Стратонович Р.Л. Избранные вопросы теории флюктуаций в радиотехнике (1961) (1141997), страница 49
Текст из файла (страница 49)
Если в правые части (46) входит производная в, (р, ...), то ее с тем же основанием, что и А*, у", можно приравнять нулю. Равенства (47) определяют амплитуду и фазу как безынерционную функцию от случайного процесса, т. е. как функцию от значения $(1) (или р(т),...), в тот же момент. Для отыскания статистических характеристик амплитуды и фазы теперь достаточно теории безынерционных нелинейных преобразований ($ 8). Чтобы получить более точные результаты, безынерционную амплитуду и фазу из (47) можно взять в качестве первого приближения и отыскивать, используя (46), высшие приближения, соответствующие малв|м отклонениям.
Для иллюстрации квазистатического метода рассмотрим, ограничиваясь первым приближением, воздействие на генератор, описываемый уравнением (13.36), узкополосного возмущения 1(1) = — р(~) зьп!(а„— Ь) Ф+ у (С)). (14.48) Здесь р (() и т, (() — флюктуационная амплитуда и фаза, меняющиеся достаточно медленно, Для конкретности закон распределения амплитуды можно, например, предполагать релеевским: та(р) цр= ~,, е '*' Ыр = г(е з'0", (14.49) а„О где при полностью случайной начальной фазе ааз есть дисперсия сигнала (48): (Вй) — (ай) я в Представив флюктуационные члены в виде ЕО>0 — ао,~з!и Ф вЂ” Р 1соз(К вЂ” Р— И)— — сов(2а,~ — Ь~ + Х + 'РН' — ем 8 соз Ф = — Р [з1п (Х вЂ” т ~~) + 2 + з~п (2.0~ — М+ Х+;)!, (14.50) отбросим в уравнениях (13.36) вибрационные члены.
В результате получим следующие уравнения первого приближения или укороченные уравнения: ен„г Аз г ам А = —,А ~1 — — ) + —," Рсоа(Х вЂ” ф); Аз) З где Ф = р+ Ь 1. Отсюда видно, что время релаксации амплитуды равно 1~ее ц, а среднее время релаксации фазы можно оценить как (14.52) Таким образом, условия применимости квазистатического метода в данном случае имеют вид 1 1 Ао (14.53) ! Аз Рсоа(Х вЂ” 'Р) =А~ А в 1) ' ~ Аов 2Аа Рз!п(Х вЂ” )) = — —. 6030 (14.54) Возводя оба равенства в квадрат и складывая, полу- чаем Р = А' ~( А, — 1) + ( —,) ~ . (14.55) 878 При их выполнении амплитуда и фаза успевают принимать <квазистабильныеь значения, обращающие в нуль выражения (51).
Приравнивая последние нулю, находим Чтобы найти А, соответствующее данному значению р, нужно разрешить полученное уравнение и взять наибольший корень А > А,. (14.56) Другие корни соответствуют неустойчивым колебаниям.
Но из неравенства (56), если принять во внимание (55), вытекает неравенство р>р„где р,= —,А,. 2Ь (14.57) Только при его выполнении возможны устойчивые стационарные стабильные значения А и ~р, удовлетворяющие равенствам (54). Вследствие (49) такие состояния осуществляются с вероятностью (14.58) Р=е 1 В противоположном случае, который осуществляется с вероятностью 1 — Р„стабильная амплитуда А и фаза ~р невозможны, и разность фаз т — ф неограниченно возрастает. В этом случае усреднение флюктуационных сил (50) за интервалы времени, превосходящие 2л/Л, обращает их в нуль. При отсутствии флюктуаций устанавливаются постоянная фаза ~р=~а и амплитуда А=Ам Таким образом, амплитуда принимает значения А=Ар с вероятностью 1 — Р~ и с вероятностью Р, имеет значения А>Ам определяемые по формуле (55).
Подставляя (55) в (49), находим функцию распределения амплитуды А~ тв (А,) ЫА, = ехр ( — —,, Х з~о А Х ~( — — 1) + (=) ~) при А>АО; (14.59) н равно 1 при А (А . 379 В том частном случае, когда А=О, последняя формула дает А,' тв (А) = — ',, а (аз — 1) (Заа — 1) е "', (14.61) (а )~ 1).
