Стратонович Р.Л. Избранные вопросы теории флюктуаций в радиотехнике (1961) (1141997), страница 48
Текст из файла (страница 48)
Отмечая плавные усредненные траектории индексом п, запишем эти уравнения так: А„=О,*(А„, у„); 7„=Л,*(А„, ~„). (14.22) Полные стандартные уравнения (13.34) переходят при указанном преобразовании (13.42) в уравнения (13.58) А*=О*(А~, 7~, И); Р~=Н*(А*, сР~, Е), (14.23) которые дают траектории уже с учетом флюктуаций. В приближении линеаризации отклонения 6А=А~ — А„; 8р=~"' — у„(14.24) от плавно меняющихся значений должны быть малы вследствие малости случайных воздействий.
Вычитая (22) из (23) и ограничиваясь линейными членами раз- 370 Ложения по 5А и б~р с усредненными коэффициентаыи, получаем следующие линейные уравнения: 3А=, '„(Ап, 7„) 3А+ + — ', (Ап, 7п)31+6'(А„, ~7„, 3) — О,п(А„, 7„); 37= дА'„(Ап, 'оп)3А+ з (Ап, 7„) 3~+ +Н'(Ап, 7и, 3) — Но*(Ап ~оп)~ (14 25) которые часто оказываются линейными также и по $(1). Применим изложенную программу к уравнениям (13.57), которые имеют точную, неупрощенную флюк- туационную часть. Линеаризованные уравнения (25) в этом случае приобретают вид 3А= 2' (1 — 3 Ап13А — пюо(з|п((опт+ 9п), Ао / оо'1о ' Ап Ап' и — — ' 3 соз (юо1 + о „), Аи (14.26) где Ап, у„удовлетворяют уравнениям Ап = 2' (1 — 4пп ) Ап,' (14.27) 'О"О Г Ап' Апп 3 3 = — — '(2 — 4 — ", +3 — ', ~.
Для примера рассмотрим флюктуационные отклонения 3А=Ап — А„37=7п — ~ри где гро — некоторая начальная фаза, которую мы считаем случайной величиной, равномерно распределенной на интервале от О до 2п. 371 от стационарного значения амплитуды Ап=А, и от фазы (14.28) Уравнения (26) при этом принимают вид 6А= — оаойА — оа,1в!п(а,р+ ро); йр = — — '"' — — — '' 1 сов (а,Р + ро) (14.29) 4 Ло Ао (" ="('- — )) Первое уравнение (29) представляет собой линейное дифференциальное уравнение, имеющее решение с йА(1) = — оао ) е '"'" ' '1(г') в1п (а,г'+ р,) ой'.
(14.30) Произвольной постоянной интегрирования мы распорядились таким образом, чтобы ЬА(1) являлось стационарным случайным процессом, начавшимся в далеком прошлом. Умножая (29) иа такое же выражение, но соответствующее другому моменту времени, и усредняя, находим корреляционную функцию (оАоА,) = о'а,' ) ) е ' '~""' ' ' ', (14.31) (Е(С') 6 (р") в1п(а,р'+ р,) в1п(а,р" + ро)) сйр~Йр". Когда шум $(р) является стационарным и статисти:ески независимым от начальной фазы колебаний оро, имеем (1И')1(Р") в1п( Х+'ро) в1п( Ро+ро))= = — (1(Р') 1 (Ро)) сов а, (Р' — 8"), (14.32) так как (З1П(а,р'+ р,) Ври (а,ро (- <ро))= — (СОВа, (о — р ))— — — (сов(а,о'+ а,о" + 2р,))= — сова,(о' — о").
После подстановки (32) в (31) произведем замену переменных интегрирования г' — г'"+ о = о; =3 зтз и запишем функцию корреляции в виде с+ — '- -мс- Я 2 (ВАВА,)= — ',"' ~ (а ~ е '"""' "'Х Х (В~а с) соз и, (а — х) с(з. В результате вычисления интеграла по з находим (ВАаА„) = — '~ е — '"о~ '! (ВВа,) соя ас, (а — с) с(а, (14,33) откуда, в частности, следует (ВА') = —,' ~ е '"" (ВВ,) соз ас,ада о (ВАВА,) сй = —, ) (ВЕр) соз ас,рЫр = — х(асс). (14.34) 1 с" 1 Первую формулу удобно также записать через спектральную плотность н(са) шума $(1) (ВА ) 4 ~ ' ', с х(ас) ссас. (14.35) Полученные результаты справедливы при условии, что допустимо пренебрежение нелинейными членами, произведенное при линеаризации первого уравнения (13.57).
Это условие сводится к соотношению (ВАх) <( Аа' (14.36) при выполнении которого с подавляющей вероятностью справедливо неравенство ВА((А,. Учитывая (35), запишем критерий применимостиметода линеаризацни (35) в виде 1 с. хс~ 2 3 с а а х (ас) сХса 'ь. Аао, (сас ж аса).
