Стратонович Р.Л. Избранные вопросы теории флюктуаций в радиотехнике (1961) (1141997), страница 43
Текст из файла (страница 43)
(12.100) Е ЕЕ' л "Еа л'л 2л'л Мы видим, что время срабатывания сдвигается на величину, зависящую от производных, соответствующих процессам з(1) и $(г) в момент (а. Первый член является результатом первого приближения, два других члена в правой части (100) дают поправку второго приближения. Анализ выражения (100), а также более высоких приближений приводит к выводу, что последовательные приближения сходятся как степени отношения Р а (Е) —,, которое по порядку величины равно —,. При 8' а ггл этом следует иметь в виду, что дифференцирование процессов Е', з' по порядку величинй эквивалентно делению на постоянную времени плавности г,л.
Метод последовательных приближений, примененный выше, очень эффективен при условии, если —,а(:1. а (Е) Л ггл Произведем вычисление статистических характеристик временного сдвига (100) для случая нормальных флюктуаций с нулевым средним значением и корреляционной функцией (ЕЕ,) = о'гс(т). Усредняя (100), получаем отличный от нуля средний сдвиг (12. 101) пропорциональный второй производной кривой, задающей форму импульса, Поскольку уровень (г обычно располагается ближе к вершине, чем к основанию импульса, вторая производная на этом уровне отрицательна. Поэтому (г',— г„) ) О, то есть флюктуации приводят к некоторому малому запаздыванию момента срабатывания.
Возводя (100) в квадрат и усредняя, получаем яг(о) ~ При вьгводе этого выражения использована независимость между $ и $', а также первая формула (8.31). Основное влияние на величину флюктуационного разброса момента срабатывания оказывает величина флюктуаций о и крутизна фронта з'. Поправки второго приближения показывают также зависимость от з" и от )гг, то есть от быстроты изменения флюктуационного процесса Ненулевые производные з", И" приводят к дополнительному увеличению нестабильности момента срабатывания. Параметром сходимости является отношение ог)г Уг Использованный метод и выражение (100) позволяют, в частности, вычислить с той или иной точностью плот. ность распределения для сдвига г, — гг.
Удобнее рассматривать вместо него безразмерную величину В первом приближении, когда т= — —, мы имеем а нормальный закон распределения (12.104) тя(т) ==е т'вч Два других члена в выражении (103) искажают распределение (104). Наибольшая из таких поправок г" гг к (104) обусловлена членом —,. В самом деле, под2гг'г ставляя (103) в характеристическую функцию (е") и Ы' г"гг разлагая в ряд по —,— —,, получаем 2аг'г ' Член с $$' при усреднении выпадает, ибо значение $' независимо от $ и, кроме того, (Г) = О, Опуская его, а также высшие члены, обозначенные точками, преобразуем (105) к виду (е"') =(е )+ Ы вЂ” „— „,(е ')= О' =~1+ — Ы(т~и — 1)~е з .
(12.106) Совершая обратное преобразование Фурье, находим от- сюда плотность распределения е та(т) = [1+ —,,( —, + — )~=е и =~1+ —,(2т — т')1=е ' . (12.101) 2а'в ) г' Б В случае надобности таким же путем можно получить другие поправки к закону распределения. Уточненная плотность вероятности (107) уже является несимметричной. ГЛАВА 4 НЕЛИНЕЙНЫЕ АВТОКОЛЕБАНИЯ ПРИ НАЛИЧИИ ФЛЮКТУАЦИЙ $13. ОСНОВНЪ|Е УРАВНЕНИЯ, ОПИСЫВАЮЩИЕ РАБОТУ ГЕНЕРАТОРА ПРИ НАЛИЧИИ ФЛЮКТУАЦИИ 1. Предварительные замечания В настоящее время во многих радиотехнических устройствах применяются генераторы гармонических колебаний. Они служат для получения несущей частоты радиосигналов.
При помощи гармонических колебаний, вырабатываемых гетеродином, производится изменение несущей частоты принимаемого сигнала. Генераторы используются также для получения стандартных сигналов, применяемых в радиоастрономии, радиолокации, навигации, и для других целей. Применяемые в радиотехнике генераторы гармонических колебаний или, как их иногда называют, автогенераторы сильно отличаются друг от друга по генерируемой частоте, по мощности, а также по физическим процессам, приводящим к возникновению автоколебаний. Однако для всех типов генераторов является обязательным наличие положительной обратной связи, которая должна быть достаточно большой, чтобы первоначальные возмущения могли усиливаться. Другой чертой, характерной для большинства генераторов гармонических колебаний, является наличие частотно-селективного элемента, например колебательного контура или резонатора, имеющего собственную частоту, близкую к частоте генерации.
Без такого селективного элемента автоколебання имели бы не синусоидальную, а более сложную форму, как например релаксационные колебаниямультивибратора или блокинг-генератора. 22 зак, зд Для получения автоколебаний используются различные физические явления. В соответствии с этим основные уравнения, описывающие процесс генерации, могут быть весьма различны. Мы ограничимся исключительно рассмотрением тех процессов генерации, которые описываются уравнением второго порядка Такое уравнение всегда может быть приведено к виду (13.1) х=у,(х, х, г). Здесь х(г) — какая-то координата, например напряжение или ток в определенном элементе схемы; ),(х, х, г) — некоторая функция, вид которой определяется из рассмотрения конкретной схемы генератора. Примеры такой функции будут даны в дальнейшем.
