Стратонович Р.Л. Избранные вопросы теории флюктуаций в радиотехнике (1961) (1141997), страница 53

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 53)

Практически подобное напряжение является иногда внешней помехой, а иногда специально подается на генератор для тех или иных целей, например для получения колебаний, модулированных шумом. В $13 было выведено уравнение колебаний (13.13), описывающее работу генератора при подаче внешнего напряжения на сетку, на контур и на анод, что изображено на рис. !З.З. Как видно из этого уравнения, подача напряжения на сетку и на анод приводит к сходным уравнениям колебаний, содержащим внешнее напряжение в нелинейной функции В отличие от этого при подаче внешнего напряжения на контур соответствующая ему функция добавляется линейно в виде отдельного члена, Вследствие этого различия математическое рассмотрение указанных двух случаев неодинаково и получаемые результаты аналитически отличаются друг от друга.

Займемся этими случаями отдельно. 1. Флюктуации фазы при подаче шума на колебательный контур Начнем с рассмотрения воздействия флюктуационного напряжения на контур. Пренебрегая реакцией анодпой нагрузки .0=0, нз (13,13) в этом случае имеем 7+ ш„4!= ь „'[гт(М!) — ДС![ + цзСи„, (16.1) Переменная х=м4М(! — ! ), пропорциональная переменной составляющей тока ! и имеющая размерность напряжения, удовлетворяет уравнению х+ в„зх=ь~„' МЄ— — ИС вЂ” + (16.2) +„, зМС где гч„(и) = гт (и) — ! = Зи, + —, и' — т и', 3 если использовать прежнюю аппроксимацию характеристики лампы (рис. 13.4). Член [!и,' не сказывается в упрощенных уравнениях первого приближения Потому его можно не писать Уравнение (2) совпадает после этого с уравнением (!3.24), детально рассмотренным в $13 и 14, при этом 407 Чтобы получить величину флюктуационного набега фазы Йр в течение интервала времени от момента 10 до момента времени 1о+т, следует проинтегрировать указанное уравнение; после чего имеем с+~ Ь, =~ —,Ж.

с' ОО ,) а (с) (16.7) Здесь а(1), как н Ь'(1) является случайной функцией, но не имеет дельтаобразной корреляционной функции. Существенно, что а(1) статистически независима от Ь'(1), так как полностью определяется независимой случайной функцией э1'(1) в силу первого уравнения (4). Вычислим плотность распределения вероятностей н(Л<р) для набега фазы Л<р, полагая 1э=О. В соответствии с формулой (1.8) ее можно записать в виде среднего от дельта-функции Имеющееся здесь усреднение будем производить в два этапа, используя независимость между а(1) и ь'(г). Сначала при фиксированной реализации функции а(1) .произведем усреднение по ансамблю функций ~'(1) и получим вспомогательную условную плотность вероятностей п~ (ч)=(В(Ф вЂ” 1 — '.

й ) . (169) о а(о дх та(ф) = (тв() ~а(1))). (16.10) Поскольку ь'(1) — нормальная случайная функция, то при любой фиксированной функции а(1) величина (~'!а) Л будет иметь нормальный закон распределения. 409 Если рассматривать а(~) не как фиксированную функцию, а как случайный процесс, то эта плотность сама будет случайной. Для получения истинной плотности распределения (8) требуется ее дальнейшее усреднение по различным возможным реализациям процесса а (1) Учитывая дельтаобразный вид функции корреляции от Ь', находим условную дисперсию о о 0 Эта дисперсия (а также нулевое среднее значение) однозначно определяет нормальный закон распределения Теперь остается лишь в соответствии с (10) произвести усреднение по а(1), Нужно отметить, что при стационарном процессе генерирования набег фазы имеет бесконечную дисперсию.