Оценивая приближенно стоящий здесь интеграл, последнее условие можно записать более просто о о .о— о 4 ~ х(м)~Ь<<А,' 1 (14.37) о оа 2 или даже, если шум не.очень узкополосный, 1 о 4 о~оох(мо) << А,', т. е. — << 1. Вместе с тем формула (ЗЗ) справедлива прн любых временах корреляции, прн которых только не нарушается независимость между ~ и оро, в том числе и прн малом времени корреляции, удовлетворяющем соотношению (13.59).
В последнем случае пригодными оказываются оба метода и они дают, конечно, одинаковый результат. Когда время корреляции мало по сравнению с 1/еохь функция (Б,,) в (33) имеет острый максимум при а=т и заметно отлична от нуля лишь в узкой области, примыкающей к этому значению. Функцию е ""' ~п в подынтегральном выражении (33), которая меняется значительно медленнее, можно поэтому заменить на е В результате получаем следующие выражения: (оАЗА,)= 4 е ы ~ ) (Уо,)созоо,(о — х)по= 4 = — ох(щ)Е ''~ 1 (! 4.38) (оА ) = 4 х (ыо) 4 Аох. (14.39) Такую функцию корреляции имеет экспоненциальнокоррелированный марковский случайный процесс. Эро яе случайно, так как при т„,р << 1!еооо применимы стохастические методы, и формулы (37), (38) могут быть получены также при помощи уравнения Фоккера— Планка и уравнений с дельта-коррелнрованными случайными функциями.
Флюктуационный разброс амплитуды (39) совпадает со значением (21), найденным ранее, Когда выполняется только одно из соотношений: (13.59) или (37), то выбор метода является однозначным. Так, общий вид функции распределения (8) не может быть получен методом линеаризации, с другой стороны, общая формула (33) не может быть выведена марковскими методами. Обращаясь ко второму уравнению (29), замечаем,что первый член, содержащий отклонение бА, определяемое формулой (30), много меньше, чем второй член, и им можно пренебречь. После этого получаем, что набег фазы за время Т равен г й9 = ~7т ьт = д с (г) соз ((~~~ + 9о) пг.
(14.40) Ао,! о Отсюда находим дисперсию набега фазы гт (~')= —,; Ц(1( )1(~) ° (-, + о о + 'Ро ) соз (~ь ~ + 9о)) г(~ г~т (14.41) или в тех же предположениях, что и (32) тг (Ь~')= —,"., ~ ~ (11, ) совы,(~' — г")ЫИ'= зло' ой г = —;„',, ~ (Т вЂ” ~ т ~) Д,) соз ш,тг(т. (14.42) — г При больших временах Т, значительно превышающих время корреляции т„,р, набег фазы приобретает диффузионный характер — зависимость дисперсии от времени приближается к прямой пропорциональности (Ь "-) = Э,Т, Р, — -~,~ — ) («) сов~,рот ж — с. (14.43) 2.4о~ На разобранном выше примере мы видим, что при исгюльзовании метода линеаризации к линеаризованным УРавнениям типа (29) с успехом применяется корреля- 375 ционная теория.
Аналогичным же образом в линейном приближении могут быть решены различные другие за. дачи, некоторые из них будут рассмотрены в дальнейшем ($ 15, равд. 1 и $18, равд. 1). 3. Квазистатическнй метод Аппарат процессов Маркова становится неприменимым, когда время корреляции сравнимо с масштабными постоянными времени, описывающими скорость изменения амплитуды и фазы, т. е.
с временем релаксации амплитуды и фазы (если последнее имеется), Тем более он неприменим, когда время корреляции превосходит указанные временные постоянные. Однако значительное превосходство времени корреляции над временами релаксации Свор )) Трелв (14А4) имеющее место при очень медленном изменении флюктуаций, служит основанием для применения другого, как бы противоположного метода, который можно назвать квазистатическим. Для упрощения уравнений в стандартной форме (!3.34) в квазнстатическом мегоде отыскивается такое преобразование от А, вр к новым амплитуде и фазе А*, ср*, которое устраняет вибрации не из уравнений (13.39), а нз уравнений А = в (0)~-сопл~ ~ 'т = в (Н)с=сопли (14.45) отличающихся от (13.34) тем, что в них ч рассматривается как постоянный параметр, Указанное преобразование в остальном находится тем же способом, что и ранее, отличаясь от (13.42) лишь тем, что явно зависит ото.
Если медленно меняется не сам процесс $((), а некоторые его параметры (и (1), у(() в рассматриваемом ниже примере), то в (45) следует полагать постоянными именно их. Применив это преобразование к фактическим стандартным уравнениям (13.34), в которых 5(1) (илп р (1),...) хотя и медленно, но меняется со временем, получим полныс безвибрационные уравнения А*=лбе(Ап, ~о, 1); ус=Но(А*, ~п, 1). (14,45) ЗТ6 Если теперь учесть, что время корреляции в данном случае является настолько большим, что при каждом значении 5(() (8 (1), ...) будет успевать устанавливаться соответствующее ему <квазистационарное» значение, то будем иметь 6~(А~, 7*, 1(1)) =О; Н" (А*, 7", 1(1)) =О. (1447) Последние равенства получены из (46) путем приравнивапия нулю временных производных.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