Точка обозначает производную по времени. Отметим, однако, что не все генераторы могут быть описаны уравнением второго порядка. Основное уравнение может оказаться уравнением высшего порядка, если, например, использовать в качестве селективного элемента несколько колебательных контуров. В других случаях, например для генераторов, построенных на полупроводниковых приборах, может быть выведено интегро-дифференциальное уравнение.
Наконец, генерирование сверхвысоких частот в системах с распределенными параметрами описывается уравнениями в частных производных, которые сводятся к обыкновенным дифференциальпым уравнениям лишь с известными приближениями. Однако мы не будем здесь касаться указанных более сложных случаев. Поскольку мы ограничиваемся рассмотрением генераторов гармонических колебаний, то получаемый сигнал близок к синусоиде. Однако он не тождествен ей, и отличия от синусоиды бывают двоякого типа. Это, во-первых, высокочастотные отклонения.
В этом случае в течение одного или нескольких периодов форма колебания сигнала близка к синусоиде оп(оделенной амплитуды и фазе, но имеются отклонения от нее в обе стороны, совершающиеся с частотой, превосходящей основную частоту генерации. Эти высокочастотные отклонения малы по своей абсолютной величине, или могут быть сделаны малыми после предварительного сглаживания. Второй тип отклонения сигнала от синусоиды — это медленно происходящие, но постоянно накапливающиеся отклоне- 338 иия амплитуды и фазы. В течение одного или нескольких периодов эти отклонения невелики, однако, спустя большое число периодов, может произойти полная смена амплитуды и фазы, в результате чего сигнал будет походить уже на новую синусоиду, отличную от первой.
Этот второй тип негармоничности колебаний часто является более важным, чем первый, ибо высокочастотные компоненты в обычных радиотехнических схемах, как правило, быстро отфильтровываются Поэтому высокочастотные отклонения обычно представляют интерес в той мере, в какой они влияют на медленные изменения фазы и амплитуды. Пусть ыэ — некоторая приближенная угловая частота колебаний, определенная, например, по нескольким произвольно выбранным «периодам» колебаний Если бы генерируемый сигнал был строго гармоническим, то он удовлетворял бы уравнению х= — м зх. о (13.2) Ясно, что если сигнал х(1) не строго гармонический, но отклонения обоих типов являются малыми, то правые части уравнений (1) и (2) мало отличаются друг от друга.
Введем для наглядности малый параметр в и обозначим ~', (х, х, 1) = — а,'х + ау (х, х, 1). Тогда уравнение колебаний (1) примет вид х+ <оо х =- е~(Х, Х, г), (13.3) Все сказанное выше справедливо также и в том случае, когда к элементам схемы генератора приложены какие-либо внешние или внутренние воздействия, зависящие от времени, Это учитывается тем, что Г явно зависит от й Такие воздействия могут быть регулярными. Например, на анод иногда подается импульсное напря'кение, в результате чего генерируется импульс высокочастотного сигнала.
В других случаях применяется периодическое внешнее воздействие, которое стабилизирует частоту генерации (синхронизация), Однако воздействие может быть также нерегулярным и происходить от внутренних дробовых или тепловых шумов, от нестабильно- 22' 339 сти параметров схемы и источника питания. Такое воздействие может быть, кроме того, внешней случайной помехой. В этих случаях зависящее от времени воздействие должно описываться статистически. Генерируемый сигнал также будет случайной функцией времени и его статистические характеристики подлежат определению. С математической точки зрения уравнение (3) при наличии случайных воздействий представляет собой пример нелинейного уравнения, содержащего случайную функцию.
Однако вследствие малости параметра е это есть уравнение с малой нелинейностью, что существенно используется при решении задачи. Благодаря малости е могут быть применены аснмптотические методы, позво.пяюгцие получать результаты в виде разложения по е до любого порядка. 2. Пример автокодебательиой системы. Ламповый генератор Рнс. 13.1. Схема лампового ге. нератора. Рнс. 13 2. Упрощенная схема автогенератора. образом, чтобы их сопротивление по переменному току было пренебрежимо мало, сопротивление же 1т'ь напротив, берется достаточно большим. Поэтому упрошенная эквивалентная схема генератора будет иметь вид, изображенный на рнс.
13.2. На последней схеме не изображены, но подразумеваются постоянное сеточное смещение и анодное напряжение. Рассмотрим в качестве примера автоколебательной системы ламповый генератор с колебательным контуром а в цепи анода, принципиальная схема которого изображена на рис. 13.1. Величины емкостей С, и Ся подбираются таким Обозначим через 1 ток индуктивной ветви контура. Приравнивая напряжение на индуктивной и на емкостной ветвях колебательного контура, получаем уравнение 1 — „~+И вЂ” — ~~(1,— 1)гй и, ! г нлн 1+ сооЧ = — а„~йС1+ а„~!„(13,4) Где (13.5) а„= (1С) 2 Чтобы получить исходное уравнение, остается только выразить величину анодного тока 1, через 1.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