В самом деле, после усреднения по а(1) условной дисперсии (11) получим (Ьз') = †' с ) (а 'Я)й = †, ' с(а †')т, (16.13) о (так как (и '(~)) не зависит от 1). Но, пользуясь распределением (14.8), убеждаемся, что (а ') равно бесконечности вследствие расходимости интеграла 1 — — ~а'-1и 2 1 2с фа (а-') = — ) е = ч,) я 0 в нижнем пределе а=О. Такое особо сильное влияние малых значений амплитуды на расплывание фазы объясняется следующим образом. Относительно часто происходит значительное уменьшение амплитуды колебаний; автоколебания почти совсем срываются, после этогоони возникают заново, но эти по существу своему новые колебания имеют фазу, очень мало связанную с фазой прежних колебаний Такая малая преемственность фазы, которая тем меньше, чем до меньших значений спадала амплитуда, приводит, понятно, к повышенной интенсив- 410 ности набега фазы.

Если принять меры, препятствующие уменьшению амплитуды до нулевых значений, то дисперсия набега фазы будет конечной Вместо дисперсии, разброс Агр можно характеризовать средним модулем ( ~ Ь~ ~), который имеет конечное значение (16.14) полученное в предположении постоянства амплитуды в течение рассматриваемого интервала. Подставляя ~это соотношение в (12), (10), (14), находим 1 ~~~я ш (о) = (-.смо„т) ' (а ехр ~ — — „,„, ~); (16.16) 1 (! !)=("" ) (а-). (16.17) Сюда входят средние от мгновенного значения амплитуды.

Для их вычисления достаточно знать плотности распределения (14.8). Для га(7) при этом получаем выражение а' а* чм' 2 та()) =,тг е "~ е " а'г(а, (16.18) о которое при помощи функции Уз(у), введенной в формуле (!4.16), можно записать в виде (16.19) 41! Ввиду того, что а(!) есть сложный случайный процесс, проведение вычислений по формулам (12), (10), (!4) в общем виде затруднительно. Мы ограничимся случаем малых интервалов времени т, а именно будем рассматривать такие интервалы времени, в течение которых значение амплитуды не успевает сильно измениться. Хотя можно добиться и ббльшей точности, номы возьмем самое простое соотношение Ф аэ0! = аэ(О) (16.15) о Здесь зз!а — нормировочная постоянная 1 1 ! Дгз = Ж (8с) а (яаыот) з е ы .

Функция Хз(у) выражается через цилиндрическиефункции по формулам (14.18). Если воспользоваться асимптотическим выражением для цилиндрических функций, то при больших значениях у имеем з ~/я Лз (У) 16 У Поэтому з з -®= — „' ф(8«) (-,.) Х з хн — -.) '-"""ф' (16.20) 412 Мы видим, что плотность распределения на(ф) медленно убывает с увеличением ф, так что интеграл «уй) ~ фттв(ф) дф, выражающий средний квадрат (Ь~з), действительно расходится сф в отличие от интеграла ,х ~)Ф!~(Ф) (Ф= (!Ф !) с г На рис. 16.1 пред- 45 6*2 ставлен ход кривой плотности распределения (19) для значений 1 1 С с= —; —; 2. Оз га р 8' 2 Рис. 16.1 Плотность вероятности при- Как видно из выращений фазы аф при различныл шензложенного, прп уровнях шума (з=ач1т/з ст) больших интенсивно- стях случайных воздействий процесс расплывания фазы сильно отличается от обычного диффузионного процесса, так как формально он имеет бесконечный коэффициент диффузии 0= со и приводит к негауссовому закону распределения (19).

Большой интерес представляет вычисление корреляционной функции и спектральной плотности сигнала л=Асоз(ма~+с) =Аойе(ае"чн '), Согласно (7.16) его корреляционную функцию можно записать ХХ~) 2 ~Е ((ПЙ Подставляя сюда (7) и производя, как и раньше,усреднение по статистическому ансамблю функций ь', получаем в силу (11) При малых т, когда а, мало отличается от а и когда можно пользоваться соотношением (15), полученное равенство дает Р РРР (хх,) = — ~(аэе 4 ' ' )созмРт (16 22) где знак среднего (...) обозначает усреднение с весом РРРРС 1~! ) (14.8).

