. При этом молчаливо предполагается, что любое флюктуационное отклонение, как бы велико оно ни было, ликвидируется путем воз- вратного движения изображающей точки. На самом же деле, если отклонение сравнимо с и, изображающая точка может снова приблизиться к синхронному положе. нию «с другой стороны», описав вокруг начала коорди- нат замкнутую петлю, в результате чего фаза изменится на 2п, Это явление, в свою очередь, может быть рассмо- трено лишь в рамках нелинейной теории, к изложению которой мы и переходим.
2. Стационарное распределение фазы н средняя частота Возвращаясь к нелинейным уравнениям (9), будем предполагать, что выполняется неравенство А «гч т' е Е (18.37) ло которое позволяет рассматривать первое и второе урав пения указанной системы отдельно друг от друга. В самом деле, при этом условии амплитуда меняется го. раздо быстрее, чем фаза, и при каждом значении фазы Ф будет успевать установиться равновесное распределение по амплитудам ш(Акр).
Чтобы его найти, можно применить метод уравнения Фоккера — Планка ($ 14, раздел !), полагая в первом уравнении (9) фазу <р постоянной. Записывая уравнение Фоккера — Планка и используя условие стационарности ш(А, ~р) = О для этого условного распределения, получаем А 2 Г Аз Г А~ та (А ~ у) = — ехр — ~ам — 111 — —,~ + М К~ ~ 4 1 2АЯ! + —.' А соз у~, (18.38) где Ф, — нормировочный множитель. Присутствие члена — чьЕА соз ч в найденном выражении проявляется в том, 1 что наиболее вероятное значение амплитуды сдвигается г Е на величину, примерно равную — -1 —., / соз р.
В силу (37) этот сдвиг много меньше, чем Ао и, если им пренебречь, мы получим плотность распределения А ~ «в 1 Аз 1 та(А ~ у) = — ехр ~ —" Аз 112 — — /1) = (18.39) совпадающую с (14.8). Таким образом, в случае относительно узкой полосы синхронизации, когда выполняется (37), распределение по амплитудам практически не отличается от распределения в автономном генераторе при любом уровне шума. Если интенсивность шума невелика К « аосАа Аокй то это распределение близко к нормальному та (А ~ ~7) = — ' ехр ~ — — '. (А — Ао)') (18.41) для малых отклонений А — Ло. Это приближение совпадает с приближением линеаризации, в котором все законы распределения предполагаются нормальными. Поскольку формула (21) вследствие (37) и (23) дает дисперсию (ЬА') =" К/26 =- К/2еьзв, то распределение ам- 469 плитуды, получаемое методом линеаризации, действительно не отличается от (41). Обратимся ко второму уравнению (9), описывающему поведение фазы.
При выполнении неравенства (40) относительный разброс амплитуды невелик ((А — Ао)') « Ао'. (18.42) т. е. с достаточно большой вероятностью А — Ао «Ао. Поэтому в указанном уравнении (9) точную амплитуду А можно заменить на ее приближенное значение А,. В результате получаем следующее уравнение для фазы р=~- ~,з1пр+ — „'. (18.43) Ао ' Это уравнение применимо при выполнении условий (37) и (40), т. е. в том случае, когда допустима линеаризация по амплитуде и недопустима линеаризацня по фазе.
Ему соответствует следующее уравнение Фоккера — Планка: та(т)= — д ](д — всз1пср)тв(ср)]+ 22А» д о . (18.44) дт 2Ао Последнее уравнение выражает собой закон „сохранедо ния вероятности" то+ — =О, где дт Р (чо) = (й йс з1п ср) та (ср 2А» д (18.45) о есть не что иное, как «поток вероятности» через сече. ние ор.
Если ввести обозначения 2Ао~а . Р 2Ао»с ЕАоо'с (18 48) д ' к к то последнее выражение можно записать в виде Р(р) 'А» ~(Р— Рсз1пср)та — д 1' (18.47) 24о» [ с д„, Мы ингересуемся стационарным распределением, которое характеризуется тем, что гв(<р) не изменяется во временк, или, иначе, тем, что поток вероятности (47) один и тот же во всех сечениях. В этом случае функция ов(<р) удовлетворяет уравнению — з — д [(Р— Р,з1п р)тв] =О, (18А8) Общее решение полученного уравнения, содержащее две произвольные постоянные С, и С2, имеет вид та(у)=С,е '+ с' "й) е ' ~"'~««ф.
(18,49) Для определения постоянных С| и С2 мы имеем два условия: условие периодичности та(з+ 2п)=2О(о) (18.50) н условие нормировки 2п ) 2О(2) Ы2=1. о (18.51) Чтобы удовлетворить первому условию, положим С2 = . Тогда из (49) после суммирования бесконечной геометрической прогрессии будем иметь т 22-.
( ) От+О~сазт ~ — Рз — Рссоь~ф2 (18 52) й«=~ ) ехр ~ — 1.«у +20,2«пфз«п(1+ ~-~~«(фу= о о 2к =2я) е ««2~2О,зщ «)сну. о Если сделать замену переменной у = — ., при 0<у<я и у= при я<1«<2я, то получим 2 %=8 е ' ) ей 21')у Т,(2,«),сову)с(у= о =4я'е ' 1о(О )Т вЂ” щ(О ). (18.53) 471 где М вЂ” нормировочный множитель, определяемый из — 2.О (51) и связанный с С, (Х= — ).
Вводя п« 1 ременную у = ф — ~2, интеграл нормировки 151 ~ преобразуем к виду 2 зк При выводе последнего выражения использована формула 4.453.1 из справочника 11. Здесь 1о(0,) есть -3 -2 -Ф 0 Рис. 18зв Плотность распределения фазы при нулевой расстройне. функция Бесселя мнимого аргумента и мнимого индекса. -,7 -2 -1 о / 2 Э Рис. 18,3. Распределение фазы при 11с =3., В случае нулевой расстройки Р = О распределение фазы (52) определяется выражением и имеет симметричную форму, изображенную на рис. 18.2. При В Ф О форма кривой ш(~р) может быть найдена численным интегрированием.
На рис. 18.3 и 18.4 представлены плотности распределения, соответствующие значениям В, = 3, В, = 1О и нескольким значениям параметра В, Полученное специфическое распределение фазы (52) является существенно не гауссовым вследствие нелинейности функции  — В,з(пер. Изображающую точку на А=!О -2 -l 0 У Рис. 18.4. Распределение фазы при О, =10. оси ~р удобно интерпретировать как броуновскую частицу, движущуюся в поле внешних сил, нелинейно зависязцих от положения, а именно пропорциональных  — Вез(п Чз. Тогда функция — Ву — В, сов яз будет слу. жить потенциалом этих внешних сил. Этот потенциал имеет такой же вид, как потенциал тяжелой точки, двизкушейся по волнистой наклонной поверхности (рис 18.5).
При отсутствии флюктуаций изображаюшаи точка останавливается в самой нижней точке «ямы> Рь Невозможность синхронного режима означает отсутствие таких самых нижних точек вследствие слишком большого наклона, при этом изображаюшая точка безосгановзчно «скатывается по склону вниз», Наличие случайных толчков приводит к тому, что такое «скатываиие» частично имеет место даже в том сл чае, если изобрамсаюгцая точка задерживается в «яме» (когда Л ( Л, ). Случайные толчки, во-первых, «разбрасывают ее по диу ямы», во-вторых, более или менее 473 часто «выбивают» ее из «ямы», после чего она скатывается до следующей более низкой «ямы» Рь Реже случайные толчки забрасывают изображающую точку в «яму» Ра, расположенную на более высоком уровне.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
