Стратонович Р.Л. Избранные вопросы теории флюктуаций в радиотехнике (1961) (1141997), страница 56
Текст из файла (страница 56)
( р — ~ (М'5 — 77С)) . (17.26) (17.27) ра (( Я. Иногда также выполняется неравенство .(а (( р, (17.28) Оно говорит о том, что квадратичная составляющая — ыаМ'уца)2 процесса Ь много меньше линейной составляющей и мы можем ею пренебречь, считая еаМ' — — би 2 (17.29) Но это значит, что частота (1, входящая в (4) и (24), является нормальным случайным процессом с корреляционной функцией (Па ) = ая)7( ); (а = 2 и авМ'Ра) (17.ЗО) 1 и нулевым средним значением.
В этом случае без большого труда могут быть вычислены различные статистические характеристики флюктуаций фазы н амплитуды, выражение для которой в силу (21), (22) можно записать в виде 1 2 А л,+ ~' а 1А,=2( ц,) ) ~аэа и которая, следовательно, также совершает нормальные флюктуацин. Из определения (19) функции Ь видно, что соотношения (26] во всяком случае достаточны для выполнения (22). Обычно ЯС не совпадает с М'$ и порядок величины М'5 — )7С тот же, что и М'3.
После отбрасывания ЛС первое соотношение (26) примет внд Язаа (( 5з )о+о (,) = 7 А,'( и(, -1- 1 231)). (17.32) )о Здесь произведено усреднение по случайной начальной фазе и использовано выражение (24). Корреляционную функцию (32) можно выразить через характеристическую функцию набега фазы 72+о (~ ) = г 3. 3. (." (. р 1 1 337)) . ( 1 7.33) ро Чтобы ее записать, достаточно знать лишь дисперсию набега фазы, которая в силу (24), (30) равна (а~3) = 23 ~ ) Я (1 — 8') ИИ = ро = 2аза ~ (т — т') Й (3') 3(т'. (17.34) Поэтому (лло) = 2 Ао' Х х Р( — ч)( — Р))7(')о')с~,. (1733) Спектральная плотность о(х, е)) находится путем вычисления Фурье-преобразования от полученного выражения. Пример 1. Пусть, например, коэффициент корреляции )с(т) имеет вид з )эо(т)= ( + 3) (17.36) 2во Найдем корреляционную функцию и спектральную плотность генерируемого сигнала А соз (е)31+(р) в предположении, что (р=(1(1) есть стационарный гауссов случайный процесс.
Если пренебречь вследствие (5) флюктуациями амплитуды, не приводящими к расширению дискретной спектральной линии, то х = А, соз (3)3~ + у), 'Гогда (Л7г) = 2ог ) гй' [ Я (г") ггго = 2огг, (у'гг + г ' — -. ) о о и, следовательно, 2 Аогехр(ого о агт К/~о+о г[созаоо (1737) 1 При помощи формулы ) е '"' ~~'+о гРз= ~р К,(г) 17рг+ а') (17.38) найдем преобразование Фурье (7.6) от выражения г(о) = -А ' ехр (о'г ' — ого 1/ гг+ о ' — айаг[, (1739) 1 г Х " Кг(г„у адок +(а — ао) ) (17.40) оооо + (а ао)г П р н м е р 2.
Пусть частота представляет собой экспоненциально-коррелированный процесс с корреляционной функцией (аа ) = е мя = Лрге "~ч, (17.41) В этом случае согласно (35) имеем (хх,) = — А,'ехр[- Л[рг — 1+е [)созаог (1742) (о) О). спектр которого согласно (7.8) при положительных частотах практически совпадает с искомым спектром от (37). В результате имеем го„о 8 [х, а[ =Аоге о" Х Чтобы найти спектральную плотность Я[», в], вычислим сначала преобразование Фурье (7.6) р(а) =А„' [ ехр [ — Л [[)т — 1+ е ~'[) соко!т!!т = о =А,'йе) ехр [ — Л [Рт — 1+е м[) е '"'!Й. (17.43) о ! Ы А' л г -л~ м.— — ! Р(м)= — е Йе) е г Р г(з. о (17.44) Последний интеграл после замены Лг=! можно выра- зить через неполную гамма-функцию: га» р(м) = — '!ехйе ~ Л а 4[ е ~1'~ ь 'й = — 'е Ке Л Р (Л вЂ” 1+ —, Л) 1~.
(17.45) Для практических расчетов целесообразно разложить экспоненту е ' в (44) в ряд, после чего будем иметь ж-ч ( д)л Р(!,!)= — о — е (зе 1~ или, взяв действительную часть, » кч ( — Л) в+Л Р(м) = А,'Ре т сл + ( — л)з".з' (17 46) Учитывая (42), (43), (46) и принимая во внимание, что согласно (7.8) умножение на функцию созыв( в (42) при вычислении спектральной плотности приводит к сдвигу по оси частот на мм получаем 6 [» "[=Р(м ~~)= А а~ х у ( — л)" и+ л (17А7) .аа и! (о — О)! + (л + л)зйз ' л-в Заменой переменной е м = г его можно привести к виду Независимо от вида коэффициента корреляции можно указать следующие формулы для малых и больших интервалов времени: 1 2, (хх,) ж —,А,'е ' ' созе,т при т<«„р (17А8) 1 (хх,) = 1 А,эе э созе>,т (17А9) 2 р » .„, (к,=2ч1яиш).