Форма распределения (61) изображена на рис. 14.2. Если раньше, в формуле (8), интенсивность флюктуационного паЛу'Ла Рис. 14,2. Плотность распределения амплитуды прн узкополосном флюктуаципннпм ипздейстаии. разброса определялась параметром с, то теперь аналогичную же роль играет параметр оа'/АО~. При малых его значениях (14.62) флюктуационный разброс мал а — 1((1; (аа) — 1((1 (14.63) Поэтому аа — 1 = 2 (а — 1) аа (аа — 1)' — 4 (а — 1)'; Заа — 1ж2, и распределение (61) можно записать в виде мя — Ан' (А) 4 0 а тв(А)=(1 — Р,)3(А — А,)+ — „' а~За' — 4аа+ + 1 + ( — ) ~ ехр ( — —,а аа ~(аа — 1)'+ ( — ) 1) (14.60) ~а= л >1), Мы видим, что оно приближается к )эелеевскому распределению, сдвинутому по оси А. При помощи последней формулы находим ((А А )з) ~о (14.64) Неравенство (62) является условием применимости метода линеаризации, и поэтому можно надеяться получить соотношение (64) при помощи лннеаризованного уравнения (29).
При этом нужно, однако, иметь в виду, что фаза колебаний <Рз при флюктуациях (48) не является теперь независимой от з(Г). Вследствие тесной связи гРо и $(() соотношение (32) нарушается. Запишем первое уравнение (29) в виде (14.65) — = — 3А+ ч (1). зА ВходащУю сюда флюктУационнУю силУ т)= — $з(п(оа(+ +гР0) можно записать в форме (50) и пренебречь вибрационным членом двойной частоты, что дает и = Р соз(у— — ф)/2. Как отмечалось при р ) Р, устанавливается стабильное значение разности фаз Х вЂ” ф определяемой теперь в силу (54), (63) из равенства, Рз1п(Х Ф)= Р~ (14.66) Поэтому Ч(г) 2 Р(г)СОЗ(Х вЂ” Р) 2 Ъ' Р (г) Р~ . (14.67) 1 1 В противном случае, когда р(Рь сила и=рсоа(Х вЂ” ф)/2 в среднем за интервал времени 2п/Л исчезает н можно полагать П(Г) =О.
Сказанное позволяет, используя (67), (49), найти функцию (Ч ) ~ (/ з,гр' з Рз) = — ) ~ )/Р' — р,'Ур,' — р,'тв(р, Р,) с(рс(р,. (14.68) 1 Г н н Вследствие условий (53) с помощью линеаризованного Уравнения (65) можно получить (ВАВА,) = (чт„). (14.69) 381 В самом деле, в выражениИ которое вытекает из (65) и аналогично (33), экспоненциальный множитель меняется значительно быстрее, чем (чч,,) и вырезает из области интегрирования узкий интервал, где а — (( т„,р и (~74,=.) (Ч'Ч,) .
1 Поэтому (Ч4,) можно вынести за знак интеграла и получить (69). Полагая в (68), (69) т = О, находим, в частности, (3А') 4 1(Р ) Р~ ) (14.70) 1 3 ОО' (3А ) 4 (р ) 2 при Рг=0, что, действительно, совпадает с (64). Таким образом, квазистатический метод, будучи полной противоположностью стохастического метода, имеет, так же как и последний, некоторую общую область применимости с методом линеаризации, 4. Таблица применимости различных методов 382 Подводя итоги вышеизложенному, можно констатировать, что применимость того или иного метода определяется, с одной стороны, быстротой изменения флюктуаций илн, иначе, их спектральным составом, а с другой стороны, независимо от скорости флюктуаций — их интенсивностью.
Время корреляции следует сравнивать не с периодом колебаний, а с временем релаксации. На спектральном языке это означает, что сравнивается ширина полосы частот флюктуационных возмущений с шириной полосы генерируемого сигнала. Если спектр флюктуаций является более широкополосным, чем спектр автоколебаний (Ьгэ )) егэа), то применим аппарат марковских случайных процессов, справедливы уравнения с дельта- коррелнровапными случайными функциямн н уравненпе Фоккера — Планка, Если спектр шума, напротив, имеет ширину значи- тельно меньше енм то применим квазнстатнческий ме- тод, сводящий изменение амплитуды автоколебаннй к безынерционной зависимости от шума. Сказанное отно.