Разлагая экспоненту ехр — —,, стоящую в (22), в ряд Тейлора, находим величину излома, который имеет корреляционная функция (21) в начале координат (хх,) = †' [(а') — †'"' ~т1 + И,~созРРр. (16.23) Остаток, обозначенный через Яь больше не имеет изломов, т, е. его производная по т непрерывна, Величина излома корреляционной функции определяет те спектральные компоненты, которые наиболее медленно убывают с увеличением частоты.

Это дает возможность получить асимптотическую формулу для спектральной плотности Ях, в). Когда флюктуации малы (с(( 1), можно пользоваться линейным приближением, полагая в (21) а= =а, =1, При этом будем иметь выражение 1 (ХХ') 2 Е АРЭ "ЬР~Р~СОЗв 0 составляющее основной вклад в найденную ранее корреляционную функцию (15.40).

В этом приближении 413 имеет место обычный диффузионный процесс распль!- вания фазы, соответствующий коэффициенту диффузии 1 Ро= — еооос (14,43). Этот коэффициент определяет ширину спектральной линии генерируемого сигнала, поскольку корреляционная функция (24) дает спектральную плотность А„о оаоо Я (х, о)) —— 4 /! (- — -.) +( — -.)' ' 14 При ~ м — м, (,р ов,с имеет место асимптотическая формула (16.25) соответствующая излому Аоз Г оаос (хх,) = — 1 — 4 ! т )+ Йо~ ып о)от функции (24) в начале координат. Но функция (21) имеет согласно (23) излом (разрыв производной) точно такой же величины.

Отсюда следует, что формула (25) справедлива при (со — соо(» ньюс также при больших интенсивностях шума, когда с — 1, несмотря на то, что коэффициент диффузии фазы при этом бесконечен. Выражению (22) соответствует согласно формуле (2.24) спектральная плотность Аоз оаосаз 5!х,.)= 4 "( .'-,. ) ао ('" — ао) +(4 '"ос) / Это выражение при частотах ~ со — ооо ( )~ есоос действительно переходит в асимптотическое выражение (25). Прежде чем закончить рассмотрение случая подачи флюктуационного напряжения на контур, приведем числовые оценки величины с применительно к рассмотренному ранее в равд.

2 $ !3 примеру. Подставляя в (6) значение Г)о=11 ° 1,6/0,18=100 в, а также е=0,05, находим 1000~о Как легко видеть, для вычисления с следует принимать во внимание не среднеквадратичное значение 414 флюктуационного напряжения, а условную «эквивалентную величину» флюктуаций, определенную как 1 » =(ма8 (и и!) ° В нашем примере с сравнимо с единицей, если «эквивалентная величина» флюктуационного напряжения имеет порядок 30 в. 2.

Воздействие шума на сетку генератора. Разброс амплитуды Когда внешнее флюктуационное напряжение воздействует на сетку генератора, в уравнении колебаний случайная функция входит в нелинейность. Так, полагая в (13.13) и, =0; Р=О, и, = и, получаем 1+ во'1= мо" (Р(М7+ и(1)) — 77С7! (16 26) Если, как и ранее, обозначить х=гееМ(1 — 7 ) и воспользоваться прежней аппроксимацией характеристики (13.22), то будем иметь уравнение колебаний зэ ~ ~н ! — е„"М т ~ — + и) — »,з)7Сх, (16.27) Хотя все члены в правой части (27) должны быть невелики, мы не будем, однако, вводить единого малого параметра е, а используем следуюшие обозначения: д, = м, (МЯ вЂ” ЛС) + ~,М (ри — Ти'); (16 28) 7з — мчМ( —,' — Ти); д» вЂ” — и М вЂ”.

т Тогда (27) запишется в виде '" + и Рл = ~»ю» [~7» + д — + Д» ( — „) + ~7» ( — „) ~ ° (16 29) 415 функции двойной частоты Поэтому в первом приближении на процесс генерирования существенное влияние оказывают значение спектральной интенсивности 5[и, ы) воздействия и(1) вблизи нулевой частоты и частот, кратных основной частоте Наличие членов типа ти', , и'з)пФ и др., содержащих степени случайной функции, приводит к тому, что оказывают влияние значения спектральной плотности и при других частотах.

Характеристики

Список файлов книги