о 3. Влияние фликкер-шума лампы на частоту Рассмотрим еще один важный частный случай гауссовых флюктуаций частоты, а именно медленных флюктуаций, вызываемых нестабильностью эмиссионного тока лампы. Есть основания полагать, что модуляционные флюктуацин анодиого тока, имеющие спектральную плотность Я (7э, м] =Ь вЂ”,', (!ф — — 7,— (7,)) (17.50) и носящие название «фликкер-шума», вносят существен- ный вклад в техническую нестабильность частоты авто- колебаний. Постоянные Ь и а в формуле (50) определя- ются из эксперимента, причем 1 +а обычно близко к еди- нице. Флюктуации тока эмиссии вызывают флкжтуации пространственного заряда между электродами ламг:ы.
который влияет на величину межэлектродной емкости. Частота автоколебаний по известной формуле ,~'сс, (17.51) выражается через эквивалентную емкость С,колебатель- ного контура, зависящую от межэлектродной емкости. Если учесть, что последняя зависит от величины анод- ного тока !„ то мы получим, что С, меняется с изме- нением тока !,. Пусть эта зависимость описывается коэффициентом р, который определяется формулой 1 КС, (1 7.52) Са Ф!а и может быть найден из эксперимента. Предполагая,что флюктуации анодного тока относительно малы, путем дифференцирования формулы (51) ~находим флюктуации частоты или, учитывая (52), (17.53) Величины соэр в этой формуле соответствуют среднему значению эмиссионного тока. Из (53), (50] находим спектральную плотность флюктуаций частоты (17.54) где 4 эо Р 5 (7 ) Указанной спектральной плотности согласно формуле (5.30) в случае а=О соответствует корреляционная функция (22,) = —,1и — ', (17.55) Предполагая флюктуации гауссовыми, используем формулу (35) для отыскания корреляционной функции генерируемого сигнала.
Непосредственное интегрирование выражения (55) приводит к результату з( )( ') 4~ о где обозначено з ~в 7= —,', е' "'н Область значений т(1!м„где формула (55) несправедлива, не оказывает существенного влияния на интеграл (56) вследствие малости величины 1/ы, (см. условие (62)). Заменяя в (35) а',,й(т) на выражение (55) и учитывая (56), находим (хх,) = —, А, ехр ~ — — 1п — ~ соз м,т. (17.57) Точное вычисление спектра этого выражения затруднительно; чтобы найти приближенное выражение для спектральной плотности Я[х, а], используем то обстоятельство, что логарифм медченно меняется по сравнению с т'.
На преобразование Фурье от (57) существенное влияние оказывает лишь область, где аа т, — !п — — 1. 4к Для этой области аргумент т,под знаком логарифма можно заменить на частное значение тж определяемое из равенства — !п — — 1. (17.58) Тогда выражение (57) примет вид хх,) 2 А02ехр~ 4 !п - ~соз .о и будет давать спектральную плотность 5 [х, м] = — А 'ехр~ — ' ~, (17.59) где г а2 — !и т (17.60) Обозначая,~ =у, преобразуем уравнение (58) к виду у= з' !пу. (17.61) В приведенном рассмотрении мы не учитывали пове- 1 дения корреляционной функции (55) при т ( — и при ~в 1 т ) — .
Это допустимо при условии ~н (17,62) 440 Если это условие выполняется, то уравнение (61) можно решать методом последовательных приближе. ний по формуле у.= в 1пу.—. а~а в, В первом приближении имеем У,, (тю ф7 ), (17.63) во втором— уэ =+ 1и (+) и т. д. Подставляя (63) в (60), получаем для ширины спектральной линии (59) выражение ~ = $/ —.
1п у = )/ —, 1п +, (7' = — ', ) . (17.64) Этой формулой можно пользоваться и при подходе к фликкер-шуму как к нестационарному процессу. В этом случае 1/о„нужно заменить на время наблюдения Г, поскольку формула (5.27) только этим отличается от (5.30). В результате мы получим формулу (17.65) согласно которой ширина, спектральной линии медленно увеличивается при увеличении времени наблюдения. Верхняя частота ю, определяется эффектом сглаживания флюктуаций вследствие влияния различных факто. ров: час~отпой депрессии шума, пространственного заряда, паразитиых емкостей и пр.
Она обратна постоян. ной времсни сглаживания: ы, =1/т„,. 4. Случай больших независимых приращений фазы Частоту Р.(1) можно считать гауссовым процессом лишь в некоторых случаях. Поэтому перейдем к исследованию фазовых флюктуаций на другой основе, не делая никаких предположений относительно их нормальности, 441 Согласно (24) набег фазы Лор накапливается в результате суммирования элементарных фазовых приращений ЯЖ Эти приращения статистически зависимы вследствие того, что время корреляции т„,р процесса й(() имеет конечное, отличное от нуля значение.
Выбирая интервалы, несколько превосходящие время корреляции, удобно представлять себе (24) ка1к сумму приращений ~о+он 'о+а а+ач ьр= ) ми+ ~ ъи+ )" иа+ но+в лоач + (т1 ) тнор). (17.66) которые уже можно с некоторым приближением считать независимыми. Поскольку фаза входит в экспоненту ео* то является существенным, какую среднюю величину, сравнительно с и, имеют указанные независимые фазовые приращения. В зависимости от этого будут возникать разные статистические картины.
В настоящем пункте мы рассмотрим случай независимых приращений, в среднем значительно превосходящих и, что имеет место, когда выполняется неравенство (17.67) ~~„, ))1. (17.68) (е'о') — ) е'Ъ((а) оИ. (1 7.69) В соответствии с (ЗЗ) для указанных значений т имеем (хх,) = — Ао%е )ен н ) е"и(В) гИ~.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