снтся к случаю, когда время релаксации фазы нзходнтся в том же соотношении с временем корреляцин, что н время релаксации амплитуды. Возможны, конечно, более сложные комбинированные случаи, когда, например, время релаксации фазы превосходит т„р, так что к фа- зовому уравнению применим стохастнческия метод, а время релаксации амплитуды находится в противопо- ложном соотношении с т„,р, вследствие чего амплитуд- ное уравйение может быть рассмотрено квазистатнчески.
Для простоты подобные случаи мы не рассматри- ваем. Вне зависимости от величины времени корреляции, прн малой величине флюктуацнонных возмущений при- меним метод линеарнзации. Выводимые прн этом лине- арнзованные уравнения, решение которых без труда за- писывается в квадратуре, сводят задачу к линейному преобразованию случайной функции. В результате пу- тем применения корреляционной теории отыскиваются корреляционные функции амплитуды н фазы. В ряде случаев, прн гауссовом случайном воздействии нлн при малом времени корреляция, можно указать также за- коны распределения амплитуды и фазы, которые явля- ю тся нормальными.
Прн исследовании применимости метода линеариза- пии следует принимать во внимание не фактическую ве- личину самой случайной функции $((), а вызываемый ею флюктуационный разброс амплитуды автоколеданий. Среднеквадратичное отклонение п(А) = — 1' (ЬАз),строго говоря, следует сравнивать с «масштабом нелинейности», который может быть определен, например, равенством дб ~Во дА~ Условие п(А) (( ЛА при этом будет говорить о малой д'6 роли квадратичного члена †, бА' по сравнению с лн- нейным — ЬА. Однако в большинстве случаев ЛА имеет аа дА тот же порядок, что и Ав поэтому а(А) можно сравни. вать не с ЛА, а с Аю.
Поскольку для оценк14 применимости метода линеаризации достаточно грубое соотношение ««», касающееся лишь порядка величины, то можно брать приближенную прикидку возможного значения <бА2) и находить ее, например, методом линеаризации даже если он в точном смысле неприменим, В настоящем параграфе был рассмотрен пример аддитивного флюктуационного члена (не входящего в нелинейность, а прибавляющегося к уравнению колебаний). Для этого примера мы получили условие (36) применимости метода линеаризации в форме неравенств (37), (62). Последнее соотношение можно также записать в форме (37), так как в случае медленных изменений р(1) и т(1) весь спектр х(вю) сосредоточен вблизи вю и ююг = — ) х (в) Ив = — ~ х (в) Йо.
Г 1 Поэтому неравенство — х (в) югв « Аюг эквивалентно условию (36) при любой быстроте изменения случайного воздействия в случае аддитивного флюктуационного члена. Методы исследования автоколебаний при наличии флюктуаций и условия их применимости можно свести в простую табл. 14.1. В ней для аддитивных флюктуационных воздействий, спектр которых сосредоточен вокруг основной частоты и не имеет острых максимумов при других частотах, в качестве <бА2>, следует, учитывая выше сказанное, брать выражение — х (в) Ггв. 1 4 г Таблица 14.1 Иитенсненость флюктуация быстрота изменения флюктуацна большая, С але ~ малая, ( аА' у «я,' Аппарат марковских процессов 1) Метод линеаризации и корреляционная теория 2) Аппарат марковских процессов Большая, скор сб 1!а"о Метод линеаризации и корреляционная теория Средняя, «нор 1у аюо Кзазистатический метод 1) Метод линеаризации и корреляционная теория 2) Киазистатический ме- тод Малая скор )) 1/сюо й 15.
ВЛИЯНИЕ СОБСТВЕННЫХ ФЛЮКТУАЦИИ НА РАБОТУ ГЕНЕРАТОРА Даже если .на генератор не действуют никакие внешние флюктуационные воздействия и если предположить идеально стабильные условия работы, например постоянство напряжения питания и температуры, то генерируемые автоколебания все же не будут вполне стабильны. Постоянство амплитуды и частоты будет нарушаться флюктуациями, которые возникают в элементах схемы генератора и которые поэтому можно назвать «собственными». Источником собственных флюктуаций в первую очеРедь является электронная лампа, которой присущи дробовой и катодно-ионный шумы. Из этих шумов мы разберем лишь дробовой шум, поскольку он лучше изучен и на высоких частотах является определяющим.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
